丁波

［摘 要］整體思想可以達(dá)到化繁為簡，變難為易的目的。文章結(jié)合五則典例，探討整體思想在平方差公式、完全平方公式、因式分解、二元一次方程組、分式方程中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生整體思想意識(shí)，提高學(xué)生整體解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］整體思想；代數(shù)；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）26-0029-03

整體思想是指從整體上去認(rèn)識(shí)問題，思考問題，重點(diǎn)分析問題整體結(jié)構(gòu)與特征，從而達(dá)到化繁為簡、變難為易的目的。整體思想主要表現(xiàn)為整體思考、整體運(yùn)算、整體代換或整體構(gòu)造等，它可以應(yīng)用在方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等諸多方面。以下筆者結(jié)合幾則典例，重點(diǎn)探討代數(shù)中的整體思想及其應(yīng)用。

一、平方差公式中的整體思想

平方差公式用字母可表示為[（a+b）（a-b）=a2-b2]，公式里的字母[a]，[b]可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，當(dāng)字母是多項(xiàng)式時(shí)，需要用整體思想加以處理，當(dāng)算式需要多處應(yīng)用平方差公式時(shí)，也需要用整體思想。

［例1］如圖1，在邊長為[a]的正方形中挖去一個(gè)邊長為[b]的小正方形（[a>b]），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形。（1）通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是 ? ? 。（請選擇正確的一個(gè)）

A. [a2-2ab+b2=（a-b）2]

B. [a2-b2=（a+b）（a-b）]

C. [a+ab2=a（a+b）]

D. [a2+2ab+b2=（a+b）2]

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知[x2-4y2=12]，[x+2y=4]，求[x-2y]的值；②計(jì)算：（22+42+62+82+102+122+…1002）-（12+32+52+72+92+112+…+992）。

思路導(dǎo)引：（1）利用大正方形面積減去小正方形面積表示左圖陰影部分面積，用長方形面積公式表示右圖陰影部分面積，根據(jù)面積不變得到結(jié)論；（2）①運(yùn)用平方差公式，將[x2-4y2=12]，[x+2y=4]整體代入求解；②算式是多個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和減去多個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和，利用加法的交換律與結(jié)合律變?yōu)槿舾蓚€(gè)平方差的和，從而解決問題。

解：（1）左圖中，陰影部分為大正方形減去小正方形，面積為[a2-b2]，右圖陰影是拼成的長方形，長為[a+b]，寬為[a-b]，所以右圖陰影部分面積為[（a+b）（a-b）]，由于左、右兩圖面積相等，所以[a2-b2=（a+b）（a-b）]，故答案為B。

（2）①由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得[x2-4y2=（x+2y）（x-2y）]，∵[x2-4y2=12]，[x+2y=4]，∴[x-2y=12÷4=3]。②通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律將原式寫成：（22-12）+（42-32）+（62-52）+（82-72）+…+（1002-992）=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）+…+（100+99）（100-99）=3+7+11+15+…+199=1+2+3+4+5+6+7+8+…+99+100=（1+100）×（100÷2）=5050。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)平方差公式的兩個(gè)數(shù)分別是多項(xiàng)式時(shí)，計(jì)算時(shí)需要用整體思想。

二、完全平方公式中的整體思想

完全平方公式是指兩數(shù)和或差的平方，等于兩數(shù)的平方和加上或減去這兩數(shù)積的2倍。反之，兩數(shù)的平方和加上或減去這兩數(shù)積的2倍，等于這兩數(shù)和或差的平方。用字母可表示為[（a±b）2=a2±2ab+b2]，公式中的字母[a]，[b]可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)字母表示多項(xiàng)式時(shí)，需要用整體思想來處理。

思路導(dǎo)引：（1）從正方形面積公式與大正方形的面積組合兩個(gè)角度得到大正方形面積，根據(jù)面積相等，得到結(jié)論；（2）由（1）得到的公式，得[x]，[y]兩數(shù)差、兩數(shù)和與兩數(shù)積的關(guān)系式，整體代入求值；（3）將完全平方公式變形，得到[2ab=（a+b）2-（a2+b2）]，然后整體代入求解。

