摘要： 在對象動態(tài)增加的情況下，對多尺度決策信息系統(tǒng)（MDIS）保持局部決策類不確定性的最優(yōu)尺度更新規(guī)律進(jìn)行研究。首先，介紹決策信息系統(tǒng)和多尺度決策信息系統(tǒng)決策類不確定性的基本知識，以及MDIS保持局部決策類不確定性的最優(yōu)尺度定義。然后，在增加一個(gè)對象的條件下，分析MDIS局部決策類不確定性的更新規(guī)律。最后，采用增量學(xué)習(xí)方法，給出增加一個(gè)對象條件下MDIS局部最優(yōu)尺度不變和變大的充分必要條件。結(jié)果表明：文中方法可以快速地確定更新系統(tǒng)局部最優(yōu)尺度。

關(guān)鍵詞： 粒計(jì)算； 多尺度決策信息系統(tǒng)； 局部最優(yōu)尺度選擇； 不確定性； 動態(tài)更新

中圖分類號： TP 18文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A"" 文章編號： 1000-5013（2024）06-0800-08

Updating Law of Local Optimal Scale of Dynamic Multi-Scale Decision Information System

CHEN Yingsheng1， LI Jinjin1，2

（1. School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China；

2. School of Mathematics Sciences and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， China）

Abstract：

Research on the updating law of optimal scale of multi-scale decision information system （MDIS） to keep local decision class uncertainty under the condition of dynamic increase of objects. Firstly， the basic knowledge of decision class uncertainty of decision information system and multi-scale decision information system are introduced， and the definition of optimal scale of MDIS to keep local decision class uncertainty is given. Then， the updating law of local decision class uncertainty of MDIS is analyzed under the condition of adding one object. Finally， using the incremental learning method， the sufficient and necessary conditions are given for the local optimal scale of MDIS to remain invariant or increase under the condition of adding an object. The results show that the proposed method can quickly determine the local optimal scale of the update system.

Keywords：

granular computing； multi-scale decision information system； local optimal scale selection； uncertainty； dynamic update

粒計(jì)算是模仿人類思維方式的一種處理信息的計(jì)算范式［1］。隨著人工智能和信息科學(xué)的發(fā)展，粒計(jì)算已廣泛應(yīng)用于人工智能、知識發(fā)現(xiàn)、決策分類、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域， 成為進(jìn)行海量數(shù)據(jù)挖掘、不確定性分析等復(fù)雜問題的強(qiáng)有力工具［2-5］。多粒度是粒計(jì)算的一種顯著特征，多尺度分析是處理復(fù)雜信息的一

種重要方法。Wu等［6］首先提出多尺度決策信息系統(tǒng)（MDIS）模型，隨后許多學(xué)者對這一模型進(jìn)行大量的研究，主要包含粗糙近似與協(xié)調(diào)性的傳遞規(guī)律［7］、決策規(guī)則［8］、粗糙度和信息熵［9］、最優(yōu)尺度問題［7-14］等。最優(yōu)尺度是MDIS的核心問題，它研究以最小的條件信息達(dá)到最優(yōu)的決策效果。Wu等［6］討論MDIS的8種協(xié)調(diào)性的最優(yōu)尺度，并對其進(jìn)行綜合分析和比較。She等［8］利用決策樹，引入裁剪方法，以決策規(guī)則為標(biāo)準(zhǔn)，研究最優(yōu)尺度與屬性約簡同步的具體算法。Li等［9］將系統(tǒng)推廣到廣義多尺度決策信息系統(tǒng)，采用分步優(yōu)化的方法設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)尺度搜索算法。Huang等［10］將該模型推廣到多尺度決策的情況下，并討論最優(yōu)尺度選擇問題。陳應(yīng)生等［11］構(gòu)建多尺度集值信息系統(tǒng)，引入尺度重要度，給出系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇算法。關(guān)于局部最優(yōu)尺度的研究，顧沈明等［12］，馬周明等［13］研究多尺度決策信息系統(tǒng)的局部最優(yōu)尺度選擇問題；吳偉志等［14］ 研究不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)的局部最優(yōu)尺度組合選擇問題。

