通過問題提出開展教學(xué)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)，盡管越來越多的教學(xué)實(shí)踐引進(jìn)了問題提出活動，但對于課堂教學(xué)中如何通過設(shè)計(jì)問題提出任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還缺乏足夠的研究。本文針對“小數(shù)的意義和加減法”單元開展了問題提出任務(wù)的整體設(shè)計(jì)，以促進(jìn)學(xué)生深入理解小數(shù)的意義及加減法的運(yùn)算道理。

一、“小數(shù)的意義和加減法”單元分析

本單元是在初步認(rèn)識小數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，主要目的是進(jìn)一步理解小數(shù)的意義，并在加減法中應(yīng)用小數(shù)的意義，體現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識和運(yùn)算的一致性。

1.數(shù)學(xué)分析。

小數(shù)的意義是由分?jǐn)?shù)與整數(shù)概念統(tǒng)整建立起來的。當(dāng)出現(xiàn)了比單位“1”更小的數(shù)量時，需要將“1”繼續(xù)等分進(jìn)行表達(dá)，從這個意義上說，小數(shù)（有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)）是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表達(dá)，。另一方面，張奠宙教授指出：“小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，但是又獨(dú)立于分?jǐn)?shù)……小數(shù)的出現(xiàn)，是基于十進(jìn)制表示數(shù)量的需要。”從這個意義上說，小數(shù)和整數(shù)緊密聯(lián)系，可以看成是整數(shù)十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法反向延伸的結(jié)果。進(jìn)一步，利用對小數(shù)計(jì)數(shù)單位的理解，可以得到小數(shù)加減法運(yùn)算的道理：都是在相同計(jì)數(shù)單位下進(jìn)行。而從現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量抽象出小數(shù)，將小數(shù)還原到現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量，體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)感的發(fā)展；將整數(shù)十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法遷移到小數(shù)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行比較大小和加減法計(jì)算，則體現(xiàn)了學(xué)生推理意識和運(yùn)算能力的發(fā)展。

2.認(rèn)知分析。

生活中的人民幣模型、長度模型等，為學(xué)生理解小數(shù)提供了豐富的直觀支撐。分?jǐn)?shù)表示的部分與整體的關(guān)系，以及整數(shù)的十進(jìn)位值制表達(dá)和運(yùn)算為理解小數(shù)的意義和運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)。這都是學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)的意義和加減法的前經(jīng)驗(yàn)。但學(xué)生對小數(shù)的學(xué)習(xí)有不少的困難和誤解，主要表現(xiàn)如下：

第一，對于整數(shù)或分?jǐn)?shù)知識“過度類推”而產(chǎn)生誤解。一方面，瑞思尼克（Resinick）等人提出學(xué)生可能犯“分?jǐn)?shù)規(guī)則”的錯誤，將分?jǐn)?shù)所切割的份數(shù)大小與數(shù)目觀念應(yīng)用到小數(shù)所代表的指示物上，認(rèn)為百分之一比十分之一所代表的份數(shù)小，從而推論兩位小數(shù)比一位小數(shù)小，比如0.68小于0.5。另一方面，有些學(xué)生認(rèn)為3.21大于3.8，因?yàn)?1大于8。這是因?yàn)樗麄兒鲆曅?shù)點(diǎn)的存在，而把小數(shù)當(dāng)作整數(shù)來處理，瑞思尼克將這類錯誤稱為“整數(shù)規(guī)則”錯誤?！罢麛?shù)規(guī)則”還可能造成學(xué)生在小數(shù)讀法上的困惑：3.21為什么要讀成三點(diǎn)二一而不是三點(diǎn)二十一？在小數(shù)的數(shù)位上，有的學(xué)生也會受整數(shù)數(shù)位的影響，對小數(shù)部分進(jìn)行“對稱性”的反向延伸，將小數(shù)部分從左往右依次命名為“個分位”“十分位”……有的學(xué)生則將0.8、0.9的下一個數(shù)寫成0.10。

