劉 洋

(吉林省教育學(xué)院)

隨著高中新一輪的課程改革,重視數(shù)學(xué)文化,在日常教學(xué)和高三備考中滲透數(shù)學(xué)文化,已成為必然趨勢(shì).

在2017年版2020年修訂的《課程標(biāo)準(zhǔn)》第三章課程結(jié)構(gòu)中說(shuō)明了數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).并多次強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容,由此可見(jiàn),數(shù)學(xué)文化的滲透十分重要.作為高中數(shù)學(xué)教師,要在學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能上下功夫,還要注重挖掘?qū)W生的探索精神和創(chuàng)造精神,使他們感知數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵,并將其轉(zhuǎn)化為自己的數(shù)學(xué)文化氣質(zhì),具有簡(jiǎn)化分析和解決問(wèn)題的意識(shí)和能力,喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的覺(jué)醒.對(duì)于高三年級(jí)更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化類試題的研究和基于此的數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)文化滲透和拓展,以便于更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),助力高考.

一、數(shù)學(xué)史及相關(guān)試題對(duì)數(shù)學(xué)課堂文化結(jié)構(gòu)的改造

在教學(xué)中,在平時(shí)跟學(xué)生的溝通中,我們可以以教材、校本課程和課外閱讀作為載體,通過(guò)舉辦相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化講座、座談甚至是辯論賽等主題活動(dòng),讓學(xué)生閱讀更多關(guān)于數(shù)學(xué)史書(shū)籍,使其求知欲和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到充分的滿足,提升和施展,用正確的方式來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)史是很好的教學(xué)工具,可以讓學(xué)生通過(guò)故事認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)的前世今生,從而避免一些因?yàn)檎J(rèn)知障礙而產(chǎn)生的問(wèn)題.

高三學(xué)習(xí)任務(wù)繁重,數(shù)學(xué)題的難度會(huì)整體上升,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較吃力,容易產(chǎn)生挫敗情緒,學(xué)生的沮喪情緒會(huì)使他們有些懷疑自己在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)理解能力,影響備考.此時(shí)教師可以通過(guò)滲透數(shù)學(xué)文化元素的方式來(lái)調(diào)節(jié)學(xué)生的情緒和增強(qiáng)學(xué)生的信心.

例如,在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),2019年人教A版必修第一冊(cè)中的“三角與天文學(xué)”,就是一個(gè)非常好的切入點(diǎn),學(xué)生自主閱讀,教師從側(cè)面加以輔助,可以使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)三角函數(shù),消除對(duì)于三角函數(shù)的恐懼心理.學(xué)習(xí)欲望呼之欲出.又如:

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)B(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P,證明:點(diǎn)P在定直線上.

【分析】本題考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與掌握,直線與雙曲線的位置關(guān)系,體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系四層中的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力.第(2)問(wèn)考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,可以從多個(gè)角度理解直線MN.本解法是把M,N看成直線MN與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn).試題考查考生面對(duì)不確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.試題背景中的兩個(gè)主要幾何元素——直線和雙曲線中,雙曲線是確定的,而直線MN是變化的,學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)要注意.首先,對(duì)于變化的直線,要進(jìn)一步分析引起MN變化的參變量是哪一個(gè),或者是由哪個(gè)方式帶來(lái)的變化.其次,學(xué)生要認(rèn)識(shí)到無(wú)論是什么方式帶來(lái)的直線MN的變化,都需要處理直線與雙曲線引出的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

教師在講解過(guò)程中可以引申到圓錐曲線的發(fā)展歷史,緩解枯燥的課堂氛圍.圓錐曲線經(jīng)歷了三個(gè)主要?dú)v史發(fā)展階段:古典幾何階段的圓錐曲線理論:綜合古典幾何,研究幾何性質(zhì);坐標(biāo)幾何階段的二次曲線理論:綜合利用代數(shù)方程與古典幾何的理論,研究圓錐曲線的代數(shù)結(jié)構(gòu);射影幾何階段的圓錐曲線理論:通過(guò)變換幾何中的射影變換(含仿射變換),研究射影不變量.不同的歷史發(fā)展階段對(duì)圓錐曲線的研究?jī)?nèi)容、研究方法和研究重點(diǎn)相互聯(lián)系又有明顯區(qū)別.本題在考查形式上綜合了圓錐曲線的幾何性質(zhì)及射影不變量理論,在方法上綜合了代數(shù)與幾何的理論,具有深刻的數(shù)學(xué)意義及背景.