動態(tài)變化是大數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特征，增量學(xué)習(xí)是處理動態(tài)數(shù)據(jù)的一種重要方法，它主要研究更新的信息而不是重新計(jì)算，從而顯著地提高效率。增量學(xué)習(xí)方法在粒計(jì)算中得到了應(yīng)用，Yang等［15］提出一種動態(tài)概念更新方法；Zhang等［16］提出一個(gè)概率粗糙集的動態(tài)框架，并使用增量算法更新不確定區(qū)域；He等［17］通過矩陣的更新策略設(shè)計(jì)一種增量算法，并研究模糊概率粗糙集三支區(qū)域的更新規(guī)則。

在MDIS領(lǐng)域，Deng等［18］在MDIS上定義了一個(gè)模糊隸屬度，并采用三支決策理論和增量學(xué)習(xí)方法探索最優(yōu)尺度；Luo等［19］研究不完全MDIS中具有動態(tài)尺度變化的三支決策更新問題。然而，這些研究知識采用增量學(xué)習(xí)方法進(jìn)行尺度間的信息更新，并未考慮到由于對象或?qū)傩缘脑鰟h引起的動態(tài)變化因素。目前，只有少量學(xué)者研究對象動態(tài)增加的情況下MDIS最優(yōu)尺度的更新問題，Hao等［20］運(yùn)用三支決策理論研究MDIS在對象增加時(shí)系統(tǒng)最優(yōu)尺度的更新算法；Chen等［21］研究在對象動態(tài)增加條件下系統(tǒng)最優(yōu)尺度減小的充要條件；Li等［22］進(jìn)一步研究在增加一個(gè)對象時(shí)，系統(tǒng)最優(yōu)尺度相等和增加的充要條件。由于在具體的應(yīng)用中有時(shí)只需要考慮局部決策的問題，故Chen等［23］研究保持系統(tǒng)局部決策類不確定性的最優(yōu)尺度更新問題。

基于此，本文對局部決策類的最優(yōu)尺度問題展開研究，給出最優(yōu)尺度不變和變大的充分必要條件，提出增加對象條件下最優(yōu)尺度更新判斷的快捷方法。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 決策信息系統(tǒng)決策類的不確定性

定義1［6］ S=（U，A∪syggg00）稱為一個(gè)決策信息系統(tǒng)，其中，U={x1，x2，…，xn}是一個(gè)非空有限集合，稱為論域，A={a1，a2，…，am}是一個(gè)非空有限屬性集，對于任意的a∈A，a：U→Va是一個(gè)單值映射，其中，Va={a（x）x∈U}是屬性a的值域。

dA稱為一個(gè)決策屬性，d：U→Vd是一個(gè)單值映射，其中，Vd={d（x）x∈U}是屬性d的值域。

對于任意的屬性子集BA，定義等價(jià)關(guān)系

RB={（x，y）∈U×Ua（x）=a（y），a∈B}。

［x］B={y∈Ua（x）=a（y），a∈B}為對象x關(guān)于屬性子集B的等價(jià)類。對于BA，XU，X關(guān)于屬性子集B的上下近似分別定義為

