多元表征是指用多種形式表征同一個學習對象。在數(shù)學教學中合理運用多元表征，有助于學生深刻理解數(shù)學概念，把握知識的本質(zhì)。當前教學中經(jīng)常出現(xiàn)因缺乏多元表征的學習過程，導致學生產(chǎn)生困惑或機械操練的現(xiàn)象。下面以“小數(shù)的意義”為例，從教學中存在的問題、原因分析及改進策略三個方面談一談多元表征視角下小數(shù)意義的教學設(shè)計。

[片段一：] [一、存在的問題]

小數(shù)知識的學習過程中，以下問題屢見不鮮。

問題一：小數(shù)的學習中避不開的一個問題就是，小數(shù)分為整數(shù)部分和小數(shù)部分，小數(shù)部分到底指的是什么？例如，6.75的小數(shù)部分是75還是0.75？如果是75，有的學生就產(chǎn)生疑惑了：小數(shù)部分應(yīng)該是小數(shù)才對，怎么會是整數(shù)呢？如果是0.75，又有學生疑惑了，那寫成原數(shù)豈不是6.0.75？

問題二：試卷上常常出現(xiàn)這樣的題目，也往往會引起學生的爭論——0.25×1.4的積是（ ）位小數(shù)。不少教師往往會提醒學生謹慎答題，不要“上當”，一定要計算出結(jié)果化簡以后再看積是幾位小數(shù)。還有諸如此類的判斷題：兩位小數(shù)乘一位小數(shù)，積一定是三位小數(shù)。每到此時，學生和老師都異常糾結(jié)。

問題三：在學習了小數(shù)的性質(zhì)之后，一道這樣的練習題成了“理所應(yīng)當”：把0.4改寫成用0.001作單位的數(shù)是（0.400）。若聯(lián)想到把0.3元改寫成用“角”作單位是3角，把50000改寫成用“萬”作單位的數(shù)是5萬，再想想前面那道題，會不會感覺到一絲異樣？

問題四：筆者參加一次賽課，課題是“小數(shù)乘10、100、1000……的計算規(guī)律”，完整的情境，流暢的過程，活躍的氛圍，與舊知串聯(lián)從而形成知識框架……都讓筆者感覺會有一個很好的結(jié)果。結(jié)果，評委給出的結(jié)論卻是教學內(nèi)容過于簡單，即僅僅只是通過觀察歸納“一個小數(shù)乘10、100、1000……只要把這個小數(shù)的小數(shù)點向右移動一位、兩位、三位……”過于膚淺。

筆者當時陷入了極度的困惑中，也正因此，結(jié)合以上問題開始思考：小數(shù)的教學到底要教什么？如何教？教到什么程度？

[片段一：] [二、原因分析]

上述問題一，我們在教材中就可以找到答案（如圖1），且這里說的小數(shù)部分指的是計數(shù)單位的個數(shù)，由此6.75的小數(shù)部分就是75，表示有75個最小計數(shù)單位，即75個0.01。

上述問題二，2022年版課標指出，對小學階段“數(shù)與運算”主題，在理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性。這里的“基于計數(shù)單位表達的一致性”不僅包括這些數(shù)都是計數(shù)單位的個數(shù)的累加，也包括這些數(shù)的運算都是計數(shù)單位的個數(shù)的運算。由此，計算0.25×1.4實際上是在計算（25×14）個（0.01×0.1），即最小計數(shù)單位0.001的個數(shù)，從這個意義上判斷，0.25×1.4的積應(yīng)該是三位小數(shù)，進而可知，確定積的小數(shù)位數(shù)，實際上是在確定計算中產(chǎn)生的新的最小計數(shù)單位。

上述問題三，0.4實際上是用“一”做單位的，表示“一”的十分之四或0.4個“一”，如果要改成用0.1做單位，那就可以數(shù)出4個0.1，即4；改成用0.001做單位，那就可以數(shù)出400個0.001，即400。這就好像50000表示50000個一，改寫成用“萬”做單位，是5個萬，即5萬；0.3元是0.3個1元，改寫成用“角”做單位是3個1角，即3角。所以把0.4改寫成用0.001做單位的數(shù)是（400）而不是（0.400）。

上述問題四，通過觀察歸納得出“小數(shù)乘10、100、1000……的計算規(guī)律”，學生就只是在模仿規(guī)律進行計算，不能解釋規(guī)律背后的道理，是對數(shù)的意義核心理解的缺失。建立“數(shù)”的意義的四個要素分別是數(shù)位、計數(shù)單位、位值、十進制，小數(shù)乘10、100、1000……實則是把計數(shù)單位擴大到原來的10倍、100倍、1000倍……小數(shù)點的移動實際上是在十進制的法則下擴大計數(shù)單位。

綜上，造成上述問題的根本原因是對“單位”理解的膚淺和偏差，要想深刻理解“單位”，就需要在小數(shù)意義的教學過程中引導學生進行多元表征，多元表征的過程有利于學生深刻理解數(shù)的本質(zhì)、小數(shù)的意義，上述問題也就迎刃而解了。以往或者當前的一些課堂教學中也能夠看到表征的過程，但是一方面表征不多，不足以讓學生從不同的表征中發(fā)現(xiàn)相通的地方，突出知識的本質(zhì)；另一方面表征雖多，但缺乏帶有學生個體色彩的表征方式，即缺乏開放性，未能激發(fā)學生學習的自主性和創(chuàng)造性。