作為高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn),圓錐曲線具有悠久的發(fā)展歷史,在天體物理領(lǐng)域有著舉足輕重的地位.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾條曲線.阿波羅尼斯曾為橢圓命名為“虧曲線”,為雙曲線命名為“超曲線”,為拋物線命名為“齊曲線”.值得一提的是,阿波羅尼斯得到了現(xiàn)在在高中數(shù)學(xué)中所有關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì)和結(jié)果,而他只是運(yùn)用純幾何方法就做到了.16世紀(jì)時(shí),德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒在哥白尼的日心說(shuō)的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究,發(fā)現(xiàn)了行星是按照橢圓軌道,環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的這一現(xiàn)象;意大利物理學(xué)家伽利略也發(fā)現(xiàn)了物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡就是拋物線.這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)給人們提供了靈感.通過(guò)以上事實(shí)對(duì)圓錐曲線的現(xiàn)實(shí)意義進(jìn)行研究和完善,數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),圓錐曲線不僅是存在于圓錐面上的一類靜態(tài)曲線,它還在現(xiàn)實(shí)世界中,是物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式.在1579年,蒙蒂基于天文學(xué)的研究帶來(lái)的啟發(fā),修改橢圓的定義為:到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.我們高中階段橢圓的方程式也是根據(jù)這個(gè)定義推導(dǎo)出來(lái)的.

高三數(shù)學(xué)教師在有關(guān)圓錐曲線的教學(xué)中可以抓住其發(fā)展歷史脈絡(luò),滲透學(xué)科本質(zhì),透過(guò)數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

二、通過(guò)展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美,滲透數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)

有些時(shí)候,數(shù)學(xué)的美可以讓學(xué)生獲得解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路和方向.我們?cè)诿鎸?duì)實(shí)際問(wèn)題需要理清其內(nèi)在聯(lián)系時(shí),可以運(yùn)用數(shù)學(xué)的直觀審美,將數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件,特征與數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論聯(lián)系起來(lái).教師可以根據(jù)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平,設(shè)計(jì)各種方式的活動(dòng)、問(wèn)題,逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美水平和興趣,使學(xué)生在需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的時(shí)候,可以迅速正確地選擇思考方向,確定解決問(wèn)題的具體方法.如:

【例2】(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第12題)下列物體中,能被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有

( )

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

【答案】ABD

本題是一道生活類型的立體幾何題,考查學(xué)生的幾何美感與幾何直覺(jué).首先,各正確選項(xiàng)中的物體均滿足一定的對(duì)稱性.例如選項(xiàng)D中的六邊形截面是考慮到了“正方體繞其體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)120°后不變”這一對(duì)稱性,并且這個(gè)截面的最大性(面積最大,內(nèi)部所含圓盤(pán)也最大)與該對(duì)稱性緊密相關(guān),幾何直覺(jué)好的學(xué)生比較容易想到這個(gè)最優(yōu)截面.選項(xiàng)B中正四面體的放置也關(guān)系到“四面體繞正方體的體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)120°后不變”這一對(duì)稱性.有對(duì)稱性視角的學(xué)生比較容易想到幾何體的放置方法,試題考查學(xué)生靈活運(yùn)用學(xué)科知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,有利于選拔數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好的考生,選拔創(chuàng)新型人才.

數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在教材、試題的每一個(gè)角落,不僅體現(xiàn)在知識(shí)的例子上,也體現(xiàn)在每節(jié)課后的閱讀和思考上.教師要注意提煉和整合教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美,引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)觀察、欣賞數(shù)學(xué)美,提升數(shù)學(xué)美的素養(yǎng)和做題直覺(jué),在生活中都能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,在做題時(shí)能夠有基于美感的直覺(jué),指導(dǎo)他們順利解題.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力,讓想象的翅膀在精彩的數(shù)學(xué)課堂豐滿起來(lái),讓學(xué)生思維的智慧火花燃成灼熱的太陽(yáng),充滿力量,無(wú)畏困難.

三、通過(guò)數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

目前數(shù)學(xué)教育主要可以分為兩個(gè)方面,一是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授,二是對(duì)于數(shù)學(xué)的思想方法、能力、核心素養(yǎng)的提高.