RB（X）={x∈U［x］B∩X≠}，" RB（X）={x∈U［x］BX}。

由屬性d誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系為

Rd={（x，y）∈U×Ud（x）=d（y）}。

［x］d={y∈U（x，y）∈Rd}為x關(guān)于d的等價(jià)類，U/Rd={Rd（x）x∈U}稱為Rd的商集。

對于任意的決策類D∈U/Rd，U被分成3個(gè)互不相交的區(qū)域，即

PosB（D）=RB（D）={［x］B［x］BD，x∈U}，

NegB（D）=U-RB（D）={［x］B［x］B∩D=，x∈U}，

BndB（D）=RB（D）-RB（D）={［x］B［x］BX，［x］B∩D≠，x∈U}。

式中：PosB（D）是可以完全確定屬于D的信息粒，稱為接受域；NegB（D）是完全不屬于D的信息粒，稱為拒絕域；BndB（D）是不能確定屬于D或不屬于D的信息粒，稱為邊界域；PosB（D）與NegB（D）是完全可以決策的區(qū)域，而BndB（D）是不確定性區(qū)域。

定義2［20］ 設(shè)S=（U，A∪syggg00）是一個(gè)決策信息系統(tǒng)，D∈U/Rd，令

UNC（A，D）={［x］B［x］BD，［x］B∩D≠，x∈U}，

則稱UNC（A，D）為D關(guān)于B的不確定性。

容易得到引理1。

引理1［22］ 設(shè)S=（U，A∪syggg00）稱為一個(gè)決策信息系統(tǒng)，D∈U/Rd，x∈U，則有

x∈UNC（A，D）［x］AUNC（A，D），

xUNC（A，D）［x］A∩UNC（A，D）=。

1.2 多尺度決策信息系統(tǒng)保持不確定性的最優(yōu)尺度選擇

定義3［6］ 設(shè)S=（U，A）為多尺度信息系統(tǒng)，其中，U={x1，x2，…，xn}是一個(gè)非空有限集合，A={a1，a2，…，am}是一個(gè)非空條件屬性集，每個(gè)屬性aj都有s個(gè)尺度，并且對任意的1≤r≤s-1，1≤j≤m，存在一個(gè)滿射gr，r+1j：Vrj→Vr+1j，使ar+1j=gr，r+1j·arj，即對任意的x∈U，有ar+1j（x）=gr，r+1j（arj（x）），Vrj={arj（x）x∈U}是aj關(guān)于第r尺度的屬性arj的值域，gr，r+1j稱為條件屬性aj從第r尺度到第r+1的粒度轉(zhuǎn)換函數(shù)。

根據(jù)定義3，S關(guān)于第k尺度的信息系統(tǒng)為（U，Ak）=（U，{ak1，ak2，…，akm}），并且對任意的x∈U，有［x］A1［x］A2…［x］As，即信息粒是隨著尺度的減少而逐漸變細(xì)。

不失一般性，為方便表達(dá)，與定義3相反，文獻(xiàn)［20-23］規(guī)定信息粒是隨著尺度的增加而逐漸變細(xì)，以下的討論也遵循這個(gè)規(guī)定，故有

［x］As［x］As-1…［x］A1。

定義4［7］ 設(shè)S=（U，A∪syggg00）為多尺度決策信息系統(tǒng)，S=（U，A）是一個(gè)多尺度信息系統(tǒng)，dA是一個(gè)決策屬性，由決策屬性d誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系為

