曹均

摘要：依托于問題的不同數(shù)學思維的展開與應用，是全面提升與開拓數(shù)學邏輯思維與能力的關鍵所在.基于一道高考解析幾何模擬題中相關三角形面積的求解，借助平面解析幾何與平面幾何等不同數(shù)學思維視角進行“一題多解”，開拓解題思路，發(fā)散數(shù)學思維，有助于指導教師的教學與解題研究.

關鍵詞：直線；拋物線；垂直；面積；射影定理

圓錐曲線中的最值或定值問題，一直是高考數(shù)學考查此模塊知識比較常見的基本題型之一.此類問題往往以直線與圓錐曲線的位置關系為問題場景，結合圓錐曲線中的元素（離心率、漸近線斜率等）、點的坐標、參數(shù)值或相應的代數(shù)式，以及相關的距離、角度、面積等綜合應用，有“動”有“靜”，有“數(shù)”有“形”，變化多端，創(chuàng)新新穎，趣味性高，可以很好體現(xiàn)高考命題的基礎性、綜合性與應用性等.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔2023屆江蘇省蘇北四市（徐州、連云港、宿遷、淮安）高三上學期第一次聯(lián)合調(diào)研測試（一模）（1月）數(shù)學試卷·15〕已知拋物線y2=2x與過點T（6，0）的直線相交于A，B兩點，且OB⊥AB（O為坐標原點），則△OAB的面積為.

此題以直線與拋物線的位置關系為情境，通過過定點的直線以及兩直線的垂直關系來合理構建相應的幾何場景，進而確定對應三角形的面積問題，題目簡捷明了，條件簡潔易懂，難度中等.

在實際解決問題時，關鍵是剖析問題的內(nèi)涵與實質，通過平面解析幾何問題的基本屬性，可以借助解析幾何思維來合理數(shù)學運算與邏輯推理，是處理問題的“通技通法”；也可以借助平面幾何思維來合理直觀想象與數(shù)形結合等，是處理問題的“巧技妙法”.無論從哪種基本思維切入，都可以很好地挖掘問題的本質，進而得以分析與求解問題.

2 問題破解

2.1 思維視角——解析幾何思維

抓住問題本質，從平面解析幾何的內(nèi)涵入手，通過直線AB的方程、點B的坐標的設置以及點的軌跡應用等來切入，結合兩直線的垂直關系加以分析，利用直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過合理的數(shù)學運算來轉化與應用.

方法1：設線法+向量法.

解析：設直線AB的方程為x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），x1>0，x2>0，如圖1所示.

聯(lián)立x=my+6，y2=2x，消去x并整理，得y2－2my－12=0，則有y1+y2=2m，y1y2=－12，

可得x1x2=y212·y222=36.

由于OB⊥AB，則有OB·AB=（x2，y2）·（x2－x1，y2－y1）=x2（x2－x1）+y2（y2－y1）=x22+y22－24=x22+2x2－24=0.

解得x2=4或x2=－6（舍去），則有y22=2x2=8，不失一般性，取y2=－22.

所以x1=9，y1=32，得|OB|=16+8=26，|AB|=25+50=53.

所以△OAB的面積S=12|OB||AB|=152.

故填答案：152.

方法2：設點法+向量法.

解析：不失一般性，設點B在第四象限，其坐標為Bm22，m，m<0，則TB=m22-6，m.

由于OB⊥AB，因此可得OB·TB=m22，m·m22－6，m=m22m22－6+m2=14m4－2m2=0，

即m2=8，解得m=－22.

所以直線AB的斜率為kTB=mm22－6=2，于是直線AB的方程為y=2（x－6），即y=2x－62.

聯(lián)立y=2x－62，y2=2x，消去x并整理，可得y2－2y－12=0，解得yA=32.

所以△OAB的面積S=12|OT||yA－m|=12×6×52=152.故填答案：152.

方法3：設點法+斜率法.

解析：不失一般性，設點B在第四象限，其坐標為Bm22，m，m<0.

由OB⊥AB，可得kOBkTB=mm22·mm22－6=－1，即m2=8，解得m=－22.

下同方法2的部分解析.

方法4：軌跡法.

