[一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課]

師：同學(xué)們，幾千年來(lái)，龍一直是咱們中華民族的象征、中國(guó)文化的象征。每到重大節(jié)日，人們通常以舞龍相慶。老師所在的學(xué)校就有一支自己的輪滑舞龍隊(duì)。（播放視頻）你們想不想也置身其中體驗(yàn)一把？如果讓你來(lái)選擇，你選擇舞龍的哪個(gè)部分？

很多學(xué)生選擇舞龍頭。

師：這么多人想舞龍頭，可龍頭只有一個(gè)呀，機(jī)會(huì)給誰(shuí)呢？舞龍隊(duì)的老師想出了一個(gè)與眾不同的選拔方法?？?，他是這樣做的（課件出示）：

體育老師請(qǐng)全校舞龍隊(duì)128名技術(shù)相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)圍成一圈。從1號(hào)同學(xué)開(kāi)始，每隔1人留下1人，也就是留下1號(hào)，去掉2號(hào)，留下3號(hào)，去掉4號(hào)……周而復(fù)始，誰(shuí)是最后留下的誰(shuí)就去舞龍頭。

教師隨機(jī)挑選7名學(xué)生來(lái)講臺(tái)前演示。

師：活動(dòng)開(kāi)始前，大家先猜猜，誰(shuí)會(huì)是最后的幸運(yùn)者呢？

學(xué)生爭(zhēng)論不休。

師：我們看看實(shí)際的結(jié)果吧！開(kāi)始。

學(xué)生按照選拔方法演示，發(fā)現(xiàn)最后剩下的是7號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：課的開(kāi)始，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感并進(jìn)一步聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題，再讓學(xué)生親身演示，分層理解復(fù)雜的方法，降低學(xué)生研究難度的同時(shí)激發(fā)學(xué)生研究的內(nèi)驅(qū)力。

[二、以退為進(jìn)，研究規(guī)律]

師：舞龍隊(duì)有128人，按照這個(gè)方法選拔，最后剩下的是幾號(hào)呢？

生1：128號(hào)，因?yàn)閯偛?人時(shí)剩下的就是最大的。

生2：肯定不是128號(hào)，因?yàn)殡p數(shù)肯定會(huì)被去掉。我猜應(yīng)該是127號(hào)，那是最大的單數(shù)。

……

師：同學(xué)們都有自己的分析和猜想。正所謂“實(shí)踐出真知”。下面請(qǐng)打開(kāi)1號(hào)學(xué)習(xí)單，這里從1開(kāi)始的128個(gè)連續(xù)自然數(shù)代表128個(gè)人的號(hào)碼。給大家2分鐘時(shí)間，請(qǐng)自己找找看。

學(xué)生動(dòng)手嘗試

師：大家找到結(jié)果了嗎？

生：沒(méi)有。時(shí)間太短，數(shù)太大，找著找著就亂了。

師：那你們打算怎樣研究？

生：選擇較小的數(shù)試試。

生：不能只選1個(gè)數(shù)，用連續(xù)的、較小的數(shù)嘗試幾次，就容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

師：很好！你們和我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生想的一樣。他曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，善于退，足夠的退，退到原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。看來(lái)大家都具有與數(shù)學(xué)家相似的思維方式！當(dāng)我們遇到困難問(wèn)題時(shí)，不妨先策略性地退一退，退下來(lái)再研究，規(guī)律也就容易發(fā)現(xiàn)了。（板書(shū)：退）