Rd={（x，y）∈U×Ud（x）=d（y）}。

根據(jù)信息粒是隨著尺度的增加而逐漸變細(xì)，對任意的D∈U/Rd，有

RA1（D）RA2（D）…RAs（D），" RA1（D）RA2（D）…RAs（D）。

根據(jù)上下近似定義，U被分成3個(gè)互不相交的區(qū)域，即

ACP（Ak，D）=RAk（D）={［x］Ak［x］AkD，x∈U}，

REJ（Ak，D）=U-RAk（D）={［x］Ak［x］Ak∩D=，x∈U}，

UNC（Ak，D）=RAk（D）-RAk（D）={［x］Ak［x］AkD，［x］Ak∩D≠，x∈U}，

且有UNC（As，D）UNC（As-1，D）…UNC（A1，D）。

根據(jù)序貫三支決策理論，有

ACP（Ak+1，D）=ACP（Ak，D）∪K，

REJ（Ak+1，D）=REJ（Ak，D）∪J，

UNC（Ak+1，D）=UNC（Ak，D）-L。

式中：K={x∈UNC（Ak，D）［x］AkD}；J={x∈UNC（Ak，D）［x］Ak∩D=}；L={x∈UNC（Ak，D）［x］AkD∧［x］Ak∩D≠}。

多尺度決策信息系統(tǒng)不同尺度間的信息粒化程度不一樣，較細(xì)尺度的?；容^高，但認(rèn)識知識需花費(fèi)的精力較多，較粗尺度的?；容^低，而認(rèn)識知識需花費(fèi)的精力較少。人類的認(rèn)知過程是一個(gè)由淺入深逐步推進(jìn)的過程，面對具體的認(rèn)識目標(biāo)，人們希望以最小的精力獲取決策目標(biāo)，即以最粗的尺度獲取決策目的，由于不確定性是衡量決策能力的重要指標(biāo)，而決策目標(biāo)有時(shí)針對具體的某個(gè)決策類，因此，提出定義5。

定義5 設(shè)S=（U，A∪syggg00）為MDIS，D∈U/Rd，如果存在一個(gè)1≤k≤s， 使得UNC（As，D）=UNC（Ak，D），但任意的llt;k，有UNC（As，D）UNC（Al，D）成立，則稱k是D的局部最優(yōu)尺度。

根據(jù)定義5，對于D∈U/Rd，由UNC（As，D）UNC（As-1，D）…UNC（A1，D），決策類D針對最高尺度的不確定性最小，即最高尺度的決策能力最好。因此，k是保持局部決策類不確定性的最粗尺度，即保持局部決策能力不變的最優(yōu)尺度。

2 增加對象條件下多尺度決策信息系統(tǒng)最優(yōu)尺度的更新規(guī)律

對于一個(gè)多尺度決策信息系統(tǒng)S=（U，A∪syggg00），當(dāng)信息系統(tǒng)添加一個(gè)對象y時(shí)，系統(tǒng)決策類的不確定性和最優(yōu)尺度可能發(fā)生改變，故討論增加一個(gè)對象y是不確定性和最優(yōu)尺度的更新規(guī)律。為方便表達(dá)，把增加一個(gè)對象前后對應(yīng)的時(shí)刻分別記為t，t+1；

S（t）=（Ut，A∪syggg00），S（t+1）=（Ut+1，A∪syggg00）分別為時(shí)刻t，t+1對應(yīng)的多尺度決策信息系統(tǒng)；

Ut={x1，x2，…，xn}，Ut+1={x1，x2，…，xn，y}分別為時(shí)刻t，t+1系統(tǒng)對應(yīng)的論域；

［x］tAk，［x］t+1Ak分別為對象x第k尺度下在時(shí)刻t，t+1的等價(jià)類。

下文都是針對更新前后的系統(tǒng)S（t），S（t+1）開展的。因此，引理或定理的表述中不再強(qiáng)調(diào)更新前后的系統(tǒng)，也不再強(qiáng)調(diào)添入的對象y。

假設(shè)添入的對象y不自成一類，即存在x∈Ut，使［y］tAs=［x］tAs∪{y}。

對于Dt∈Ut/Rd，添加對象y后，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，則有

Dt+1=Dt∪{y}，" d（y）=d（x）， x∈Dt，Dt，" 其他。

引理2［20］ 對于任意的Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，1≤k≤s，則有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt）∪［y］t+1Ak，" y∈UNC（Ak，Dt+1），UNC（Ak，Dt），" 其他。

根據(jù)引理2，顯然，有UNC（Ak，Dt）UNC（Ak，Dt+1）。

更進(jìn)一步，容易得到引理3。

引理3 對Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，［y］t+1Ak=［x］t+1Ak∪{y}，1≤k≤s，有以下2個(gè)結(jié)論成立。