在高中時(shí)期,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)與方程,分類討論,特殊與一般等是最常用、最主要的數(shù)學(xué)思想方法.作為一線數(shù)學(xué)教師,在講解試題時(shí),重點(diǎn)是提取其中所涉及的思想.培養(yǎng)學(xué)生在遇到問(wèn)題難以直接解決時(shí),通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,將原有的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更熟悉、更容易的問(wèn)題,從而解決原有問(wèn)題的能力.從會(huì)解決一個(gè)問(wèn)題到可以解決一類問(wèn)題,達(dá)到舉一反三,一舉多得的效果.這就是改造思想,培養(yǎng)素養(yǎng).舉例來(lái)說(shuō):

1.數(shù)形結(jié)合的思想

( )

A.p=2

C.以MN為直徑的圓與l相切

D.△OMN為等腰三角形

【答案】AC

教師在教學(xué)中,讓學(xué)生具備識(shí)別和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)思維,從而實(shí)現(xiàn)解題思想的升華和方法論的提升,觸類旁通.

2.轉(zhuǎn)化化歸的思想

【例4】(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第6題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為

( )

A.e2B.e C.e-1D.e-2

【答案】C

本題是常規(guī)題型,在教材上也有類似題型.考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,考查不等式的綜合運(yùn)用.同時(shí)考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí),分析函數(shù)性質(zhì)的能力,考查學(xué)生變未知為已知的化歸與轉(zhuǎn)化的能力.函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間非負(fù)恒成立問(wèn)題,通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題.通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)求其在(1,2)的值域進(jìn)而得到a的最小值.

轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中經(jīng)常運(yùn)用,主要有直接轉(zhuǎn)化、等價(jià)轉(zhuǎn)化、正與反的相互轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化等不同的轉(zhuǎn)化思路和方式.

因此,教師在講解此類問(wèn)題時(shí),要幫學(xué)生建立靈活的解題思維意識(shí),多角度,全方位分析試題,運(yùn)用不同的轉(zhuǎn)化方式簡(jiǎn)化問(wèn)題,解決問(wèn)題,真正做到舉一反三.

四、通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)文化背景的運(yùn)用拓展數(shù)學(xué)試題內(nèi)涵

我們都知道數(shù)學(xué)很抽象,但數(shù)學(xué)問(wèn)題也是從具體的事物中提煉出來(lái)的.他們?cè)从诂F(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn),并在科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)實(shí)生活中都有廣泛的應(yīng)用,具有深刻的數(shù)學(xué)文化背景.我們要牢牢抓住《課程標(biāo)準(zhǔn)》,充分利用日常的教學(xué)設(shè)計(jì)等讓學(xué)生在熏陶中成為有深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神的新一代學(xué)生.

( )

【答案】D

三角恒等變換學(xué)生非常熟悉,是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容.學(xué)生理解三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算之間的關(guān)系,就要從掌握三角恒等變換開(kāi)始.從借助單位圓,直觀感受和理解三角函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化,到通過(guò)代數(shù)運(yùn)算理解并研究三角函數(shù)的性質(zhì).試題考查考生的運(yùn)算求解能力.用到二倍角公式,其變形方式比較簡(jiǎn)單.

所以,在教學(xué)和復(fù)習(xí)中要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)在不同階段的縱向發(fā)展歷史脈絡(luò),關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)背后的文化意義,關(guān)注跨學(xué)科橫向聯(lián)系.在我們改編試題和命制試題時(shí),試題背景的選擇和利用也需要我們認(rèn)真考量.

五、基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例舉例

我們根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,制定從特殊到一般,從具體到抽象的教學(xué)方法.多次結(jié)合數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化,逐漸向?qū)W生滲透所講的數(shù)學(xué)知識(shí).因?yàn)樘厥饩褪侵庇^,就是具體也就是簡(jiǎn)單,而抽象一般需要升華,需要?dú)w納,需要總結(jié),往往就需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

如,關(guān)于三角函數(shù)的概念,就經(jīng)歷了由特殊到一般的過(guò)程,由直角三角形推出三角函數(shù)再到最后推出任意三角形的三角函數(shù),正是遵循著這種規(guī)律.學(xué)生通過(guò)自我思考,合作探究和互相學(xué)習(xí).能夠提升他們運(yùn)用由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力,全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在新課標(biāo)的客觀背景下,在日常授課的同時(shí),教師們也需要不斷學(xué)習(xí),不斷提升,讓學(xué)生能夠在我們的課堂感受數(shù)學(xué)文化,學(xué)會(huì)思考,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).