師：大家覺(jué)得把128這個(gè)數(shù)退到幾進(jìn)行研究比較合適呢？

生：退到一半，64。

生：退到10。

師：能退得更徹底點(diǎn)兒?jiǎn)幔?/p>

生：退到1。

師：只研究1人時(shí)的情況嗎？

生：需要研究從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，看看有沒(méi)有規(guī)律。

師：方法清晰了，下面就請(qǐng)大家以從1開(kāi)始的較小數(shù)為例進(jìn)行研究。

教師出示研究建議：

1.小組合作進(jìn)行研究，并將研究結(jié)果填在表中。

2.觀察多少人時(shí)從1號(hào)開(kāi)始按規(guī)律選，最后還剩1號(hào)。

學(xué)生自主開(kāi)展研究并匯報(bào)，教師將結(jié)果填在表1中。

師：我們一起來(lái)看看表1，多少人的時(shí)候，最后剩下1號(hào)？

生：人數(shù)是2的倍數(shù)時(shí)最后剩下的是1號(hào)。

生：不對(duì)，6也是2的倍數(shù)，最后剩下的就不是1號(hào)。

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)人數(shù)是從1開(kāi)始連續(xù)乘2的數(shù)時(shí)，最后剩下的就是1號(hào)。

師：他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)嗎？如果按照他說(shuō)的規(guī)律，下一個(gè)最后剩下1號(hào)的人數(shù)將是——

生：16。

師：對(duì)嗎？我們一起試試看。

學(xué)生自主驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)人數(shù)是16時(shí)最后剩下的是1號(hào)。

師：像1、2、4、8、16這樣從1開(kāi)始連續(xù)乘2的數(shù)叫什么數(shù)呢？

生：我聽(tīng)說(shuō)過(guò)，好像叫2的次方數(shù)。

師：你的知識(shí)真淵博。就像他說(shuō)的，數(shù)學(xué)中我們把像這樣由若干個(gè)2相乘得到的數(shù)叫2的n次方數(shù)，其中1是2的0次方。（板書(shū)：2的n次方數(shù)）

師：現(xiàn)在大家明白規(guī)律了嗎？誰(shuí)能總結(jié)一下？

生：當(dāng)人數(shù)為2的n次方數(shù)時(shí)，最后剩下的是1號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：在此環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程中，教師積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，將個(gè)體意見(jiàn)匯聚成群體共識(shí)，再通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整體分析獲取初步的規(guī)律性結(jié)論，使學(xué)生掌握“退”的數(shù)學(xué)方法，感悟其背后的數(shù)學(xué)思想。

[三、深入探索，理解本質(zhì)]

師：研究到這里，你們滿意了嗎？

生：不滿意，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢？

師：大家真有研究的意識(shí)，不但發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還想研究規(guī)律背后的原理。讓我們結(jié)合剛才的研究，以16人為例，看看有16人時(shí)1號(hào)究竟是如何被留下來(lái)的。

生：16人時(shí)正好可以2人一組，每次畫(huà)去的是每組的后一人，所以最后一組的最后一人，也就是1前面的數(shù)會(huì)被畫(huà)掉，1會(huì)被保留下來(lái)（如圖1）。以此類(lèi)推，最后只剩下1號(hào)。

師：為什么1總能被留下來(lái)呢？

生：因?yàn)?6是偶數(shù)，而且每次除以2后還是偶數(shù)，這樣就總可以2人一組，每次畫(huà)掉的是每組的后一人，1作為第一組第一個(gè)會(huì)被一直留下來(lái)。

師：128人時(shí)為什么最后剩下的是1號(hào)，你能說(shuō)明了嗎？

生：因?yàn)?28是2的7次方，而且每次除以2后還是偶數(shù)，這樣就總可以2人一組，每次去掉的是每組的后一人，1作為第一組第一個(gè)就會(huì)被一直留下來(lái)。

生：人數(shù)只要是2的n次方數(shù)，按規(guī)則畫(huà)，每圈都可以正好2個(gè)數(shù)為一組，畫(huà)去的總是每組的后一個(gè)數(shù)，1前面的數(shù)總會(huì)被畫(huà)掉，而1不受影響，最后剩下1號(hào)。

師：回顧一下剛才研究的過(guò)程，我們通過(guò)怎樣的研究得到了這個(gè)了不起的結(jié)論？

生：我們先從較大數(shù)退到較小數(shù)再進(jìn)行研究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：這樣看來(lái)，“退”是方法，其目的是更好地“進(jìn)”，這在兵法上叫作“以退為進(jìn)”。老師為你們今天的研究成果感到高興，你們真了不起。

