于洋 劉明

【摘 要】作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的“童子功”，它和邏輯推理素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，更相互促進。通過高中解析幾何的實踐教學(xué)，從邏輯推理的角度探索提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的路徑，不僅讓學(xué)生學(xué)會運算和優(yōu)化運算，更讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；解析幾何

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0049-05

【作者簡介】1.于洋，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210003）教師，一級教師；2.劉明，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。［1］4數(shù)學(xué)離不開運算，數(shù)學(xué)運算作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大素養(yǎng)之一，一直以來是研究的熱點，“如何提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)”更是當(dāng)下研究的重點領(lǐng)域。之前國內(nèi)有不少學(xué)者系統(tǒng)性地研究了數(shù)學(xué)運算能力，北京師范大學(xué)教授曹才翰和陜西師范大學(xué)教授羅增儒都認(rèn)為數(shù)學(xué)運算能力包括數(shù)學(xué)計算能力和邏輯思維能力［2］［3］，吉林師范大學(xué)劉影認(rèn)為數(shù)學(xué)運算是運算技能和邏輯思維能力結(jié)合起來的一種演繹推理。［4］數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域通常將運算定義為運用相應(yīng)的法則和公式對具體運算對象進行變形的演繹過程。［5］

新課標(biāo)將數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)定義為“在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)”［1］7?！懊魑毙枰鞒鲞壿嬇袛?，“依據(jù)”“解決”需要邏輯推理?？梢姡瑹o論是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)運算能力還是現(xiàn)在的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)都離不開邏輯推理的支撐。所以，筆者嘗試通過分析解決運算問題過程中的邏輯推理素養(yǎng)為著力點，探尋提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的路徑。

一、理解問題對象，明晰運算本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)課堂上，經(jīng)常有這樣一種現(xiàn)象——學(xué)生明知道怎么算卻總是算不對或者算得特別繁瑣。這種狀況出現(xiàn)的原因往往是學(xué)生不理解運算對象的概念，沒有厘清問題的所在就盲目地套用公式或者錯誤使用習(xí)得的方法。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確問題的本質(zhì)，理解方法的適用條件，勤于總結(jié)，提升運算的精確度。

【案例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b與兩坐標(biāo)軸有三個交點。經(jīng)過三個交點的圓記為C，求圓C的方程。

有的學(xué)生解決過程如下：由方程x2+2x+b=0得x=-1±[1-b]，所以f（x）與坐標(biāo)軸的交點為（0，b），（-1-[1-b]，0），（-1+[1-b]，0）。設(shè)圓C為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將三個交點坐標(biāo)代入圓C的方程，求解D，E，F(xiàn)，從而求出圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

有的學(xué)生解決過程如下：設(shè)圓C為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0。這與x2+2x+b=0是同一個方程，所以D=2，F(xiàn)=b。再令圓C方程中的x=0，得y2+Ey+F=0，又因為圓C過點（0，b），所以b2+Eb+b=0，所以E=-（b+1）。從而求出圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

上述兩種方法都是正確的，但第一種運算繁瑣，第二種簡捷。存在差異的主要原因是想出第二種解法的學(xué)生能識別出二次函數(shù)f（x）與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程x2+Dx+F=0的兩個解，所以x2+Dx+F=0與x2+2x+b=0是同一個方程。

第一種方法學(xué)生利用熟悉的求根公式解決方程x2+2x+b=0之后再求解D，E，F(xiàn)，體現(xiàn)了“能夠?qū)εc學(xué)過的知識有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過對其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路”［1］102，符合邏輯推理素養(yǎng)水平二。第二種方法則體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的對象，對于較復(fù)雜的問題，探索論證的途徑，解決問題”［1］102，符合邏輯推理素養(yǎng)水平三。一般的情況下，數(shù)學(xué)運算中蘊含的邏輯推理素養(yǎng)水平越高，計算復(fù)雜程度越低。

二、從特殊到一般，探尋運算思路

在解決圓錐曲線問題的過程中，學(xué)生經(jīng)常會遇到這樣尷尬的情況：剛開始的時候思路清晰，算到一半?yún)s算不下去了，面對復(fù)雜的式子找不到解決問題的突破口。在圓錐曲線的計算中，我們面對的往往是一個又一個的未知量，未知量之間又有著多種關(guān)系。學(xué)生往往在復(fù)雜的關(guān)系中面對未知量的變化找不到運算的方向。此時，教師可以啟發(fā)學(xué)生嘗試特殊情況，看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，先將問題特殊化得到結(jié)果，再進行一般化的驗證，尋找問題解決的突破口。

【案例2】已知A，B為圓O：x2+y2=4與y軸的交點（A在B上方），過點P（0，4）的直線l交圓O于M，N。若M，N都不與A，B重合時，是否存在定直線m，使得直線AN與BM的交點恒在直線m上。若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由。

