夏啟明 曹鑫月 陸萬順

奇偶性作為函數(shù)的重要性質(zhì)之一，對(duì)研究函數(shù)圖象和性質(zhì)具有重要作用.但“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)，內(nèi)容較為抽象難懂，為了使學(xué)生更好地理解和掌握，需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，同時(shí)利用多媒體等教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、合作交流，在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并且熱愛學(xué)習(xí).

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

“函數(shù)的奇偶性”是人教A版必修一中第三章第二節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第2小節(jié).函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì).在本書中，和處理函數(shù)單調(diào)性的方法一樣，先給出幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象，通過這些圖象去直觀地理解奇偶性，然后利用表格發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化特征，再通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，由此建立了奇（偶）函數(shù)的概念.

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的圖形，同時(shí)，上一課學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，并從初次學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)中積累了研究函數(shù)的基本方法.

1.3 核心素養(yǎng)目標(biāo)

本節(jié)課通過圖象直觀地感知對(duì)稱性，從具體的圖象中抽象出數(shù)學(xué)概念，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言揭示規(guī)律和表征，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心.

1.4 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義和圖象特征，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性.

教學(xué)難點(diǎn)：將“圖象關(guān)于y軸（原點(diǎn)）對(duì)稱”轉(zhuǎn)化為定量的符號(hào)語言.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

首先展示圖1所示的圖形.

教師：生活中并不缺少美，而是缺少尋找美的樂趣.

請(qǐng)大家觀察老師展示的這兩幅圖片，美麗的蝴蝶和我們傳統(tǒng)文化中的京劇變臉，它們有什么共同的特征呢？

生1：它們是軸對(duì)稱的.

教師：我們把生活中的美抽象成了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱，那同學(xué)們想一下，數(shù)學(xué)中有哪些內(nèi)容展現(xiàn)了這樣的對(duì)稱呢？

生2：函數(shù)圖象，如f（x）=x，f（x）=x2，f（x）=x－1的圖象.

教師：類似，我們借助幾何畫板再畫一些函數(shù)的圖象，如f（x）=x－2，f（x）=x3，f（x）=x4的圖象.

設(shè)計(jì)意圖：通過情境創(chuàng)設(shè)，學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，發(fā)現(xiàn)于生活，與日常生活密切相聯(lián)，從而能夠很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)美.

探究活動(dòng)1：觀察這些函數(shù)的圖象，根據(jù)它們的特征給這些函數(shù)分類，并說明分類依據(jù).

生3：函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x－2，f（x）=x4的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)f（x）=x，f（x）=x－1，f（x）=x3的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.

教師：請(qǐng)觀察這些函數(shù)的解析式，你能根據(jù)它們的特征給這些函數(shù)取一個(gè)特殊的名字嗎？

生4：關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫做偶函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)都是偶數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫做奇函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)都是奇數(shù).

教師：瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1727年首次提出奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義時(shí)，是根據(jù)指數(shù)的奇偶性來定義的，同學(xué)們課下可以查閱有關(guān)資料加深了解.

教師：今天我們共同來探究函數(shù)的奇偶性.

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生的猜想，數(shù)學(xué)史的引入讓學(xué)生更加了解函數(shù)奇偶性定義的發(fā)展過程，將課堂還給學(xué)生，極大地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

2.2 探究新知，形成概念

教師：剛才我們是通過函數(shù)圖象的對(duì)稱性來對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類的，但是當(dāng)我們遇到不熟悉的函數(shù)時(shí)，不能快速畫出它的圖象，也就無法判斷函數(shù)的對(duì)稱性，那我們又應(yīng)該從哪個(gè)角度來判斷呢？

生5：既然從圖象角度無法判斷，那可不可以類比上節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的方法，從代數(shù)的角度來研究函數(shù)的奇偶性呢？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合最近發(fā)展區(qū)，提出一些學(xué)生能夠主動(dòng)并且可以去解決的問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).通過類比、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般的方法，學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)也獲得了學(xué)習(xí)的方法.

探究活動(dòng)2：如何用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)的對(duì)稱性呢？

教師：以f（x）=x2為例，通過幾何畫板演示，同學(xué)們有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？

生6：當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等.（文字語言）

教師：觀察表1中相應(yīng)的函數(shù)值，大家能證明生6的結(jié)論嗎？

生7：對(duì)于函數(shù)f（x）=x2，有f（－3）=f（3）=9;f（－2）=f（2）=4;f（－1）=f（1）=1.

教師：這些都是比較特殊的函數(shù)值，不能用局部代表整體，那如何用更加嚴(yán)密的語言來證明呢？

學(xué)生共同回答：要證明對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（－x）=f（x）.

