摘要： 假設(shè) fμ（z）（z）是單位圓D 到自身保持-1，i，1不動(dòng)，具有復(fù)特征μ（z）的Douady-Earle延拓。借助于上半平面到自身保持0，1，∞三點(diǎn)不動(dòng)的擬共形映射的參數(shù)表示，利用單位圓到上半平面的共形映射，給出Douady-Earle延拓 fμ（z）（z）的參數(shù)表示。

關(guān)鍵詞： 擬共形映照； 參數(shù)表示； 復(fù)特征； Douady-Earle延拓

中圖分類號(hào)： O 174.55文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A"" 文章編號(hào)： 1000-5013（2024）06-0808-04

Parametric Representation of Douady-Earle Quasiconformal Extension

LIN Zhenlian

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： Suppose fμ（z）（z） is a Douady-Earle extension of the unit disk D onto itself with the complex dilatation μ（z）， which kept -1， i， 1 fixed. With the help of the parametric representation of the quasiconformal mapping of the upper half plane onto itself which kept 0， 1， ∞ fixed， by using the conformal mapping from the unit disk to the upper half plane， the parametric representation of the Douady-Early extension" fμ（z）（z） is given.

Keywords：

quasiconformal mapping； parametric representation； complex dilation； Douady-Earle extension

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)w=f（z）是平面區(qū)域E到區(qū)域G的C1類保向同胚映照，且在E內(nèi)處處滿足條件

fz（z）lt;fz（z），Df（z）=fz（z）+fz（z）fz（z）-fz（z）≤K，" K≥1。

稱f（z）是E內(nèi)一個(gè)C1類擬共形映照，μ（z）=fz（z）fz（z）為w=f（z）的復(fù)特征。用fμ（z）（z）表示復(fù)特征為μ（z）擬共形映照。自20世紀(jì)50年代開始，擬共形映照便成為現(xiàn)代復(fù)分析的一個(gè)重要分支，它涵蓋了許多基本理論和問題的討論，其中包括擬共形映照的邊界對(duì)應(yīng)理論和規(guī)范擬共形映照對(duì)參數(shù)的依賴。更多擬共形映照相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［1-6］。

在擬共形映照的邊界對(duì)應(yīng)問題的研究上，Beurling等［5］首先構(gòu)造性地將實(shí)軸R到自身的擬對(duì)稱同胚擴(kuò)充為上半平面到自身擬共形同胚。用D表示單位圓盤，D表示單位圓周，Q（D）表示D到自身的擬對(duì)稱同胚全體所成的集合。 1986年，Douady等［7］確定了一個(gè)把D到自身的同胚h(yuǎn)（z）延拓成D到自身的同胚E（h）的方法。把E（h）（z），z∈D定義為使得∫Dh（ζ）-w1-wh（ζ）dζζ-z2=0的唯一值w∈D，且當(dāng)h（z）為擬對(duì)稱時(shí)，E（h）是擬共形的。Douady-Earle延拓還具有以下性質(zhì)：E（h）是共形自然的，且E（h）是實(shí)解析的；若用T表示Q（D）中滿足保持-1，i，1三點(diǎn)不動(dòng)h（z）的集合，當(dāng)h（z）∈T時(shí)，E（h）的復(fù)特征也是實(shí)解析的。關(guān)于Douady-Earle延拓更多相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［8-9］。

擬共形映照參數(shù)表示理論問題是擬共形映照理論的另一個(gè)基本問題，夏道行［10］首先借鑒單葉函數(shù)的Loewner［11］方法發(fā)展了擬共形映照的參數(shù)表示理論，之后不少學(xué)者對(duì)這一問題進(jìn)行了深入研究［1-4，10-17］，該理論很好地解決了擬共形映照的模數(shù)的估計(jì)和面積偏差估計(jì)的極值問題［15-17］。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］分別考慮了0K類擬共形映照和上半平面到自身保持0，1，∞不動(dòng)的擬共形映照的參數(shù)表示式。對(duì)于上半平面的參數(shù)表示式有定理A。