第二，由于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的表征系統(tǒng)不同，一個單位被等分為多少，在分?jǐn)?shù)的分母中是明確表示出來的，而小數(shù)中一個單位被等分為多少隱含在數(shù)位系統(tǒng)中，因此造成學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)錯誤，如學(xué)生將0.5寫成[15]，3.4寫成[34]。

第三，對于0.1千克、0.1平方米、0.1時等現(xiàn)實(shí)數(shù)量，由于有的學(xué)生只將小數(shù)點(diǎn)作為單位分割的標(biāo)志，而忽略了表達(dá)數(shù)量的單位之間的關(guān)系，從而出現(xiàn)錯誤：0.1千克表示的是1克，0.1平方米表示的是1平方分米，0.1時表示的是1分鐘。

第四，有的學(xué)生不理解小數(shù)點(diǎn)的作用，僅把它作為單位的分割符號或者將“0”與其之外的數(shù)字隔開，如將1分寫成0.0.1元，將[1100]寫成000.1。

3.教學(xué)分析。

本單元有三個重要的學(xué)習(xí)任務(wù)：從數(shù)量中抽象出小數(shù)、十進(jìn)位值系統(tǒng)的自然延伸、應(yīng)用數(shù)位進(jìn)行大小比較和加減法運(yùn)算。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動應(yīng)據(jù)此進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。

學(xué)生將嘗試解讀0.1千克、0.1平方米、0.1時等數(shù)量的實(shí)際意義，雖然學(xué)生在解讀的過程中可能產(chǎn)生困難，但根據(jù)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系來準(zhǔn)確解讀這些數(shù)量的實(shí)際意義，有助于學(xué)生更好地理解小數(shù)的意義。

學(xué)生將實(shí)現(xiàn)知識遷移，這體現(xiàn)在將整數(shù)位值系統(tǒng)遷移到小數(shù)位值系統(tǒng)，以及將整數(shù)比較大小、加減運(yùn)算的道理遷移到小數(shù)中。

二、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)及問題提出活動的整體設(shè)計(jì)

1.單元學(xué)習(xí)目標(biāo)。

根據(jù)以上分析，本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：

（1）經(jīng)歷刻畫測量結(jié)果從而產(chǎn)生小數(shù)的過程，體會小數(shù)可以表示現(xiàn)實(shí)生活中比1小的數(shù)量，感受小數(shù)與日常生活的密切聯(lián)系。

（2）能解讀人民幣、長度、質(zhì)量、面積、時間等的具體數(shù)量的實(shí)際意義，在此基礎(chǔ)上抽象出小數(shù)，認(rèn)識小數(shù)可以表示十進(jìn)分?jǐn)?shù)。

（3）能利用方格圖、數(shù)線等直觀模型表示小數(shù)，會進(jìn)行十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化。

（4）經(jīng)歷創(chuàng)造小數(shù)數(shù)位的過程，借助整數(shù)十進(jìn)位值系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識小數(shù)的數(shù)位，掌握小數(shù)數(shù)位順序表，認(rèn)識小數(shù)各數(shù)位的計(jì)數(shù)單位及其關(guān)系。

（5）根據(jù)對小數(shù)數(shù)位的理解探索如何比較大小和進(jìn)行加減法運(yùn)算，會進(jìn)行小數(shù)比較大小和加減法運(yùn)算。

2.單元整體學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)。

本單元整體學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)（不含小數(shù)加減混合運(yùn)算）如表1所示，陰影處是設(shè)計(jì)的問題提出活動。

需要說明的是，表1中的課時劃分只是參考，其中沒有包括教材中設(shè)計(jì)的單元練習(xí)時間、整理與復(fù)習(xí)的時間，教師可以在教學(xué)中根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。同時，問題提出活動的設(shè)計(jì)是圍繞前面的三個學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)的。

三、問題提出活動的具體設(shè)計(jì)

1.從數(shù)量中抽象出小數(shù)過程中的問題提出活動。

首先，鼓勵學(xué)生思考如何將1分米表示為以米為單位的數(shù)，這既體現(xiàn)了小數(shù)產(chǎn)生的必要性，也喚醒了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不難得到0.1米。

為了將0.1米與十進(jìn)分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，鼓勵學(xué)生在方格圖和數(shù)線上表征0.1米，感受0.1米是將1米平均分成了10份，取其中的1份（如圖1）。