解：（1）由正方形面積公式，得[S大正方形=（a+b）2]，由大正方形面積等于小正方形面積+四個(gè)矩形面積，得[S大正方形=（a-b）2+4ab]，∴[（a+b）2=（a-b）2+4ab]，故答案為[（a+b）2=（a-b）2+4ab]。

（2）由（1）可知[（a+b）2=（a-b）2+4ab]，得[（x-y）2=（x+y）2-4xy]，∴[（x-y）2=（x+y）2-4xy=16]，∴[x-y=±4]。

（3）∵[（a+b）2=a2+2ab+b2]，∴[2ab=（a+b）2-（a2+b2）]，∴[2（2020-m）（m-2023）=（2020-m）+（m-2023）2-（2020-m）2+（m-2023）2=（-3）2-7=2]，∴（2020-m）（m-2023）=1。

點(diǎn)評(píng)：在第（2）小題中，已知兩數(shù)和與兩數(shù)積，整體代入就可以求出兩數(shù)的差，其關(guān)鍵是掌握兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積之間的計(jì)算公式；在第（3）小題中，已知兩數(shù)的平方和求兩數(shù)積，整體代入求解，其關(guān)鍵是將完全平方公式變形。

三、因式分解中的整體思想

因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的乘積的形式，它的過程與整式乘法相反，因式分解的方法包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等，當(dāng)公因式是多項(xiàng)式，需要整體將公因式提出來，當(dāng)乘法公式里的字母表示多項(xiàng)式時(shí)，也需要用整體思想來處理。

思路導(dǎo)引：（1）根據(jù)所給三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)結(jié)果均是一個(gè)二項(xiàng)式，x的指數(shù)比等式左邊的最高次數(shù)大1，由此填空；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將多項(xiàng)式m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1轉(zhuǎn)化為兩個(gè)多項(xiàng)式的相除，再被除數(shù)因式分解，約分后得到分解因式的結(jié)果；（3）與（2）的分解因式對(duì)照，（3）的算式相當(dāng)于（2）的多項(xiàng)式，將[m=2]代入后可得a，b，c，d的值，最后再化簡求值。

點(diǎn)評(píng)：從上面的解答可以看出，分解因式的方法可以從整式乘法里獲得，將整式乘法反過來就是分解因式的結(jié)果。

四、二元一次方程組中的整體思想

解二元一次方程組的基本思想是消元，基本方法是代入消元法與加減消元法，其目的是將二元一次方程組化為一元一次方程來解。解二元一次方程組還有一種方法叫作整體代換法，它是將方程組中的某一部分看作一個(gè)整體，通過整體代換的方法消元，也可以達(dá)到解方程組的目的。

思路導(dǎo)引：（1）仿照材料中的“整體代換”解法，將[3x+5y]看作一個(gè)整體，將方程②變形后，把方程①整體代入解方程組；（2）①仿照材料中的“整體代換”解法，將[2x2-xy+3y2]看作一個(gè)整體，將方程②變形后，把方程①整體代入求得[xy]的值；②根據(jù)[xy]的值，列出[x]，[y]對(duì)應(yīng)的整數(shù)值，再代入方程組進(jìn)行檢驗(yàn)。

點(diǎn)評(píng)：整體代換法就是一種整體代入的思想方法，適用于特殊的方程組。

五、分式方程中的整體思想

分式方程是指分母中含有未知數(shù)的方程，解分式方程的基本思想是化分式方程為整式方程，基本方法就是去分母。對(duì)于特殊類型的分式方程，可通過觀察幾個(gè)具體的方程的解從而獲得規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求得同一類型的分式方程的解，此時(shí)需要用整體思想將非此類型的方程進(jìn)行變形。

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出，要將問題作為一個(gè)整體來理解，然后再判定哪個(gè)點(diǎn)是最重要的內(nèi)容，這樣就占據(jù)了有利的位置，沒有整體理解問題就從細(xì)節(jié)開始，是一種愚蠢的做法。由此可見整體思想的重要性。以上筆者從五個(gè)方面探析了整體思想的運(yùn)用，以期給讀者一些體會(huì)與感悟。