設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象分析、揭示背后的本質(zhì)原理，有效提升學(xué)生的抽象、推理和建模素養(yǎng)。

[四、分層練習(xí)，深化理解]

師：同學(xué)們，規(guī)律大家已經(jīng)掌握了，現(xiàn)在請(qǐng)應(yīng)用規(guī)律解決一些實(shí)際問(wèn)題。

問(wèn)題1：五年級(jí)32個(gè)同學(xué)在操場(chǎng)上圍成一圈，玩報(bào)數(shù)游戲，從1號(hào)開(kāi)始，每隔1個(gè)去掉1個(gè)，即留下1號(hào)，去掉2號(hào)，留下3號(hào)，去掉4號(hào)……周而復(fù)始，最后剩下的是幾號(hào)？為什么？

問(wèn)題2：還是這32個(gè)同學(xué)，仍然按照剛才的規(guī)則報(bào)數(shù)（每隔1個(gè)去掉1個(gè)）。聰聰是5號(hào)，結(jié)果他是最后留下的人，這是怎么回事呢？

問(wèn)題3：五年級(jí)（1）（2）兩個(gè)班共64個(gè)同學(xué)在操場(chǎng)上圍成一圈，玩報(bào)數(shù)游戲，從1號(hào)開(kāi)始，每隔1個(gè)去掉1個(gè)，即留下1號(hào)，去掉2號(hào)，留下9zPUlSHk2dWhC9WHQ5LkcsBuNQWPvLiZId3FuWvNAns=3號(hào)，去掉4號(hào)……周而復(fù)始，最后剩下的是幾號(hào)？

問(wèn)題4：迪迪提議改變一下規(guī)則，還是32個(gè)同學(xué)，每隔1個(gè)留下1個(gè)，即去掉1號(hào)，留下2號(hào)，去掉3號(hào)，留下4號(hào)……周而復(fù)始，最后剩下的是幾號(hào)？

師生逐一解決問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：教師分層設(shè)計(jì)練習(xí)活動(dòng)，并在練習(xí)過(guò)程中將學(xué)生對(duì)“退”的認(rèn)識(shí)加以拓展，從“數(shù)大小”的“退”，發(fā)展到“方法本身”的遷移上來(lái)，進(jìn)一步豐富學(xué)生的方法性體驗(yàn)，開(kāi)闊學(xué)生的思維。

[五、全課總結(jié)，升華認(rèn)識(shí)]

師：課上完了，今天這節(jié)課你們有什么收獲？

生：我學(xué)會(huì)了一種思考問(wèn)題的方法。

師：你還有什么不清楚或遺憾的地方嗎？

生：如果人數(shù)不是2的n次方數(shù)，又該如何解決呢？

教師出示問(wèn)題：

五年級(jí)129個(gè)同學(xué)在操場(chǎng)上圍成一圈，玩報(bào)數(shù)游戲，從1號(hào)開(kāi)始，每隔1個(gè)去掉1個(gè)，即留下1號(hào)，去掉2號(hào)，留下3號(hào)，去掉4號(hào)……周而復(fù)始，最后剩下的是幾號(hào)？

師：請(qǐng)同學(xué)們下課后繼續(xù)研究吧！

設(shè)計(jì)意圖：思維的發(fā)展不能因?yàn)檎n的結(jié)束而終結(jié)。在此環(huán)節(jié)中，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從方法論的角度進(jìn)行思考，感受數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵價(jià)值的同時(shí)，延伸學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考熱度，真正實(shí)現(xiàn)“課終結(jié)而思維不止”的育人目標(biāo)。

【本文系北京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度一般課題“以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的多元學(xué)科整合課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐研究”（編號(hào)：CDDB21229）的研究成果】

（作者單位：北京市東城區(qū)府學(xué)胡同小學(xué)，北京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究院）