陳保家,盛洪瀟,萬 剛,肖文榮

(1.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,宜昌 443002;2.中國長江電力股份有限公司,宜昌 443002)

0 引言

齒輪齒條機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)由圓周運(yùn)動向直線運(yùn)動的傳遞,由于其具有傳動效率高、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn),多用于大型起升設(shè)備的關(guān)鍵升降裝置,在大型礦山機(jī)械、港口平臺中得到了廣泛應(yīng)用。三峽升船機(jī)作為大國重器,采用的是開式大模數(shù)齒輪齒條傳動的爬升方式,是目前世界上運(yùn)行條件最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、建設(shè)規(guī)模最大的升船機(jī)[1],系統(tǒng)組件之間的相互耦合性日益增強(qiáng),服役環(huán)境和運(yùn)行工況日趨復(fù)雜[2]。

大模數(shù)開式齒輪齒條機(jī)構(gòu)具有提升距離長、提升噸位大、體積結(jié)構(gòu)大以及運(yùn)行可靠性高的優(yōu)點(diǎn),由于長期受到低速、重載、往復(fù)、交變的載荷作用,直接暴露于空氣條件下,會加速引發(fā)齒面出現(xiàn)細(xì)微的疲勞裂紋,這些細(xì)微裂紋會逐步擴(kuò)寬和延伸,致使齒面發(fā)生點(diǎn)蝕或剝落故障,引發(fā)傳動系統(tǒng)出現(xiàn)振動異常,從而降低齒輪齒條傳動系統(tǒng)的可靠性。剝落故障是大模數(shù)齒輪齒條傳動系統(tǒng)的常見損傷形式之一,一旦發(fā)生輕則引起系統(tǒng)的振動異常,嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致傳動失效,對其傳動副剛度研究是了解故障特征、揭示故障機(jī)理的重要研究方向。當(dāng)齒輪發(fā)生齒面剝落故障時(shí),由輪齒時(shí)變嚙合剛度引起的系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)特征可以作為故障診斷的重要依據(jù)[3]。近年來,國內(nèi)外眾多學(xué)者對剝落故障齒輪的嚙合特性及時(shí)變嚙合剛度開展了不同程度的研究,趙樹濱等[4]用勢能法計(jì)算剝落故障條件下直齒輪的時(shí)變嚙合剛度,分析了剝落參數(shù)對時(shí)變嚙合剛度的影響。李金鍇等[5]運(yùn)用Abaqus軟件構(gòu)建了斜齒輪嚙合的有限元模型,根據(jù)單齒嚙合剛度推導(dǎo)了多齒嚙合剛度變化,并結(jié)合動力循環(huán)實(shí)驗(yàn)臺進(jìn)行了疲勞點(diǎn)蝕實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了時(shí)變嚙合剛度和齒輪動態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。涂旭欣等[6]考慮了多種剝落形狀對直齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響,并結(jié)合動力學(xué)仿真與時(shí)頻域分析討論了剝落故障對齒輪動態(tài)特性的影響。林騰蛟等[7]提出一種裂紋故障斜齒輪時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)算法,建立了傳動系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型,與相關(guān)文獻(xiàn)方法和有限元方法進(jìn)行了對比分析。LUO等[8]提出了一種新的直齒輪動力學(xué)模型,結(jié)合時(shí)變嚙合剛度、齒間載荷分配、有限元網(wǎng)格阻尼比等考慮了點(diǎn)蝕和剝落引起的表面粗糙度的影響,并結(jié)合實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性。WU等[9]考慮到實(shí)際剝落形狀的不規(guī)則性,提出了一種利用微元法計(jì)算斜齒輪不規(guī)則剝落形狀的算法,并與有限元法進(jìn)行了對比,驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

總結(jié)上述研究工作,發(fā)現(xiàn)對嚙合剛度的研究主要是針對常規(guī)齒輪嚙合的情況,對齒輪剝落故障動力學(xué)分析較少,缺乏對大模數(shù)齒輪齒條副嚙合剛度計(jì)算模型的全面研究。準(zhǔn)確計(jì)算齒輪齒條副時(shí)變嚙合剛度對分析齒輪齒條副傳動系統(tǒng)動態(tài)特性、了解故障特征、揭示故障機(jī)理非常重要,因此,本文以三峽升船機(jī)齒輪齒條傳動系統(tǒng)作為研究對象,搭建了大模數(shù)齒輪齒條升船機(jī)起升實(shí)驗(yàn)平臺,對正常和剝落故障齒輪齒條機(jī)構(gòu)的嚙合過程進(jìn)行了模擬分析,研究了剝落長度、剝落寬度、剝落深度、剝落位置對齒輪齒條嚙合剛度的影響,并通過有限元法驗(yàn)證了大模數(shù)齒輪齒條時(shí)變嚙合剛度計(jì)算的有效性。

