[一] [、研究緣起]

史寧中教授提出，數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果只教授概念而不探究其性質(zhì)，則沒必要教。而對(duì)平面幾何圖形而言，探究其性質(zhì)是指發(fā)現(xiàn)其組成要素（點(diǎn)、線）之間的相互關(guān)系，包括位置關(guān)系與度量關(guān)系。

依據(jù)四年級(jí)下冊(cè)（人教版教材，下同）給出的三角形的定義“由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫做三角形”，可知“三條線段”是三角形的組成要素，“每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連”則是要素之間的位置關(guān)系。那么如何保證三條線段能夠依次首尾相連從而組成一個(gè)三角形呢？這就有必要對(duì)三角形三邊之間的度量關(guān)系（以下簡(jiǎn)稱三角形三邊關(guān)系）進(jìn)行探究。

有教師提出可以簡(jiǎn)單明了地從“兩點(diǎn)間線段最短”直接推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系。然而華應(yīng)龍認(rèn)為：“如果從結(jié)論的角度，‘三角形的三邊關(guān)系’完全應(yīng)該放在中學(xué)學(xué)習(xí)，小學(xué)四年級(jí)學(xué)了用處不大；如果從過(guò)程的角度，想讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法、探究的樂趣、數(shù)學(xué)的好玩，那么它就是很好的‘玩具’?！币虼嗽S多研究者嘗試設(shè)計(jì)“三角形三邊關(guān)系”的探究活動(dòng)，形式豐富多樣，但存在不少問(wèn)題。比如，學(xué)生在操作過(guò)程中易因活動(dòng)材料本身的物理屬性，得出“當(dāng)兩條線段之和等于第三條線段時(shí)，三條線段可以拼成三角形”等錯(cuò)誤結(jié)論。還有研究者設(shè)計(jì)了“pRDwit+tI8WUIKt0jwqpWA==剪吸管”活動(dòng)，讓學(xué)生思考為構(gòu)成三角形第一刀與第二刀該如何剪，以此鞏固學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解。但是教學(xué)中僅簡(jiǎn)單應(yīng)用定理，而未引發(fā)學(xué)生的思考。

此外，數(shù)學(xué)推理是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，包括演繹推理和歸納推理。教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角形三邊關(guān)系時(shí)，要么僅通過(guò)演繹推理證明結(jié)論，要么僅通過(guò)歸納推理得到結(jié)論，而少有將兩者結(jié)合在一起教學(xué)的。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)歸納推理探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，應(yīng)用演繹推理證明結(jié)論，兩者相輔相成更有利于學(xué)生理解“三角形三邊關(guān)系”。

為此，本文從幾何作圖、演繹推理、代數(shù)表征三個(gè)視角理解三角形三邊關(guān)系，并將動(dòng)手操作、直觀感知與演繹推理相結(jié)合，設(shè)計(jì)了有利于學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系的學(xué)習(xí)路徑，為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供參考。

[二][、理解三角形三邊關(guān)系的三個(gè)視角]

1.幾何作圖：探究三角形三邊關(guān)系，并作出三角形。

尺規(guī)作圖是認(rèn)識(shí)圖形和探索圖形的重要方法。2022年版課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中就增加了借助尺規(guī)作圖探索線段、三角形的新要求，以此幫助學(xué)生形成初步的幾何直觀。

已知三條線段AB、CD、EF（如圖1），能否構(gòu)成一個(gè)三角形呢？首先確定線段AB的位置，得到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B；其次分別以A、B為圓心，以線段CD、EF為半徑作圓，探索第三個(gè)頂點(diǎn)。結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，總結(jié)得以下五種情況[如表1。為便于說(shuō)明，僅改變EF（即⊙B的半徑）的長(zhǎng)度]：

綜上所述，命題“只有當(dāng)任意兩條線段之和大于第三條線段時(shí)，才能圍成一個(gè)三角形”為真。由此可推出，命題“若兩條線段的和等于或者小于第三條線段，則三條線段不能圍成三角形”亦為真，其逆否命題“三角形任意兩邊的和大于第三邊”也為真。通過(guò)幾何作圖探究得到的結(jié)論與教材上的結(jié)論一致。

2.演繹推理：邏輯論證三角形三邊關(guān)系。

從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，問(wèn)：小明從家去學(xué)校（如圖2），怎樣走最近？易得：直著走的路線近，拐彎走的路線遠(yuǎn)。這個(gè)不證自明的基本事實(shí)源于《幾何原本》中所提出的公理——兩點(diǎn)之間線段最短。