1） 如果Dt+1=Dt∪{y}，則有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt），" ［x］tAkD，UNC（Ak，Dt）∪［x］tAk∪{y}，" ［x］tAk∩D=，UNC（Ak，Dt）∪{y}，" 其他。

2） 如果Dt+1=Dt，則有

UNC（Ak，Dt+1）=UNC（Ak，Dt）∪［x］tAk∪{y}， ［x］tAkD，

UNC（Ak，Dt），" ［x］tAk∩D=，

UNC（Ak，Dt）∪{y}，" 其他。

文獻(xiàn)［23］中給出最優(yōu)尺度變小的充分必要條件。

定理1［23］ 設(shè)Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分別是Dt，Dt+1的最優(yōu)尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，則Rlt;r當(dāng)且僅當(dāng)以下3個(gè)條件成立：

1） y∈UNC（As，Dt+1）；

2） xUNC（As，Dt）；

3） UNC（Ar-1，Dt）-UNC（As，Dt）=［x］tAs。

定理2 設(shè)Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分別是Dt，Dt+1的最優(yōu)尺度，若［y］tAs=［x］tAs∪{y}，yUNC（As，Dt+1），則r=R。

證明：由于yUNC（As，Dt+1），根據(jù)引理1，有［y］As∩UNC（As，Dt+1）=，故［x］As∩UNC（As，Dt）=成立，又因r是決策類Dt的最優(yōu)尺度，有UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），故［x］Ar∩UNC（Ar，Dt）=，分兩種情況證明yUNC（Ar，Dt+1）。

1） 當(dāng)Dt+1=Dt∪［y］時(shí)，由yUNC（As，Dt+1）及［y］tAs=［x］tAs∪{y}，有

［x］tAsDt，故［x］tArDt，否則與UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt）矛盾，故

［y］tAr=［x］tAr∪{y}Dt+1，即yUNC（Ar，Dt+1）。

2） 當(dāng)Dt+1=Dt∪［y］時(shí)，由yUNC（As，Dt+1）及［y］tAs=［x］tAs∪{y}，有

［x］tAs∩Dt=，［x］tAr∩Dt=，否則與UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt）矛盾，所以［y］tAr∩Dt+1=，即yUNC（Ar，Dt+1）。

根據(jù)引理2，UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt），UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt），故有UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1）。

另一方面，因?yàn)閞是決策類Dt的最優(yōu)尺度，所以UNC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt），從而UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt）UNC（Ar-1，Dt+1），所以r=R。

定理3 設(shè)Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分別是Dt，Dt+1的最優(yōu)尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，若x∈UNC（As，Dt），則r=R。

證明：如果x∈UNC（As，Dt），那么y∈UNC（As，Dt+1），因?yàn)閁NC（As，Dt）=

UNC（Ar，Dt），所以有x∈UNC（Ar，Dt），y∈UNC（Ar，Dt+1），根據(jù)引理2，可得

UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪{y}，且UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪{y}。

因此，有UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1），因UNC（As，Dt）UNC（Ar+1，Dt），有

x∈UNC（Ar+1，Dt），y∈UNC（Ar+1，Dt+1），從而有UNC（A1，Dt+1）=UNC（A1，Dt）∪{y}

UNC（Ar+1，Dt）∪{y}=UNC（Ar+1，Dt+1），所以R=r。

根據(jù)定理2與定理3，添加對象y后，如果yUNC（As，Dt+1）或者x∈UNC（As，Dt），則Dt+1的最優(yōu)尺度也是r，因此，只討論y∈UNC（As，Dt+1）且xUNC（As，Dt）的情況。因?yàn)閞是Dt的最優(yōu)尺度，故UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），從而xUNC（Ar，Dt），y∈UNC（Ar，Dt+1），根據(jù)引理1與引理3，容易得到引理4。