教師：若對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（－x）=f（x），那么其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱嗎？

生8：函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)也在這個(gè)函數(shù)的圖象上.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、動(dòng)手操作，以及能夠合理運(yùn)用文字語言、符號(hào)語言表述問題特征的能力，促使學(xué)生的思維水平、問題解決的能力都能得到提升和發(fā)展.

引出偶函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有f（－x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù).

2.3 合作探究，類比推理

教師：類比偶函數(shù)的探究過程，你能在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=x和g（x）=1x的圖象嗎？觀察發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征？（請(qǐng)兩位同學(xué)展示自己所畫圖形，教師用幾何畫板演示.）

學(xué)生完成表2.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值也是一對(duì)相反數(shù).

學(xué)生合作探究得出，對(duì)于函數(shù)f（x）=x，有

f（－3）=－3=－f（x）；f（－2）=－2=－f（2）；f（－1）=－1=－f（1）.

那么類比偶函數(shù)的定義，我們?nèi)绾味x具有上述特征的函數(shù)呢？

生9：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有f（－x）=－f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).

教師補(bǔ)充：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

設(shè)計(jì)意圖：通過類比上一節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的方法來研究函數(shù)的奇偶性，從整體上研究函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律特征，為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

2.4 講練結(jié)合，鞏固新知

例題利用定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=x4；

（2）f（x）=x5；

（3）f（x）=x+1x；

（4）f（x）=1x2.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生找出判斷的依據(jù)——定義，根據(jù)定義求出函數(shù)的定義域I后，再判斷兩個(gè)條件“①任意x∈I，－x是否屬于I;

②f（－x）=f（x）或f（－x）=－f（x）”是否成立，只有①②同時(shí)成立，才能判斷函數(shù)的奇偶性.

預(yù)設(shè)的答案：

解：（1）函數(shù)f（x）=x4的定義域?yàn)镽.

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有－x∈R，且f（－x）=（－x）4=x4=f（x），所以

函數(shù)f（x）=x4為偶函數(shù).

（2）函數(shù)f（x）=x5定義域?yàn)镽.

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有－x∈R，且f（－x）=（－x）5=－x5=－f（x），所以

函數(shù)f（x）=x5為奇函數(shù).

（3）函數(shù)f（x）=x+1x的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞）.

因?yàn)閷?duì)任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），都有－x∈（－∞，0）∪（0，+∞），

且f（－x）=－x+1－x=－x+1x=－f（x），所以

函數(shù)f（x）=x+1x為奇函數(shù).

（4）函數(shù)f（x）=1x2的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞）.

對(duì)任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），都有－x∈（－∞，0）∪（0，+∞），

且f（－x）=1（－x）2=1x2=f（x），所以

函數(shù)f（x）=1x2為偶函數(shù).

追問1：你能總結(jié)利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟嗎？

學(xué)生討論探究并回答：第一步，求函數(shù)的定義域I.第二步，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)不具有奇偶性，結(jié)束判斷；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行第三步.第三步，對(duì)任意x∈I，計(jì)算f（－x），若f（－x）=f（x），則為偶函數(shù)；若f（－x）=－f（x），則f（x）為奇函數(shù)；若f（－x）與f（x）既不相等也不相反，則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

追問2：如果可以作出函數(shù)的圖象，是否還需要利用定義判斷函數(shù)的奇偶性？你能得到其他的判斷方法嗎？

學(xué)生：可以直接根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的奇偶性.如果函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱那么函數(shù)為偶函數(shù)；如果函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)為奇函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：例1和追問1能夠幫助學(xué)生理解并掌握應(yīng)用定義判定函數(shù)奇偶性的過程，進(jìn)一步加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，在證明過程中提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).追問2能夠引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)的圖象.對(duì)于研究函數(shù)性質(zhì)的作用，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

2.5 歸納小結(jié)，布置作業(yè)

教師：回顧本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)回答以下幾個(gè)問題.

（1）什么是奇（偶）函數(shù)？用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟是什么？

（2）比較奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，說說二者的異同點(diǎn).

師生活動(dòng)：學(xué)生順利回答了第（1）個(gè)問題并指出了奇函數(shù)和偶函數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

（2）相同點(diǎn)：①定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②都是函數(shù)的整體性質(zhì).

不同點(diǎn)：①偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，偶函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，而奇函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相反.

設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生更能夠系統(tǒng)地理解和掌握函數(shù)奇偶性的概念和判定，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

本文立足于高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐基礎(chǔ)之上，選取了人教版高中數(shù)學(xué)必修一中的重點(diǎn)之一——“函數(shù)的奇偶性”，進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)實(shí)踐，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)一步落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂中打下了良好的基礎(chǔ).最后，學(xué)生可以通過建立“研究和思考”系統(tǒng)，利用所學(xué)到的知識(shí)來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，切實(shí)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中.