同理可推得：AC<AB+BC，BC<BA+AC。

換言之，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可直接推得“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。這與八年級(jí)教材中對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的論述一致：“由兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到三角形任何兩邊的和大于第三邊?！比欢滩闹形凑故就蒲葸^(guò)程，學(xué)生仿佛“霧里看花”，似懂非懂。

3.代數(shù)表征：逐步精確刻畫三邊關(guān)系。

（1）層次一：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

由上述演繹推理過(guò)程可知，對(duì)三角形三邊關(guān)系最基本的認(rèn)識(shí)即“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述則為：若將△ABC的三邊BC、AC、AB分別記為a、b、c，則有a+c>b，b+c>a，a+b>c。這僅僅模糊地描述了三角形三邊之間的定性關(guān)系，如何精確地刻畫三角形三邊的關(guān)系呢？

（2）層次二：三角形任意一邊邊長(zhǎng)小于周長(zhǎng)的一半。

就三角形三邊之間的度量關(guān)系而言，最先想到的應(yīng)是三角形的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)之間的關(guān)系，這是部分與整體的關(guān)系?；诖?，我們嘗試從“三角形任意兩邊之和大于第三邊”推導(dǎo)出三角形各邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)之間的關(guān)系。

證明：在AB上取一點(diǎn)D使得AD=AC（AB>AC，所以能取到點(diǎn)D）。

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD。

∵∠ADC是△BDC的外角，

∴∠ADC=∠ABC+∠DCB。

∴∠ACD=∠ABC+∠DCB。

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠ABC+∠DCB+∠DCB。

∴∠ACB>∠ABC。

“大角對(duì)大邊”的推導(dǎo)與此類似，不再贅述。

上述邊與角之間的關(guān)系定性地說(shuō)明了“三角形中，若角較大，則對(duì)應(yīng)的邊較長(zhǎng)”，但未能給出定量的刻畫，我們還需要進(jìn)一步探究邊與角之間更精確的關(guān)系。

（4）層次四：通過(guò)勾股定理建立邊與角之間較為精確的關(guān)系。

直角三角形是一般三角形的特殊情況，因此滿足層次一到層次三的關(guān)系。此外，鑒于直角三角形中有特殊角，勾股定理比較精確地刻畫了三邊之間的關(guān)系。然而，邊與角之間的關(guān)系刻畫得仍不夠精確，問(wèn)題仍然存在。比如，在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的度數(shù)及其對(duì)邊的長(zhǎng)度，理論上，這個(gè)三角形是唯一確定的，因而可以得到另外兩邊的長(zhǎng)度，但是利用勾股定理無(wú)法求出，原因就在于其邊與角之間的關(guān)系刻畫得還不夠精確，且勾股定理局限于直角三角形，不適用于一般三角形，因此需要繼續(xù)探尋。

（5）層次五：通過(guò)余弦定理建立邊與角之間精確的關(guān)系。

高中教材中出現(xiàn)了可應(yīng)用于一般三角形的余弦定理（如[a2=b2+c2-2bccosA]）。余弦定理建立了邊與角之間的精確關(guān)系：在三角形中，知道一個(gè)角及其兩條鄰邊的大小（本質(zhì)上是這個(gè)三角形唯一確定），就可求得第三條邊的大小，進(jìn)而可以求出其他角的大小。該定理統(tǒng)領(lǐng)了層次一至層次四，推導(dǎo)如下。

勾股定理（層次四）是余弦定理的一種特殊情況：若∠A=90°，可知[cosA=0]。所以，[a2=b2+][c2-2bccosA=b2+c2-2bc?0=b2][+c2]。

通過(guò)代數(shù)運(yùn)算與演繹推理，從模糊的三邊關(guān)系“三角形任意兩邊之和大于第三邊”到精確的用余弦定理描述、刻畫的邊角關(guān)系，為學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系搭建由易到難、由淺入深、由粗到精的框架。當(dāng)然，余弦定理等貫通三角形邊角關(guān)系的知識(shí)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握的學(xué)科知識(shí)。

[三][、應(yīng)用“三角形三邊關(guān)系”的實(shí)踐研究]