引理4 設(shè)r是Dt的最優(yōu)尺度，y∈UNC（As，Dt+1）且xUNC（As，Dt），則有

［x］tAs∩UNC（As，Dt）=，

［x］tAr∩UNC（Ar，Dt）=，

UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}，

UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}。

證明：y∈UNC（As，Dt+1），xUNC（As，Dt），根據(jù)引理1可得［y］AsUNC（As，Dt+1）且［x］As∩UNC（As，Dt）=。根據(jù)引理3，可得UNC（As，Dt+1）=UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}。

由于設(shè)r是Dt的最優(yōu)尺度，所以UNC（As，Dt）=UNC（Ar，Dt），從而有

［x］tAs∩UNC（As，Dt）=，

UNC（Ar，Dt+1）=UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}。

給出最優(yōu)尺度不變與變大的充分必要條件（定理4，5）。

定理4 設(shè)Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分別是Dt，Dt+1的最優(yōu)尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，y∈UNC（As，Dt+1），且xUNC（As，Dt），則R=r當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個(gè)條件成立：

1） ［x］tAs=［x］tAr；

2） UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。

證明：根據(jù)引理4，有

UNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1）［x］tAs=［x］tAr。

又因?yàn)閁NC（As，Dt）UNC（Ar-1，Dt），所以有

UNC（As，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}UNC（Ar-1，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。因此，有

R=rUNC（As，Dt+1）=UNC（Ar，Dt+1），

UNC（As，Dt+1）UNC（Ar-1，Dt+1）［x］tAs=［x］tAr，

UNC（Ar-1，Dt+1）-UNC（As，Dt）［x］tAs。

定理5 設(shè)Dt∈Ut/Rd，Dt+1∈Ut+1/Rd是Dt的更新，r，R分別是Dt，Dt+1的最優(yōu)尺度，［y］tAs=［x］tAs∪{y}，y∈UNC（As，Dt+1），xUNC（As，Dt），則Rgt;r當(dāng)且僅當(dāng)

［x］tAs［x］tAr。

證明：根據(jù)引理4，有

Rgt;rUNC（As，Dt+1）UNC（Ar，Dt+1）UNC（As，Dt）∪［x］tAs∪{y}UNC（Ar，Dt）∪［x］tAr∪{y}［x］tAs［x］tAr。

例1

動態(tài)多尺度決策信息系統(tǒng)（例1），如表1所示。更新動態(tài)MDSI決策類的局部最優(yōu)尺度。

設(shè)Ut={x1，x2，…，x8}，當(dāng)對象y，z被添加到系統(tǒng)后，對最優(yōu)尺度的更新進(jìn)行研究。經(jīng)計(jì)算可得

Ut/Rd={Dt，Et}={{x1，x2，x3，x4}，{x5，x6，x7，x8}}，

Ut/RA3={{x1}，{x2}，{x3}，{x4，x5}，{x6}，{x7}，{x8}}，

Ut/RA2={{x1}，{x2，x3}，{x4，x5}，{x6}，{x7，x8}}，

Ut/RA1={{x1}，{x2，x3，x4，x5}，{x6，x7，x8}}，

UNC（A3，Dt）=UNC（A3，Et）={x4，x5}，

UNC（A2，Dt）=UNC（A2，Et）={x4，x5}，

UNC（A1，Dt）=UNC（A1，Et）={x2，x3，x4，x5}。

因此，Dt，Et的局部最優(yōu)尺度都是2。

當(dāng)添入對象y時(shí)，有Et+1=Et∪{y}，經(jīng)計(jì)算可得，［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，

UNC（A3，Dt+1）={x4，x5，x8，y}，UNC（A3，Et+1）={x4，x5，x8，y}，故

［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，y∈UNC（A3，Dt+1），x8UNC（A3，Dt），［x8］tA3［x8］tA2，

根據(jù)定理5，Dt+1的最優(yōu)尺度大于Dt的最優(yōu)尺度，

由［y］t+1A3=［x8］tA3∪{y}，y∈UNC（A3，Et+1），x8UNC（A3，Et），［x8］tA3［x8］tA2，Et+1的最優(yōu)尺度大于Et的最優(yōu)尺度。經(jīng)計(jì)算Dt+1，Et+1的最優(yōu)尺度都為3。