接著，繼續(xù)解讀生活中的小數(shù)表示的其他數(shù)量，如0.1千克、0.1平方米、0.1時，并借助方格圖、數(shù)線對它們進(jìn)行表征。盡管學(xué)生容易只將小數(shù)點(diǎn)作為單位分割的標(biāo)志，而忽略單位之間的關(guān)系，常常認(rèn)為0.1千克表示的是1克、0.1平方米表示的是1平方分米、0.1時表示的是1分鐘，但借助0.1米的表征過程，學(xué)生將認(rèn)識到它們分別是將1千克、1平方米、1時平均分成了10份，取其中的1份。

最后，鼓勵學(xué)生觀察這些不同的數(shù)量，提出1個值得繼續(xù)思考的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生可能提出“這些例子的共同點(diǎn)是什么？為什么都可以用0.1來表示”“0.1到底代表什么含義”“0.1還可以表示什么”等問題。這些問題都體現(xiàn)了從數(shù)量中抽象出數(shù)、將數(shù)還原成數(shù)量的過程。

2.從整數(shù)數(shù)位遷移到小數(shù)數(shù)位的問題提出活動。

在認(rèn)識了小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系后，鼓勵學(xué)生在計(jì)數(shù)器上表示出小數(shù)數(shù)位，完成小數(shù)的數(shù)位順序表（如圖2）。

此時，鼓勵學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥珠子，以及觀察數(shù)位順序表。為了更好地理解數(shù)位，可以引導(dǎo)學(xué)生每人分別提出1個簡單的和1個有難度的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生可能提出的簡單問題有：“幾個0.1是1？”“百分位和千分位是什么關(guān)系？”可能提出的有難度的問題有：“十分位和千分位是什么關(guān)系？”“相鄰計(jì)數(shù)單位的關(guān)系是什么？”“整數(shù)數(shù)位關(guān)系和小數(shù)數(shù)位關(guān)系的相同點(diǎn)是什么？”“小數(shù)部分萬分位后面的數(shù)位是什么？”這些問題都體現(xiàn)了學(xué)生對數(shù)位及其關(guān)系的理解。

3.利用數(shù)位理解比較大小的問題提出活動。

在學(xué)生理解小數(shù)數(shù)位的基礎(chǔ)上，鼓勵他們嘗試進(jìn)行兩位小數(shù)的比較大小，如0.69米和0.81米。學(xué)生此時雖然能夠比較大小，但由于小數(shù)的數(shù)位相同，學(xué)生很難意識到數(shù)位的重要性。

正如前文所提到的，當(dāng)小數(shù)的數(shù)位不同時，學(xué)生會犯“分?jǐn)?shù)規(guī)則”或“整數(shù)規(guī)則”的錯誤。此時，可以鼓勵學(xué)生提出1個小數(shù)比較大小的問題，提出的問題能夠給大家?guī)硇虑闆r。他們需要思考小數(shù)比較大小的道理是什么，和剛才的例子比較會出現(xiàn)什么新情況。為此，他們可能會提出小數(shù)位數(shù)不相同的數(shù)如何比較大小，如：2.87和2.9誰大？或者小數(shù)末尾帶0的問題，如：0.80和0.8一樣大嗎？這些問題都體現(xiàn)了學(xué)生對小數(shù)比較大小道理的理解。

4.利用數(shù)位理解進(jìn)行加減法的問題提出活動。

在學(xué)生理解了小數(shù)數(shù)位的基礎(chǔ)上，鼓勵他們嘗試進(jìn)行兩位小數(shù)的加減法運(yùn)算，并利用問題提出活動鼓勵學(xué)生主動思考，提出1個小數(shù)加法和減法的問題，能夠給大家?guī)硇碌乃伎肌W(xué)生可能會提出小數(shù)位數(shù)不相同的數(shù)如何加減、整數(shù)如何減去一個小數(shù)等問題，這些問題能夠促進(jìn)學(xué)生對小數(shù)加減法運(yùn)算道理的理解。

（作者單位：浙江杭州市臨安區(qū)衣錦小學(xué)）