定理A 設(shè)μ（z，t）是定義在Im zgt;0，0≤t≤1的復(fù)值可測函數(shù)，滿足條件

μ（z，t+s）=μ（z，t）+sv（z，t）+o（s），" s→0。

其中：μ（z，t），v（z，t）∈L∞，μ（z，t）∞lt;1。則上半平面到自身保持0，1，∞不動(dòng)的擬共形映照w=fμ（z，t）（z，t）在上半平面的一切致密子集上一致地成立，即

fμ（z，t+s）=fμ（z，t）+sF（fμ（z，t），t）+o（s），"" s→0，（1）

或者

wt=F（w，t），" w=fμ（z，t）（z，t），（2）

其中有

F（w，t）=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）+φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ，（3）

φ（ω，t）=v（（fμ）-1（ω，t），t）1-μ（（fμ）-1（ω，t），t）2exp（-2iarg（fμ）-1ω（ω，t）），" Im ωgt;0。（4）

在定理A的基礎(chǔ)上給出Douady-Earle延拓中保持-1，i，1不動(dòng)擬共形映照的參數(shù)表示式。

2 主要定理和證明

定理1 設(shè)μ（z，t）是定義在zlt;1，0≤t≤1的復(fù)值可測函數(shù)，滿足條件

μ（z，t+s）=μ（z，t）+sv（z，t）+o（s），" s→0。

其中，μ（z，t），v（z，t）∈L∞，μ（z，t）∞lt;1。則zlt;1到自身以μ（z，t）為復(fù)特征且保持-1，i，1不動(dòng)的擬共形映照w=fμ（z，t）（z，t）適合

fμ（z，t+s）=fμ（z，t）+sF（fμ（z，t），t）+o（s），" s→0，（5）

或者

wt=F（w，t），" w=fμ（z，t）（z，t），（6）

其中有

F（w，t）=-（w-i）（w2-1）πωlt;1φ（ω，t）（ω2-1）（ω-i）（ω-w）+φ（ω，t）（1-ω2）（1-ωi）（1-ωw）dσdτ，ω=fμ（ζ，t）=σ+iτ。（7）

φ（ω，t）=v（（fμ）-1（ω，t），t）1-μ（（fμ）-1（ω，t），t）2e-2iarg（fμ）-1ω（ω，t），" ωlt;1。（8）

證明：只需要把上半平面內(nèi)的參數(shù)表示式轉(zhuǎn)到單位圓內(nèi)即可。根據(jù)文獻(xiàn)［13］中定理3.2的證明過程可知，從公式（4）轉(zhuǎn)到公式（8）是很自然的。當(dāng)前只需證明公式（3）轉(zhuǎn)變成公式（7）即可。顯然，變換ω=1-i2ζ+1ζ-i，把單位圓ζlt;1映成Im ωgt;0，-1映成0，i映成∞，1映成1。根據(jù)記號(hào)的寫法，公式（7）中的ω，w，σ，τ應(yīng)記為ζ，z，ξ，η。再記

I1=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ，（9）

I2=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ。（10）

利用變換ω=1-i2ζ+1ζ-i，在公式（9），（10）中的

w（w-1）=1-i2z+1z-i1-i2z+1z-i-1=-z2-12（z-i）2，

ω（ω-1）（ω-w）=1-i2ζ+1ζ-i1-i2ζ+1ζ-i-11-i2ζ+1ζ-i-1-i2z+1z-i=""""""""""""""" （ζ2-1）（ζ-z）2（z-i）（ζ-i）3，

作h=ωfω-1，那么，h是上半平面到自身的擬共形映照，且它的復(fù)特征為

μh=（ω-1）′（ω-1）′2μfω-1=ζ-i4（ζ-i）4μfω-1。

這樣公式（9）積分號(hào)內(nèi)復(fù)特征經(jīng)過變換后的增加因子為 ζ-i4（ζ-i）4，公式（10）中積分號(hào)內(nèi)復(fù)特征經(jīng)過變換后的增加因子為 ζ-i4（ζ-i）4。此外，由dωdω=1ζ-i4dζdζ可知，I1，I2中面積元素經(jīng)過變換后增加的因子為1ζ-i4 。將以上討論代入公式（9），（10），可得