1.應(yīng)用三角形三邊關(guān)系：怎樣將一條線段折成一個(gè)三角形？

通過(guò)幾何作圖可得“只有任意兩條線段之和大于第三條線段時(shí)，才能使三條線段拼成三角形”，通過(guò)演繹推理可知“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，通過(guò)代數(shù)推算將“三角形任意兩邊之和大于第三邊”轉(zhuǎn)變成“三角形每條邊的長(zhǎng)度小于周長(zhǎng)的一半”，這為探究“怎樣將一條線段折成一個(gè)三角形”做好了理論鋪墊。

將一條線段折兩次，折成一個(gè)三角形，需要探討以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）第一次折在什么位置？

（2）第二次折在哪條線段上？

（3）第二次折不能折在該線段的哪些位置？

記線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O。為了使每段長(zhǎng)小于整段長(zhǎng)的一半，第一次折不能折在中點(diǎn)O處，那么只能折在線段OA上或線段OB上（不包括O、A、B三點(diǎn)），這回答了第一個(gè)問(wèn)題。

假設(shè)第一次折在線段OA上，并記折痕與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)C（如圖4）。在此基礎(chǔ)上，第二次折（記折痕與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D）應(yīng)該折在哪條線段上？若折在短邊AC上，則AD+DC<CB，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以第二次折必須折在長(zhǎng)邊CB上。

第三個(gè)問(wèn)題，第二次不能折在線段CB的哪些位置？

為保證每段長(zhǎng)小于整段長(zhǎng)的一半，除了C、D兩點(diǎn)都不與點(diǎn)O重合，還需要注意線段CD<[12]AB，DB<[12]AB。因此以點(diǎn)C為圓心，AO為半徑作圓交線段AB于點(diǎn)H。第二次的折痕與AB的交點(diǎn)D需要在線段OH間（不包含點(diǎn)O、H；因?yàn)橐ＷCDB<[12]AB，所以，點(diǎn)D不能在CO之間；如圖5）。

綜上所述，為將線段AB折成一個(gè)三角形，第一次不折在中點(diǎn)，第二次應(yīng)折在點(diǎn)O和點(diǎn)H之間。

2.三個(gè)視角下的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)。

幾何作圖的優(yōu)勢(shì)是直觀化、操作性，演繹推理的優(yōu)勢(shì)是一般化、嚴(yán)密性，代數(shù)表征的優(yōu)勢(shì)是符號(hào)化、精確性，三個(gè)視角各有優(yōu)劣。應(yīng)用多種視角可以更好地幫助學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展多方面能力。

教師可以基于上述三個(gè)視角，進(jìn)行三角形三邊關(guān)系的探究教學(xué)，并根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化：幾何作圖不必太詳細(xì)，演繹推理不可太嚴(yán)密，代數(shù)表征無(wú)須太精確，要發(fā)揮各種方式的優(yōu)勢(shì)，漸次推進(jìn)，協(xié)調(diào)融通，這樣，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的深刻理解。

學(xué)生無(wú)法在一節(jié)課完成這么多內(nèi)容的學(xué)習(xí)，因此教師可將其作為一個(gè)小單元進(jìn)行教學(xué)。

（1）初步探究，明確關(guān)系。

任務(wù)1：初步探索三角形三邊之間的關(guān)系。學(xué)生在吸管上任意剪兩刀，得到三段吸管。然后要求學(xué)生用這三根吸管拼接三角形，引導(dǎo)學(xué)生提出關(guān)于三角形三邊關(guān)系的初步猜想：三角形兩邊之和大于第三邊。

任務(wù)2：利用反例引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，啟發(fā)學(xué)生修正、完善猜想：“任意”兩邊之和大于第三邊。

任務(wù)3：借助幾何畫板展示三條線段拼接三角形的過(guò)程，幫助學(xué)生理解、總結(jié)三角形三邊的關(guān)系，驗(yàn)證猜想的正確性。

（2）代數(shù)表示，精確關(guān)系。

在認(rèn)識(shí)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究三角形三邊的度量關(guān)系，建立三角形邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)的關(guān)系，為后續(xù)探究“一根吸管如何剪兩刀構(gòu)成三角形”的拓展練習(xí)作鋪墊。

任務(wù)4：兩條線段之和等于第三條線段。

經(jīng)由任務(wù)1～任務(wù)3，學(xué)生可知，剪成的三根吸管中，如果兩根吸管的長(zhǎng)度之和正好等于第三根的長(zhǎng)度，則無(wú)法“拱”成三角形。此時(shí)最長(zhǎng)的吸管是三根吸管長(zhǎng)度和的一半，這是構(gòu)成三角形的臨界點(diǎn)。