1 大模數(shù)齒輪齒條實(shí)驗(yàn)臺

為了對不同工況條件下的齒輪齒條嚙合過程進(jìn)行運(yùn)行規(guī)律以及運(yùn)動學(xué)響應(yīng)特性,搭建了大模數(shù)升船機(jī)升降模擬實(shí)驗(yàn)臺,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

1.外形框 2.齒條支撐柱 3.液壓加載裝置 4.立式齒條 5.傳動齒輪組 6.轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩傳感器 7.驅(qū)動電機(jī) 8.升降平臺 9.斜齒輪減速箱圖1 實(shí)驗(yàn)臺結(jié)構(gòu)圖

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中,兩套齒輪齒條式傳動裝置對稱安裝于升降平臺上,兩套驅(qū)動變頻電機(jī)通過聯(lián)軸器分別與斜齒輪減速箱負(fù)載端相連接,為齒輪齒條傳動裝置提供輸入動力,又通過同步軸系統(tǒng)對兩套齒輪齒條裝置進(jìn)行剛性聯(lián)接,實(shí)現(xiàn)機(jī)械和電氣同步控制,從而減小升降臺運(yùn)行的水平誤差。液壓油缸通過聯(lián)軸器與斜齒輪減速箱負(fù)載端相連接,可模擬升船機(jī)的不同工況來對升降平臺施加拉壓力作用。PLC智能測控柜通過調(diào)節(jié)變頻電機(jī)的轉(zhuǎn)速可達(dá)到對齒輪齒條裝置轉(zhuǎn)速的控制,利用轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀反饋的信號對電機(jī)的運(yùn)行進(jìn)行監(jiān)測,保持轉(zhuǎn)速在設(shè)定的數(shù)值,通過壓力傳感器監(jiān)測液壓油缸的運(yùn)行情況,保證所施加負(fù)載的穩(wěn)定性,可實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)臺的遠(yuǎn)程操控,保證了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場的安全性。

考慮到三峽升船機(jī)齒輪齒條副設(shè)計(jì)的相關(guān)參數(shù),本文采用以小推大的思想[10],設(shè)計(jì)了本實(shí)驗(yàn)臺的齒輪齒條參數(shù)如表1所示,材料參數(shù)如表2所示。

表1 齒輪齒條的設(shè)計(jì)參數(shù)

表2 齒輪齒條的材料參數(shù)

表3 擬合二項(xiàng)式系數(shù)

表4 系數(shù)

2 正常齒輪齒條副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

齒輪嚙合剛度表征齒輪嚙合傳動時(shí)抵抗變形的能力,齒輪時(shí)變嚙合剛度是由嚙合齒數(shù)和輪齒接觸位置的循環(huán)變化所產(chǎn)生的時(shí)變函數(shù),是研究齒輪系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的重要方法,準(zhǔn)確有效地計(jì)算出時(shí)變嚙合剛度有利于更好的了解齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性[7]。

將直齒輪嚙合剛度定義為單位齒寬上的法向載荷與齒面變形量之比[11],其理論計(jì)算式為:

(1)

式中:Fn為作用于齒廓上的法向載荷,δ為齒面法向上的總變形量,b為齒輪齒寬。

本文將采用能量法計(jì)算齒輪剛度,將齒輪視為齒根上的變截面懸臂梁模型[12],輪齒懸臂梁模型如圖2所示。

圖2 輪齒懸臂梁模型

將材料力學(xué)變形理論與彈性力學(xué)勢能計(jì)算原理結(jié)合即可得到嚙合力F與總彈性勢能U以及剛度K之間的關(guān)系式[13]為:

(2)

齒輪在嚙合轉(zhuǎn)動時(shí),可將輪齒的總變形分解為切向變形、徑向壓縮變形、剪切變形、柔性基體變形以及接觸面耦合產(chǎn)生的赫茲接觸變形5個(gè)部分[14]?？赏ㄟ^勢能原理式(2)得到彎曲勢能Ub、剪切勢能Ua、壓縮勢能Us,建立了剛度與勢能之間的關(guān)系式:

(3)

由懸臂梁變形原理同樣可得到上述3個(gè)分量的計(jì)算式:

(4)