通過觀察，筆者發(fā)現(xiàn)全班大約五分之四的學(xué)生做法如下。

（1）當(dāng)k不存在時，點M，N與點A，B重合，不符合題意。

（2）當(dāng)k存在時，設(shè)直線l：y=kx+4，將直線與圓的方程聯(lián)立得[y=kx+4x2+y2=4]，所以（1+k2）x+8kx+12=0。由題意得△＞0，即64k2-48（1+k2）＞0，所以k2＞3。設(shè)點M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，又因為A（0，2），B（0，-2），所以直線AN的方程為y-2=[y2-2x2]（x-0），即y=[y2-2x2]x+2。同理直線BM的方程為y=[y1+2x1]x-2，所以[y=y1+2x1x-2y=y2-2x2x+2]，所以[xG=4x1x26x2-2x1yG=2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]（*）。

學(xué)生做到上面這一步，之后不知所措，筆者與其交流發(fā)現(xiàn)他們對于（*）式無從下手，因為由韋達定理得到的x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]無法代入（*）式。那么接下來該如何解決呢？

筆者在課堂上啟發(fā)學(xué)生：既然設(shè)直線y=kx+4解決不了問題，說明將直線一般化我們暫時行不通，那么我們能不能把這條直線猜出來呢？學(xué)生迅速回應(yīng)可以將直線特殊化。學(xué)生取特殊點N為（-2，0）和（2，0）分別得到G為（-1，1）和（1，1），聯(lián)立得直線m：y=1。因此猜想直線AN與BM的交點恒在直線m：y=1。要證明yG=1，即證明[2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]=1，即證[2kx1x2+6x2+2x1=3x2-x1]，即證[2kx1x2+3（x1+x2）=]0。代入x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，則問題得證，所以直線AN與BM的交點恒在一條定直線上，該定直線的方程為y=1。

通過歸納演繹，學(xué)生先得到了問題的結(jié)果后再進行驗證，找到了問題解決的思路，明確了運算方向。從“山重水復(fù)疑無路”到“柳暗花明又一村”，讓學(xué)生深刻感受到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的價值，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展，助力運算素養(yǎng)的提升。

三、從一般到特殊，遷移運算方法

圓錐曲線里面有一些常考的二級結(jié)論，例如：橢圓焦點三角形的面積公式、焦半徑公式、橢圓上一點的切線方程、雙曲線的焦點到漸近線的距離等。利用這些二級結(jié)論，學(xué)生可以迅速解決問題。但是，復(fù)雜的圓錐曲線問題往往將二級結(jié)論的條件內(nèi)隱化，學(xué)生僅從問題表面無法發(fā)現(xiàn)與二級結(jié)論的聯(lián)系。這就需要學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待運算對象之間的關(guān)系，通過添加輔助線的手段將陌生問題情境轉(zhuǎn)化為熟悉的問題情境，在復(fù)雜的情境中把握條件與已有知識之間的關(guān)聯(lián)，尋找問題的突破口，實現(xiàn)運算方法的正向遷移。

【案例3】已知橢圓C：[x24]+[y23]=1的左、右頂點分別為A，B，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值。

學(xué)生常見解法如下：設(shè)直線l為y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）。聯(lián)立直線l和橢圓C的方程得[x24+y23=1y=kx+1]，消去y得（4k2+3）x2+8kx-8=0。由題意得△＞0，所以x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]。因為k1=2k2，所以[y1-0x1+2]=2[y2-0x2-2]，即[y1x1+2]=[2y2x2-2]，所以[y1]（[x2-2]）=[2y2]（[x1+2]）。又因為y1=kx1+1，y2=kx2+1，所以（kx1+1）（x2-2）=2（kx2+1）（x1+2），化簡得到kx1x2+（2k+2）x1+（4k-1）x2+6=0①。許多學(xué)生對①式束手無策，因為由韋達定理得到x1+x2，x1x2無法直接代入①式。

這個時候怎么辦？筆者啟發(fā)學(xué)生思考能不能利用前面學(xué)習(xí)過的知識來解決問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象與前面學(xué)習(xí)的哪些模型或者結(jié)論類似。學(xué)生通過探究，連接BM后聯(lián)想到前面學(xué)習(xí)的“橢圓直徑定理”。

利用橢圓直徑定理的思路我們可以將k1與kBM的關(guān)系轉(zhuǎn)化為k2與kBM的關(guān)系，具體過程如下：k1kBM=[y1-0x1+2]·[y1-0x1-2]=[3（1-x24）x12-4]=-[34]，所以2k2kBM=-[34]，即k2kBM=-[38]，所以[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，所以8y1y2=-3（x1-2）（x2-2），即8（kx1+1）（kx2+1）=-3（x1-2）（x2-2），化簡得（8k[2]+3）x1x2+（8k-6）（x1+x2）+20=0。將x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]代入上式化簡得4k2-4k-3=0，解得k=-[12]或[32]。又因為題意要求k＞1，所以k=[32]。

