郭永生

摘要：深刻剖析典型問(wèn)題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到題眼，把問(wèn)題弄得清清楚楚、明明白白，真正把提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地做實(shí)，培養(yǎng)科學(xué)精神，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

關(guān)鍵詞：剖析問(wèn)題；圓錐曲線；定點(diǎn)；定值

一套成功的試卷總是不乏好題，立意新穎，典型突出，亮點(diǎn)十足，引人注目.這類試題往往知識(shí)融合自然，考點(diǎn)科學(xué)交匯，具有良好的教研價(jià)值，倍受眾多數(shù)學(xué)愛好者青睞，非常值得我們深入思考、分析與探究.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題已知軌跡E上任意一點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（2，0）的距離和M到定直線l：x=4的距離的比為22.

（1）求軌跡E的方程.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，-1）且斜率為k1的動(dòng)直線與軌跡E交于C，D兩點(diǎn)，且點(diǎn)B（0，2），直線BC，BD分別交圓x2+（y-1）2=1于異于點(diǎn)B的點(diǎn)P，Q，設(shè)直線PQ的斜率為k2，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k2=λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2 問(wèn)題解答

上述問(wèn)題的解答如下.

解：（1）易得E的方程為x28+y24=1，過(guò)程略.

（2）由題意知，直線CD的方程為y=k1x-1.設(shè)C（x1，k1x1-1），

D（x2，k1x2-1）.

將y=k1x-1與x2+2y2-8=0聯(lián)立，消去y，得

（1+2k21）x2-4k1x-6=0.

所以，x1+x2=4k11+2k21，x1x2=-61+2k21.

因?yàn)锽（0，2），所以kBC=k1-3x1，kBD=k1-3x2，于是kBC+kBD=2k1-31x1+1x2=4k1，kBCkBD=k21-3k11x1+1x2+9x1x2=-32.

設(shè)直線PQ的方程為y=k2x+m，P（x3，k2x3+m），Q（x4，k2x4+m）.

將y=k2x+m與x2+（y-1）2=1聯(lián)立，消去y，得（1+k22）x2+2（m-1）k2x+m（m-2）=0.當(dāng)Δ>0時(shí)，x3+x4=-2（m-1）k21+k22，

x3x4=m（m-2）1+k22.

由B（0，2），可得kBP=k2+m-2x3，kBQ=k2+m-2x4，所以kBP+kBQ=2k2+（m-2）1x3+1x4=2k2m，kBPkBQ=k22+k2（m-2）1x3+1x4+（m-2）2x3x4=m-2m.

因?yàn)锽，C，P三點(diǎn)共線，B，D，Q三點(diǎn)也共線，所以kBC=kBP，kBD=kBQ.于是4k1=2k2m，且-32=m-2m，解得k2=2mk1，m=45.所以存在λ=2m=85滿足要求.

深入思考分析上面解題過(guò)程不難引發(fā)如下聯(lián)想：一是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題得到解決的關(guān)鍵是kBC＼5kBD=-32為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)傳遞給kBP＼5kBQ，由kBP＼5kBQ=-32又得到直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)0，45;二是追問(wèn)kBC＼5kBD=-32的原因是直線CD恒過(guò)定點(diǎn)（0，-1）；三是思考“橢圓或圓的兩條共點(diǎn)弦斜率之積與這兩條弦的另一端點(diǎn)連線過(guò)某一定點(diǎn)之間是否存在必然的聯(lián)系？”

3 問(wèn)題探究

經(jīng)過(guò)初步探究，發(fā)現(xiàn)：

已知曲線C的方程為Ax2+By2=1（A≠0，B≠0），T（x0，y0）在曲線C上，直線x=dy+t與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)kTM＼5kTN=w，若w是常數(shù)，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)wB+AwB-Ax0，-wB+AwB-Ay0.

證明：因?yàn)榍€C：Ax2+By2=1（A≠0，B≠0），且T（x0，y0）在曲線C上，所以Ax20+By20=1.把直線MN的方程x=dy+t與曲線C的方程聯(lián)立消去x，得（d2A+B）y2+2dAty+At2-1=0.