任務(wù)5：最長(zhǎng)的線段大于總長(zhǎng)度的一半。在剪吸管的過(guò)程中，將最長(zhǎng)的吸管再剪長(zhǎng)一點(diǎn)能否構(gòu)成三角形？學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)最長(zhǎng)吸管越長(zhǎng)，越不能構(gòu)成三角形。由此易得，最長(zhǎng)的吸管大于所有吸管長(zhǎng)度和的一半時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形。

任務(wù)6：所有線段的長(zhǎng)度均小于總長(zhǎng)度的一半。應(yīng)該縮短到什么程度才能夠構(gòu)成三角形？接著上述臨界點(diǎn)得到“只有當(dāng)所有吸管都小于所有吸管長(zhǎng)度和的一半時(shí)，才可以構(gòu)成三角形”的結(jié)論。

雖然學(xué)生此時(shí)不能通過(guò)嚴(yán)密的代數(shù)推理得到此結(jié)論，但是可以利用臨界點(diǎn)進(jìn)一步理解三角形三邊關(guān)系。

（3）動(dòng)手操作，鞏固關(guān)系。

在認(rèn)識(shí)三角形三邊關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)生再次通過(guò)動(dòng)手操作，鞏固對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解。

任務(wù)7：再次探究如何剪吸管能夠構(gòu)成三角形，并回答三個(gè)問(wèn)題：第一刀剪在什么位置？第二刀剪在哪根吸管上？第二刀不能剪在哪里？若學(xué)生能夠說(shuō)明剪法并講清原因，則說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了三角形三邊關(guān)系。教師運(yùn)用幾何畫板驗(yàn)證學(xué)生得到的結(jié)論。

（4）直觀感知，論證關(guān)系。

最后通過(guò)邏輯論證深刻體會(huì)數(shù)學(xué)是有道理的學(xué)科。

任務(wù)8：提出思考題。如圖2，小明從家到學(xué)校有兩條路：一條路是筆直的；另一條要拐一個(gè)彎經(jīng)過(guò)郵局，哪條路更近？學(xué)生通過(guò)直觀感知，很容易發(fā)現(xiàn)拐彎走的路線比直著走的路線遠(yuǎn)。

任務(wù)9：在上述情境中繼續(xù)思考。如果小明從學(xué)校到郵局，走哪條路線近呢？如果小明從郵局回家，走哪條路線近呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有拐彎走的路線都比直著走的路線遠(yuǎn)，而以上路線圍成了熟悉的三角形，因此可以得出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。

最后基于學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)思考以下問(wèn)題：

①三角形三邊之間的關(guān)系，能夠進(jìn)一步精確表示嗎？

②我們學(xué)習(xí)了三角形的邊之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系，邊與角之間有關(guān)系嗎？

雖然我們可以用幾何作圖、演繹推理、代數(shù)表征這三個(gè)視角來(lái)幫助學(xué)生理解“三角形三邊關(guān)系”，但在實(shí)際教學(xué)中，用不同的方式組織教學(xué)，會(huì)給教師帶來(lái)挑戰(zhàn)。三角形三邊關(guān)系作為探究三角形性質(zhì)的一塊重要內(nèi)容，教師應(yīng)如何處理和其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系？小學(xué)生能否認(rèn)識(shí)到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”和“只有當(dāng)任意兩條線段的和大于第三條線段時(shí)，才能圍成一個(gè)三角形”之間的關(guān)聯(lián)與區(qū)別？基于三個(gè)視角學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系能否培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力？怎樣驗(yàn)證三角形三邊關(guān)系的學(xué)習(xí)路徑相比當(dāng)前教材得到了優(yōu)化？這些都值得我們進(jìn)一步思考，也需要通過(guò)實(shí)證研究來(lái)驗(yàn)證。

【本文系浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究”（課題編號(hào)：23NDJC265YB）、杭州師范大學(xué)省優(yōu)勢(shì)特色學(xué)科培育項(xiàng)目“學(xué)生認(rèn)知發(fā)展建模：數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究”（課題編號(hào)：18JYXK004）的階段性成果】

（作者單位：杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院；浙江永嘉縣甌北第一小學(xué)。鞏子坤為本文的通訊作者）