摘 要：涉及多元代數(shù)式（往往以雙變元、三變元為主）的最值（或取值范圍）問題，一直是高考、競賽、自主招生等數(shù)學命題中比較常見的一類基本熱點類型.借助一道競賽題，通過三變元代數(shù)式最值的求解，從不同思維視角切入，優(yōu)化數(shù)學思維，提升數(shù)學能力，引領并指導數(shù)學教學與解題研究.

關鍵詞：最值；競賽；數(shù)學思維；基本不等式

多元函數(shù)的最值問題就是在多個約束條件下，確定某一個代數(shù)式的最值（或取值范圍）

問題.［1］此類問題借助題設中所列的代數(shù)式以及限制條件，相應的代數(shù)式之中往往有多個未知數(shù)，這就導致求解多元函數(shù)的最值問題技巧性強、難度大、方法多、靈活多變，同時多元函數(shù)的最值問題蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法，成為高考、競賽、自主招生等命題中非常常見的一類基本題型備受關注.

1 問題呈現(xiàn)

（2023年12月浙江省寧波市高中數(shù)學競賽試題·11）已知x，y，z均為正實數(shù)，xy+yz=1，則5x+y+z+1x+z+1y的最小值是____.

此題以三變元為問題場景創(chuàng)設，利用三變元的乘積與和式為常數(shù)為背景，進而求解對應三變元的分式之和的代數(shù)式的最小值問題.問題看似復雜沒有頭緒，但深入其中，可以通過運算思維、消元思維以及換元思維等來合理轉化，借助基本不等式來放縮處理，進而得以確定代數(shù)式的最值.

2 問題破解

2.1 運算思維

解后反思：根據(jù)多元代數(shù)式的結構特征，換元思維也是解決此類問題中最為常用的一種技巧方法，或單變量換元、或雙變量換元、或三角換元等，根據(jù)題設條件中的代數(shù)式與所求結論中的代數(shù)式兩者之間的結構特征與聯(lián)系加以合理選取.換元思維處理時，依托換元轉化，往往可以使得多元代數(shù)式的結構特征更加突出，方便利用不等式或函數(shù)等思維來進一步分析與求解.

多元函數(shù)的最值（或取值范圍）問題常與基本不等式、均值不等式、柯西不等式等不等式考點相結合，其形式優(yōu)美精致、表現(xiàn)抽象、信息提取難，尤其是變量較多、思維干擾大，讓學生有時不知所措，但其解題方法靈活多樣，蘊含著豐富的數(shù)學思想，是很多函數(shù)、幾何問題最后的“落腳點”，故而是高考、競賽命題的一大熱點.［2］而實際解決多元函數(shù)的最值問題時，常見的解題技巧與辦法有導數(shù)法、消元法、基本不等式法、換元法、數(shù)形結合法、向量法等.

參考文獻

［1］ 王小國，李敏.淺談多元最值問題中“元”的處理［J］.高中數(shù)學教與學，2021（5）：9-11.

［2］ 王健.一道雙變元代數(shù)式最值的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（28）：89-91.