設(shè)M（dy1+t，y1），N（dy2+t，y2），

則

y1+y2=-2dAtd2A+B，y1y2=At2-1d2A+B，

kTM=y1-y0dy1+（t-x0），kTN=y2-y0dy2+（t-x0）.

所以kTM＼5kTN

=y1-y0dy1+（t-x0）＼5y2-y0dy2+（t-x0）

=y1y2-y0（y1+y2）+y20d2y1y2+d（t-x0）（y1+y2）+（t-x0）2

=A（t2+2dty0+d2y20）+By20-1d2Ax20+B（t-x0）2-d2

=A（t+dy0）2-Ax20d2Ax20+B（t-x0）2-d2

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0）2+d2（Ax20-1）

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0）2-d2By20

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0-dy0）（t-x0+dy0）

=AB＼5t+x0+dy0t-x0-dy0.

由kTM＼5kTN=w，得t=wB+AwB-A（x0+dy0），所以直線MN的方程為x=dy+wB+AwB-A（x0+dy0），即x=y+wB+AwB-Ay0d+wB+AwB-Ax0.根據(jù)d的任意性可知，直線MN恒過(guò)點(diǎn)wB+AwB-Ax0，-wB+AwB-Ay0.

特別地，可得以下結(jié)論：

（1）當(dāng)曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）時(shí)，

直線MN恒過(guò)定點(diǎn)wa2+b2wa2-b2x0，-wa2+b2wa2-b2y0.

當(dāng)TM⊥TN時(shí)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0），即e22-e2x0，-e22-e2y0.

（2）當(dāng)曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）時(shí)，

直線MN恒過(guò)定點(diǎn)wa2-b2wa2+b2x0，-wa2-b2wa2+b2y0.

當(dāng)TM⊥TN時(shí)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0，即e22-e2x0，-e22-e2y0.

（3）當(dāng)曲線C：x2+y2=R2時(shí)，

直線MN恒過(guò)定點(diǎn)w+1w-1x0，-w+1w-1y0.

當(dāng)TM⊥TN時(shí)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)（0，0）.

（注：上述e為相應(yīng)曲線的離心率.）

4 拓廣探索

再進(jìn)一步深入研究拋物線，發(fā)現(xiàn)類似性質(zhì)：

當(dāng)曲線C的方程為y2=2px（p＞0），T（x0，y0）在曲線C上，直線x=dy+t與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)kTM＼5kTN=w，若w是常數(shù)，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)-2pw+x0，-y0.（證明略.）

特別地：

（1）當(dāng)TM⊥TN時(shí)，時(shí)，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（2p+x0，-y0）；

（2）當(dāng)x0=y0=0，且TM⊥TN時(shí)，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

事實(shí)上，對(duì)于“kTM＼5kTN=AB＼5t+x0+dy0t-x0-dy0”，當(dāng)其中的t，x0，y0再滿足一些特殊條件時(shí)，又可以得到一系列的結(jié)論，請(qǐng)大家探討！

5 鏈接高考

高考真題（2020年新高考Ⅰ卷＼5山東＼522）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，且過(guò)點(diǎn)A（2，1）.

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

解：（1）因?yàn)殡x心率為22，所以b2a2=12.又橢圓過(guò)點(diǎn)A（2，1），所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3.所以橢圓C的方程為x26+y23=1.

（2）證明：根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（1）可知，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)T23，-13.如圖1，因?yàn)锳D⊥MN，所以△ADT是以定線段AT為斜邊，D為直角頂點(diǎn)的直角三角形.因此，線段AT的中點(diǎn)就是所求的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為43，13，且|DQ|=12|AT|=223.

當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨新教材、新課程、新高考所引領(lǐng)的三新環(huán)境，單純從學(xué)科教與學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)習(xí)探究應(yīng)該成為適應(yīng)新時(shí)代下教與學(xué)的新常態(tài)，特別是像學(xué)習(xí)圓錐曲線等一類難度較大的內(nèi)容時(shí)，教師更有必要下功夫思考與探究.圓錐曲線的性質(zhì)十分豐富，可供探究的方面十分廣泛，以上筆者所探討的這些只不過(guò)是圓錐曲線性質(zhì)中的冰山一角，滄海一粟，期盼早日見到新時(shí)代同行們更多、更好的教學(xué)研究成果，以期同學(xué)習(xí)、共進(jìn)步！