解析：由于OB⊥AB，直線AB過點T（6，0），則知點B的軌跡方程為（x－3）2+y2=9，

與拋物線y2=2x聯(lián)立，消去x并整理，可得x2－4x=0，解得x=4或x=0（舍去）.

不失一般性，取點B的坐標為（4，－22），則直線AB的斜率為kTB=－224－6=2，所以直線AB的方程為y=2（x－6），即y=2x－62.

下同方法2的部分解析.

解后反思：根據(jù)平面解析幾何思維，或利用設線法切入，或利用設點法切入，或利用點的軌跡法等切入，這些都是解決平面解析幾何問題中的“通技通法”.解決此類問題的關鍵是通過對應直線方程的構建，然后與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助函數(shù)與方程思維的轉化，從“數(shù)”的視角來邏輯推理與數(shù)學運算，實現(xiàn)問題的巧妙解決與應用，達到解題的目的.

2.2 思維視角——平面幾何思維

抓住問題內(nèi)涵，從平面幾何的直觀入手，結合直角三角形中的場景，通過射影定理以及點的特征來確定對應的線段長度，并結合兩直角三角形的相似來構建關系式，得以確定其他線段的長度，通過合理的直觀想象來轉化與應用.

方法5：射影定理法.

解析：過A，B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，如圖2所示.

由于OB⊥AB，在Rt△OBT中，由射影定理可得|BD|2=|OD||DT|.

由點A，B在拋物線y2=2x上，可知|AC|2=2|OC|，|BD|2=2|OD|.

所以|BD|2=|OD||DT|=2|OD|，解得|DT|=2，則|OD|=4，|BD|=22.

由Rt△BDT∽Rt△ACT，可得|DT||BD|=|CT||AC|，即222=12|AC|2－6|AC|，亦即|AC|2－2|AC|－12=0，解得|AC|=32.

所以△OAB的面積S=12|OT|（|BD|+|AC|）=12×6×52=152.故填答案：152.

解后反思：根據(jù)平面幾何思維，回歸平面解析幾何的本質，利用平面圖形的結構與性質加以直觀分析與處理，是解決平面解析幾何問題中的“巧技妙法”.解決此類問題的關鍵是通過平面幾何圖形的構建，挖掘圓錐曲線方程相關問題的內(nèi)涵，通過數(shù)形結合思維的直觀與轉化，從“形”的視角來邏輯推理與直觀想象，進而實現(xiàn)問題的“數(shù)”與“形”的轉化與巧妙應用.

3 變式拓展

回歸問題本質，改變問題的求解方式，將“△OAB的面積”的求解轉化為“弦AB的長度”的求解，得到相應的變式與拓展.

變式已知拋物線y2=2x與過點T（6，0）的直線相交于A，B兩點，且OB⊥AB（O為坐標原點），則弦AB的長度為.

答案：53.（具體解析過程可以參照原問題的方法1以及其他相關方法，這里不多加敘述.）

4 教學啟示

4.1 比較解題方法，提升數(shù)學能力

原問題的解法中，平面解析幾何思維是“通技通法”，需要學生牢固掌握，并結合具體場景來合理選擇切入視角；在此基礎上，回歸平面解析幾何的本質與內(nèi)涵，平面幾何思維是“巧技妙法”，有利于學生借助平面幾何圖形進行直觀分析與代數(shù)運算，有效調(diào)控數(shù)學運算過程并提升數(shù)學運算與邏輯推理能力等，實現(xiàn)平面解析幾何與平面幾何等相關知識之間的融會貫通，達成知識與方法的綜合.

4.2 開展“一題多解”，實現(xiàn)“一題多得”

2019年發(fā)行的《中國高考評價體系》為今后的高考試題改革指明了方向，其中包括“高考試題要體現(xiàn)基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性”等，為高考命題與高中教學提供了更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時的教學與解題研究中，在強化學生對數(shù)學基礎知識、基本方法與基本技能等方面訓練的基礎上，以習題的“一題多解”探究為載體，開闊學生解題視野，使他們熟練掌握更多解題方法；同時，在此基礎上做到深度學習，合理“一題多變”，達到“一題多得”，總結解題規(guī)律，有效避免題海戰(zhàn)術，真正有效培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、數(shù)學運算能力和創(chuàng)新應用能力等.