式中:M為距離懸臂梁底部x位置的寬度為dx的矩形截面力矩,Fb和Fa分別為嚙合力F水平方向和豎直方向的分力,k為截面比例系數(shù),漸開線直齒圓柱齒輪為矩形截面,故k取值為1.2;G和E分別為材料的剪切模量與彈性模量,可由式(5)計(jì)算;Ix為距離懸臂梁模型底部x處的截面慣性矩,Ax為距離懸臂梁模型底部x處的截面面積,由式(6)計(jì)算[12]。

(5)

(6)

M=xcosα1-hsinα1

(7)

式中:υ為泊松比,b為齒輪寬度,hx為dx處齒厚的一半,根據(jù)直齒圓柱齒輪齒厚與弦長之間的關(guān)系可計(jì)算hx的值,計(jì)算式為:

(8)

由式(3)～式(8)聯(lián)立可求得輪齒的彎曲剛度Kb、剪切剛度Ks和軸向壓縮剛度Ka,表達(dá)式為:

(9)

式(9)以距離懸臂梁底部距離x為積分變量,與漸開線直齒輪齒廓建立的幾何關(guān)系式較為復(fù)雜,不利于計(jì)算,所以,考慮到以轉(zhuǎn)角α為積分變量,與齒廓曲線的換算關(guān)系簡單、方便計(jì)算,根據(jù)幾何關(guān)系,將上述以x為自變量推導(dǎo)的相關(guān)參數(shù)(d、h、hx和dx等)轉(zhuǎn)換成角度α的函數(shù):

(10)

至此,完成了將自變量距離固定端x轉(zhuǎn)換成其相對應(yīng)的圓心轉(zhuǎn)角。將式(10)帶入式(9)可推導(dǎo)出以轉(zhuǎn)角α為積分變量的變限積分函數(shù),各個(gè)剛度分量的表達(dá)式如下:

(11)

齒輪運(yùn)行時(shí),除了會產(chǎn)生以上剛度外,還包括赫茲接觸剛度kh和輪齒基體柔性剛度kf,Hertz接觸基本原理指出,可將由同種材料構(gòu)成的彈性壓縮體接觸視為兩拋物線相接觸,得到的結(jié)果與實(shí)際值的誤差控制在0.5%以內(nèi)[15],可以得到,齒輪赫茲接觸剛度kh實(shí)際上是僅與材料參數(shù)相關(guān)的常數(shù),表達(dá)式為:

(12)

可以看出,kh只會隨著齒輪寬度和材料參數(shù)的變化而變化,在齒輪嚙合過程中為常數(shù)。由式(1)可知,輪齒基體柔性等效剛度的定義式為:

(13)

式中:δf為基體部分變形,計(jì)算式為:

(14)

式中:uf、Sf含義如圖3所示,uf為嚙合點(diǎn)延長線與齒輪中心線的交點(diǎn)o到齒根圓的距離,Sf為單齒對應(yīng)的齒根圓弧長,可由式(15)計(jì)算得到:

圖3 基體變形參數(shù)

(15)

L*、M*、P*、Q*可由如下多項(xiàng)式函數(shù)逼近得到:

(16)

式中:hfi=rf/rint。系數(shù)Ai、Bi、Ci、Di、Ei、Fi可根據(jù)文獻(xiàn)[14-16]計(jì)算得到。

由式(13)～式(16)聯(lián)立計(jì)算可得kf表達(dá)式為:

(17)

齒輪齒條副單輪齒嚙合剛度由上述5個(gè)剛度分量綜合得到,計(jì)算式為:

(18)

式中:下標(biāo)1和2代表齒輪和齒條。

齒輪多齒嚙合剛度為單齒嚙合剛度的疊加過程,如圖4所示,計(jì)算式為:

圖4 多齒嚙合過程及剛度示意圖

(19)

式中:i=n代表第n對輪齒嚙合。

齒輪齒條的嚙合過程實(shí)際上是單齒-多齒-單齒的交替嚙合過程,在齒輪齒條嚙合傳動過程中,前一對齒廓尚未完全脫開嚙合時(shí),后一齒廓已經(jīng)開始進(jìn)入嚙合[12],因此需要考慮各個(gè)階段開始和結(jié)束的臨界嚙合點(diǎn)。需要計(jì)算齒輪齒條的嚙合重合度,如圖5所示,N1N2為理論嚙合線,B1B2為實(shí)際嚙合線,根據(jù)重合度定義式(20)以及外嚙合直齒輪重合度的計(jì)算公式(21)可推導(dǎo)齒輪齒條嚙合的重合度公式:

圖5 齒輪齒條重合度計(jì)算 圖6 齒輪齒條嚙合過程示意圖

(20)

(21)

(22)

圖6為齒輪齒條嚙合的示意圖,B1B2為齒輪齒條實(shí)際嚙合線,根據(jù)幾何關(guān)系:

(23)

(24)

由式(20)～式(24)可得:

(25)

式中:z1和z2為兩齒輪的齒數(shù),pb為齒輪基距,其余參數(shù)如圖6所示?？梢缘玫?ε=1.747 8,單齒嚙合區(qū)間為:

(26)

將單齒嚙合區(qū)間分為n=20份,對所得結(jié)果進(jìn)行逐點(diǎn)計(jì)算可得到單齒嚙合剛度,然后對單齒嚙合剛度左右平移即可得到時(shí)變嚙合剛度,結(jié)果圖7所示。

(a) 齒輪單齒剛度 (b) 齒條單齒剛度

3 剝落故障齒輪齒條副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

齒輪齒面剝落通常是由于工作載荷過大、潤滑不足、長時(shí)間往復(fù)運(yùn)行等原因?qū)е慢X面疲勞損傷而引起的一種常見的齒輪齒面缺陷[17-18]。剝落故障的出現(xiàn)會嚴(yán)重影響齒輪傳動的平穩(wěn)性與可靠性,其動力學(xué)仿真對于了解齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)行為和相應(yīng)的故障振動特征具有重要意義[19]。

在齒輪齒條傳動系統(tǒng)中,剝落通常發(fā)生在齒輪上(齒輪在工作中經(jīng)歷更多的旋轉(zhuǎn),所以會發(fā)生更多的應(yīng)力循環(huán)),假設(shè)剝落區(qū)域尺寸參數(shù)為w、l、h,剝落簡化示意圖如圖8所示,w為剝落寬度、l為剝落長度、h為剝落深度,剝落齒輪齒條副的接觸模型如圖9所示。當(dāng)齒輪不存在故障時(shí),接觸線理論上為與齒輪軸平行的一條直線,當(dāng)發(fā)生剝落故障時(shí),由于材料從齒面移除,在缺陷處的接觸線長度變短,相應(yīng)的輪齒截面慣性矩和齒面截面積將變小;需要重新求解之后再代入剛度計(jì)算公式,計(jì)算公式同樣采用第2節(jié)中使用的能量法,剝落齒輪懸臂梁模型如圖10所示。

圖8 剝落示意圖

圖9 剝落齒輪齒條副嚙合模型 圖10 剝落齒輪懸臂梁模型

計(jì)算齒面剝落齒輪的剛度時(shí),應(yīng)當(dāng)考慮接觸線長度、截面積和截面慣性矩的變化,分別可表示為:

(27)

將上式代入正常齒輪剛度計(jì)算公式即可得到剝落故障齒輪剛度計(jì)算公式。

(28)

(29)

(30)

式中:αs1和αs2分別為剝落起始和剝落終止對應(yīng)的嚙合角度,其求法與單齒嚙合區(qū)間類似。本文設(shè)置的不同剝落故障尺寸參數(shù)如表5所示,以不同的剝落長度(沿齒高方向)表示3種不同的剝落故障嚴(yán)重程度。

表5 齒輪剝落尺寸參數(shù)

剝落位置位于齒輪節(jié)線與齒輪中心線交點(diǎn)處,設(shè)置剝落深度hs=2 mm,剝落長度為ls=5 mm的情況下,不同剝落長度的單齒嚙合剛度如圖11所示,可以看出,剝落齒輪相對于健康齒輪在剝落區(qū)域嚙合時(shí)會出現(xiàn)剛度缺損,且在進(jìn)入和離開剝落區(qū)域瞬間會出現(xiàn)剛度突變,隨著剝落長度的增加,齒輪受剝落作用的影響時(shí)間越長,但不會影響剛度缺損的嚴(yán)重程度。剝落故障時(shí)變嚙合剛度如圖12所示,可以看出,剛度缺失主要是出現(xiàn)在單齒嚙合區(qū)間及雙齒嚙合區(qū),齒輪嚙合是單雙齒交替嚙合的過程,在單齒嚙合區(qū)間,齒輪剛度較小,抵抗變形的能力較弱,齒輪承受載荷更大,所以容易出現(xiàn)剝落故障,在單雙齒交替時(shí),會出現(xiàn)載荷沖擊,所以在雙齒嚙合區(qū)域也會出現(xiàn)剛度缺失。