通過連接BM從而呈現(xiàn)“橢圓直徑定理”的條件，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想已有的二級結(jié)論，將k1=2k2轉(zhuǎn)化為k2kBM=-[38]，得到[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，從而把非對稱性結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu)，接下來化簡后可以直接代入韋達定理。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生扎實掌握二級結(jié)論的內(nèi)容，多運用二級結(jié)論解決運算問題，從而促進學(xué)生從一般化的結(jié)論遷移到特殊問題情境，破解運算障礙。

四、發(fā)展多元思維，優(yōu)化運算路徑

在教學(xué)過程中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生就題論題，沒有對問題進行深入思考，運用單一方法解決不同的問題時常受阻。究其根源，學(xué)生缺乏解決問題方法的積累。而方法的積累必須讓學(xué)生經(jīng)歷探索不同思路和選擇不同運算方法解決問題的過程。所以，在數(shù)學(xué)課堂上教師要摒棄原有的“輕來龍去脈、重類型強化，輕結(jié)論探索、重結(jié)論運用”的教學(xué)方式，積極引導(dǎo)學(xué)生基于問題發(fā)散思考，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”的活動過程，建立起自己的數(shù)學(xué)理解力，為學(xué)生掌握不同的方法提供有效途徑。

【案例4】已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是他們的一個公共點，且∠F1PF2=[π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

為了解題的方便，不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a12]+[y2b12]=1（a1＞b1＞0），離心率為e1，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a22]+[y2b22]=1（a1＞0，b1＞0），離心率為e2，橢圓和雙曲線的焦距為2c。

解法1：因為|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以由余弦定理得（2c）2=（a1+a2）2+（a1-a2）2-2（a1+a2）（a1-a2）cos[π3]，化簡得4c2=[a12]+3[a22]，所以4=（[a1c]）2+3（[a2c]）2，即[1e12]+[3e22]=4。利用柯西不等式得[12+（13）2]（[1e12]+[3e22]）≥（[1e1]+[1e2]）2，即[163]≥（[1e1]+[1e2]）2。所以[1e1] + [1e2] ≤ [433]。

上述解法大部分學(xué)生是想不到的，因為柯西不等式在高中數(shù)學(xué)新課程中不屬于必修內(nèi)容。那么怎么辦？筆者以疑問激發(fā)學(xué)生思考，利用小組合作相互交流，提升思考的寬度和深度。通過課堂探究，學(xué)生最終得到了解法2和解法3。

解法2：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，因為|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以|PF1|=a1+a2，所以[1e1]+[1e2]=[a1+ac]=[|PF1|c]=[r1c]，所以（[1e1]+[1e2]）2=（[r1c]）2，所以由余弦定理得（2c）2=[r12]+[r22]-2r1r2cos[π3]，即4c2=[r12]+[r22]-r1r2。所以（[1e1]+[1e2]）2=[4r12r12+r22-r1r2]=[41+（r2r1）2-r2r1]=[4（r2r1-12）2+34]，當(dāng)[r2r1]=[12]時，（[1e1]+[1e2]）[2max]=[163]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法3：設(shè)∠PF1F2=θ，因為∠F1PF2=[π3]，∠PF1F2+∠F1PF2+∠PF2F1=π，所以∠PF2F1=[23]π-θ，所以[1e1]+[1e2]=[|PF1|c]=2[|PF1|2c]=2[sin∠PF2F1sin∠F1PF2]=2[sin（23π-θ）sinπ3]=[4sin（23π-θ）3]≤[43]=[433]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法1的思維路徑是從條件到問題，對于學(xué)生來說是正向思考，想易算難，需要補充柯西不等式才能求解。解法2和解法3的思維是從問題到條件，對于學(xué)生來說是逆向思考，想難算易。所以，發(fā)展學(xué)生的多元思維，在積累解決問題的方法中孕育選擇的機會，才有可能實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算效益的最大化。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分析中指出“數(shù)學(xué)運算是邏輯推理……運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機結(jié)合”［6］。所以，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師既要以運算訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)，更要以邏輯推理為抓手，幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)“質(zhì)的提高”。在解決問題的過程中，學(xué)生理清問題的對象從而提煉數(shù)學(xué)運算對象，利用從特殊到一般和從一般到特殊尋找運算方法，在發(fā)展多元邏輯思維的過程中提升多元運算思維，從而實現(xiàn)邏輯推理助推數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升。

【參考文獻】

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［2］許嘉璐，曹才翰.中國中學(xué)教學(xué)百科全書：數(shù)學(xué)卷［M］.沈陽：沈陽出版社，1991.

［3］羅增儒，李文銘.數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006.

［4］程曉亮，劉影.數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2013.

［5］郭玉峰，段欣慰，孫艷.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的理解與商榷［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2019（20）：3-8.

［6］史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2018：127-130.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考試命題評價研究”（C-c/2020/02/23）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)視域下的高中數(shù)學(xué)‘學(xué)材重構(gòu)”（D/2021/02/566）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于新課標(biāo)的高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)校本實踐研究”（D/2021/02/572）階段性研究成果。