[片段一：] [三、改進策略]

蘇教版教材五年級上冊第三單元主要包括小數(shù)的意義和性質(zhì)兩大塊內(nèi)容，而小數(shù)的性質(zhì)是基于小數(shù)的意義生長的，小數(shù)的意義實則包含兩方面：一是意義，即平均分的意義，與分數(shù)緊密聯(lián)系；二是形式，即十進制表達形式，與整數(shù)緊密聯(lián)系。在小數(shù)意義的教學設(shè)計中，利用多元表征，充分感悟計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)，既有助于基本性質(zhì)的學習和運用，也有利于打通整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)和運算基于計數(shù)單位表達的一致性。

1.注重小數(shù)意義表征的多元化。

多元表征視角下，小數(shù)意義的教學設(shè)計可以分為“小數(shù)的意義”和“小數(shù)的數(shù)位意義”兩課時，“小數(shù)的意義”主要從小數(shù)平均分的意義角度對小數(shù)進行表征，“小數(shù)的數(shù)位意義”主要從小數(shù)的表達形式角度對小數(shù)進行表征，均注重表征的多元化。在“小數(shù)的意義”教學中，設(shè)計了三大任務(wù)，并在完成任務(wù)過程中進行多元表征：一是在不同的地方尋找[1100]，二是用不同的方式表示0.06，三是用不同的方式說明0.6與0.06的大小關(guān)系。

在第一個任務(wù)中（活動一），筆者設(shè)計了如下多元表征：貨幣（如圖2）、群組（如圖3）、面積（如圖4）、數(shù)軸（如圖5），最后把多元表征匯總在一起（如圖6），溝通不同表征之間的聯(lián)系，突出0.01的本質(zhì)，即把一個整體平均分成100份，其中的1份就是[1100]或0.01。

以上設(shè)計通過尋找0.01的過程（實際上也包括尋找1和0.1），在多元表征中不斷強調(diào)平均分意義，將0.01與平均分意義聯(lián)結(jié)，既是認識兩位小數(shù)的開端，也是理解兩位小數(shù)的基礎(chǔ)，所有的兩位小數(shù)都是在數(shù)幾個0.01，突出了0.01是兩位小數(shù)的最小計數(shù)單位。

2.注重小數(shù)意義表征的開放性。

有了0.01的多元表征和意義做基礎(chǔ)，第二個任務(wù)用不同方式表示0.06，則注重鼓勵學生結(jié)合剛才的學習體驗，獨立表征0.06并交流展示。

活動二：用不同的方式表示0.06。

活動要求：

（1）獨立思考，每人至少選擇一種方式表示0.06，也期待你思考其他方式。

（2）小組內(nèi)交流不同的表示方式。

學生除運用貨幣、群組、面積、數(shù)軸進行表征以外，還想到了畫100個點圈起來表示1，再在其中圈6個點來表示這100個點的0.06；想到了看一本書，把這本書的頁數(shù)平均分成100份，看了其中的6份，是0.06本；想到了媽媽的一支口紅，平均分100天用完，6天就用了0.06支；想到了把一個蛋糕平均分成100份，其中的6份就是0.06個蛋糕……

這個活動可以幫助學生鞏固對小數(shù)意義的理解，明晰1、0.1、0.01三個計數(shù)單位的對照物，溝通0.06與0.01之間的關(guān)系，即6個0.01，熟練進行小數(shù)與表征類型之間的轉(zhuǎn)化。這一活動讓學生自主進行，不僅檢驗他們對小數(shù)的理解情況，也能讓學生在不斷地探究活動中，體會不同表征下的小數(shù)，以加深對小數(shù)的綜合認識；并不斷體會小數(shù)與分數(shù)以及整數(shù)的聯(lián)系，增加對數(shù)的整體宏觀認識。如此讓表征從“多元”走向“開放”，是對“多元表征”另一種方式的回歸。

活動三：用不同的方式說明0.6和0.06的大小關(guān)系。

這個探究活動讓學生延續(xù)剛才對0.06的表征，繼續(xù)表征0.6，從而發(fā)現(xiàn)0.6和0.06的大小關(guān)系，進一步體會各個符號的含義，感悟用來表示數(shù)的標準，即最小計數(shù)單位，以及計數(shù)單位的個數(shù)。

后面三位小數(shù)的學習便可在此基礎(chǔ)上引導學生利用多元表征自主學習和探究。在多元表征下，學生充分理解了小數(shù)的平均分意義，那么在第二課時學習“小數(shù)的數(shù)位意義”，認識數(shù)位、計數(shù)單位、位值、十進制時，就有了依靠和支撐。

綜上所述，多元表征貫穿了小數(shù)意義學習的整個過程，是小數(shù)知識的載體，也是學生探究小數(shù)知識的工具，通過各種表征與小數(shù)的聯(lián)結(jié)，學生才能深刻理解和掌握小數(shù)的后續(xù)相關(guān)知識，也才能在遇到類似上述四種問題的時候，不糾結(jié)、不迷茫，并能堅定地作出回應(yīng)。同時教學設(shè)計中要注意多元表征的多樣性和開放性，老師在引導學生進行多樣化表征的同時，也要給予學生“多樣”之外用屬于學生自己的方式進行表征的空間和時間。

（作者單位：南京師范大學蘇州實驗學校）