I1=z2-12π（z-i）2ζlt;12（z-i）（ζ-i）3（ζ2-1）（ζ-z）ζ-i4（ζ-i）4φ（ζ，t）1ζ-i4dξdη=

-1π（z-i）2ζlt;1（z2-1）（z-i）（ζ2-1）（ζ-z）（ζ-i）φ（ζ，t）dξdη。

又可得

ω（ω-1）（ω-w）=1-i2ζ+1ζ-i1-i2ζ+1ζ-i-11-i2ζ+1ζ-i-1-i2z+1z-i=

-（ζ2-1）2（ζ+i）2i（ζz-1）（z-i）（ζ+i），

故可得

I2=z2-12π（z-i）2ζlt;12i（z-i）（ζ+i）3（1-ζ2）（1-ζz）ζ-i4（ζ-i）4φ（ζ，t）1ζ-i4dξdη=

-1π（z-i）2ζlt;1（z2-1）（z-i）（1-ζ2）（1-ζz）（1-iζ）φ（ζ，t）dξdη。

此外，根據(jù)公式（1），令

G（w，t，s）=fμ（（fμ）-1（w，t），t+s），

根據(jù)公式（5），令

g（z，t，s）=fμ（（fμ）-1（z，t），t+s），

并且公式（2）的F（w，t）與公式（6）的F（z，t）適合關(guān)系式

F（w，t）=lims→0G（w，t，s）-ws=lims→01-i2sg（z，t，s）+1g（z，t，s）-i-z+1z-i=

lims→0-g（z，t，s）-zs1（g（z，t，s）-i）（z-i）=-F（z，t）（z-i）2。

即證明了公式（3）變成公式（7），定理1得證。

參考文獻(xiàn)：

［1］ AHLFORS L V.Lectures on quasiconformal mapping［M］.Princeton：American Mathematical Society，1966.

［2］ LEHTO V，VIRTANEN K.Quasiconformal mapping in the plane ［M］.2nd.New York：Springer，1973.

［3］ 李忠.擬共形映射及其黎曼曲面論中的應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，1988.

［4］ ASTALA K，IWANIEC T，MARTIN G.Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane［M］.Princeton：Princeton University Press，2009.

［5］ BEURLING A，AHLFORS L.The boundary corresponding for quasiconformal mapping［J］.Acta Mathematica，1956，96：125-142.

［6］ ASTALA K，NESI V.Composites and quasiconformal mappings： New optimal bounds in two dimensions［J］.Calculus of Variations and Partial Differential Equations，2003，18：335-355.DOI：10.1007/s00526-003-0145-9.

［7］ DOUADY A，EARLE C J.Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle［J］.Acta Mathematica，1986，15：23-48.

［8］ JIANG Manman，LIU Lixin，YAO Hongyu.The Douady-Earle extension are not always harmonic［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2018，146（7）：2853-2865.DOI：10.1090/proc/13047.

［9］ EARLE C J.Conformally natural extension of vector fields from Sn-1 to Bn［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，1988，102（1）：145-149.DOI：10.1090/s0002-9939-1988-0915733-2.

［10］ 夏道行.擬似共形映照的參數(shù)表示［J］.復(fù)旦學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1959（2）：323-329.

［11］ 伯茂仁克.單葉函數(shù)［M］.楊維奇，譯.北京：科學(xué)出版社，1987.

［12］ HE Chengqi.A parametric representation of quasiconformal extensions［J］.Chinese Science Bulletin，1980，25（9）：721-724.

［13］ LIN Zhenlian，SHI Qingtian.Parametric representations of quasiconformal mappings［J］.Acta Mathematica Scientia，2020，40B（6）：1874-1882.DOI：10.1007/s10473-020-0616-5.

［14］ 林珍連.擬共形映照的參數(shù)表示［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，40（5）：691-693.DOI：10.11830/ISSN.1000-5013.201810077.

［15］ GEHRING F W，REICH E.Area distortion of under quasiconformal mappings［J］.Annales Fennici Mathematici，1966，388：1-14.DOI：10.5186/aasfm.1966.388.

［16］ ASTALA K.Area distortion of quasiconformal mappings［J］.Acta Mathematica，1994，173（1）：37-60.DOI：10.1007/BF02392568.

［17］ EREMENKO A，HAMILTON D H.On the area distortion by quasiconformal mappings［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，1995，123（9）：2793-2797.DOI：10.1090/S0002-9939-1995-1283548-8.

（責(zé)任編輯：" 黃曉楠" 英文審校： 黃心中）

通信作者： 林珍連（1970-），女，副教授，主要從事單復(fù)變函數(shù)的研究。E-mail：zhenlian@hqu.edu.cn。

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471128， 11971182）； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2023J01127）https：//hdxb.hqu.edu.cn/