圖11 不同剝落長度單齒綜合剛度圖

圖12 不同剝落長度時(shí)變嚙合剛度圖

4 有限元分析

計(jì)算齒輪時(shí)變嚙合剛度的另一種常見方法是有限元法,本節(jié)使用有限元分析對正常及剝落故障齒輪的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,將結(jié)果與解析計(jì)算方法進(jìn)行比較,用于驗(yàn)證解析方法的有效性材料參數(shù)的設(shè)置如表2所示?？紤]到齒面之間的接觸及接觸力學(xué)的相關(guān)知識,為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,需要對接觸齒面網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化,定義接觸區(qū)域網(wǎng)格大小為2 mm,其余部分網(wǎng)格大小設(shè)置為10 mm。由于齒輪的接觸問題較為復(fù)雜,在單元類型的選擇方面應(yīng)綜合考慮有限元計(jì)算的效率與精度,所以單元類型選擇為在接觸問題中表現(xiàn)更優(yōu)的六面體一次縮減積分單元(C3D8R)網(wǎng)格單元[12],考慮到齒輪齒條的嚙合為單齒-雙齒的交替嚙合過程,對有限元模型進(jìn)行簡化,最終保留三對齒進(jìn)行計(jì)算,降低模型的計(jì)算量,最終的齒輪齒條有限元網(wǎng)格模型如圖13所示。節(jié)點(diǎn)數(shù)為301 677,節(jié)點(diǎn)數(shù)為208 558,對齒條底部施加固定約束,齒輪軸孔處施加對地面的回轉(zhuǎn)副。

圖13 網(wǎng)格劃分結(jié)果

圖14為正常齒輪解析法與有限元法所得單齒剛度與時(shí)變嚙合剛度計(jì)算結(jié)果對比,可以看出,通過解析法計(jì)算的結(jié)果相比于有限元仿真計(jì)算所得結(jié)果偏大,誤差為8%左右,但趨勢基本相符,在一個(gè)齒的嚙合過程中,齒輪剛度呈現(xiàn)遞減趨勢,齒條剛度呈現(xiàn)遞增趨勢,將單齒嚙合剛度進(jìn)行左右平移疊加即可得到綜合嚙合剛度,由綜合嚙合剛度圖可知,齒輪在單齒嚙合區(qū)間承載較大,剛度值較小;圖15為3種剝落故障齒輪解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果對比圖,由圖可見,解析法的計(jì)算是比較粗糙的,很多位置進(jìn)行了簡化處理,有限元法計(jì)算是細(xì)致局部的,結(jié)果更為準(zhǔn)確。在嚙合過程中,解析法與有限元法所得結(jié)果趨勢上是一致的,齒輪齒條剛度對比誤差如表6所示;從3種故障下的對比圖可以看出,剝落長度越大,剛度缺損所占區(qū)間越長,且在嚙出單齒區(qū)間時(shí),由于齒輪齒條之間產(chǎn)生了嚴(yán)重嚙合沖擊,嚙合剛度會出現(xiàn)突增;同時(shí),還可以看出誤差最大值出現(xiàn)在嚙出單齒區(qū)間時(shí),原因是未考慮到齒輪嚙出單齒區(qū)瞬間產(chǎn)生沖擊及剝落邊緣效應(yīng),此有限元模型未能詮釋出嚙出瞬間的特殊性,在后續(xù)的工作中,可以考慮對此進(jìn)行改進(jìn)。

表6 剝落齒輪剛度誤差表

圖14 正常齒輪剛度對比

圖15 故障齒輪剛度對比

5 結(jié)論

從能量法的計(jì)算原理出發(fā),利用大模數(shù)齒輪齒條傳動副,并建立有限元模型進(jìn)行了正常和剝落故障齒輪嚙合剛度分析,可以得到如下結(jié)論:

(1)利用能量法計(jì)算得到正常齒輪齒條副的嚙合剛度,并與仿真計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行比較,誤差在9%左右,驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

(2)推導(dǎo)了齒輪剝落故障的剛度計(jì)算公式,結(jié)果表明,剝落故障會引起輪齒嚙合過程中的剛度缺損。

(3)建立了3種尺寸的齒輪剝落故障,結(jié)果表明,解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合較好,隨著剝落長度的增加,出現(xiàn)剛度缺損的區(qū)域越大,且誤差最大值出現(xiàn)在單齒嚙合區(qū)域,原因是輪齒承受載荷更大且在單雙齒交替嚙合時(shí)會產(chǎn)生嚙合沖擊。