當(dāng)添入對象z時(shí)，有Dt+1=Dt∪{z}，經(jīng)過計(jì)算可得到［z］t+1A3=［x1］tA3∪{z}，

UNC（A3，Dt+1）=UNC（A3，Et+1）={x4，x5}，zUNC（A3，Dt+1），zUNC（A3，Et+1），

由定理2，Dt+1與Et+1的最優(yōu)尺度都不變，都為2。

由于［x2］tA3=x2，［x3］tA3=x3，所以

UNC（A1，Dt+1）-UNC（A3，Dt）UNC（A1，Dt）-UNC（A3，Dt）={x2，x3}≠［x2］tA3，

UNC（A1，Et+1）-UNC（A3，Et）UNC（A1，Et）-UNC（A3，Et）={x2，x3}≠［x3］tA3。

根據(jù)定理1，無論加入何對象，最優(yōu)尺度都不會變小。

例2 動態(tài)多尺度決策信息系統(tǒng)（例2），如表2所示。更新動態(tài)MDSI決策類的局部最優(yōu)尺度。

經(jīng)計(jì)算可得

Ut/Rd={Dt，Et}={{x1，x2，x3，x4，x5}，{x6，x7，x8，x9，x10}}，

Ut/RA4={{x1，x2}，{x3}，{x4，x7}，{x5，x6}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA3={{x1，x2}，{x3}，{x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA2={{x1，x2}，{x3，x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

Ut/RA1={{x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7}，{x8，x9，x10}}，

UNC（A4，Dt）=UNC（A4，Et）={x4，x5，x6，x7}，

UNC（A3，Dt）=UNC（A3，Et）={x4，x5，x6，x7}，

UNC（A2，Dt）=UNC（A2，Et）={x3，x4，x5，x6，x7}，

UNC（A1，Dt）=UNC（A1，Et）={x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7}。

因此，Dt，Et的最優(yōu)尺度都是3，

添入對象y時(shí)，由表2可得，Dt+1=Dt∪{y}，Et+1=Et，且［y］t+1A4=［x4］tA4∪{y}，

由x4∈UNC（A4，Dt），x4∈UNC（A4，Et），根據(jù)定理3，Dt+1與Et+1的最優(yōu)尺度都不變，仍為2。

3 結(jié)束語

尋找最優(yōu)尺度是多尺度決策信息系統(tǒng)的一個(gè)核心問題，決策類的不確定性是系統(tǒng)決策能力的一個(gè)重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)。在最細(xì)尺度下，系統(tǒng)的決策能力最優(yōu)。以局部決策類在最細(xì)尺度下的不確定性作為度量指標(biāo)，采用增量學(xué)習(xí)方法，在對象動態(tài)增加的環(huán)境下，研究多尺度的決策信息系統(tǒng)保持局部決策類不確定性的最優(yōu)尺度的更新規(guī)律，給出在添加一個(gè)對象條件下，最優(yōu)尺度不變和變大的充分必要條件。文中給出了添加對象后系統(tǒng)最優(yōu)尺度更新的一種判別方法，進(jìn)一步完善了這一課題的研究，具有一定的理論價(jià)值和實(shí)踐價(jià)值。

今后，將進(jìn)一步研究對象動態(tài)增加環(huán)境下多尺度覆蓋決策信息系統(tǒng)和集值決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度更新規(guī)律，并探索將所得的結(jié)果推廣到模糊集的情形。

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（責(zé)任編輯： "錢筠" 英文審校： 黃心中）

通信作者： 李進(jìn)金（1960-），男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)與不確定性分析的研究。E-mail：jinjinlimnu@126.com。

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12271191， 11871259）； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2022J01306）https：//hdxb.hqu.edu.cn/