“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”史寧中教授認為，數學的研究對象包含數量與數量關系、圖形與圖形關系，研究數量之間和圖形之間的關系比數量和圖形更重要。小學數學中有很多研究規(guī)律的內容，本質上就是研究數量之間和圖形之間的關系。

“商不變的規(guī)律”是四則運算的一個重要規(guī)律，有些老師教學時止步于引導學生了解什么是“商不變的規(guī)律”、怎樣推導“商不變的規(guī)律”及應用“商不變的規(guī)律”，這樣教學使學生對“商不變的規(guī)律”的認識停留在知識層面，沒有觸及“商不變的規(guī)律”的本質，學生對為什么“被除數和除數同時乘或者除以一個相同的數（0除外），商不變”不甚了解，因此可以在學生認識“商不變的規(guī)律”的基礎上，專門安排一節(jié)思維訓練課，圍繞問題帶領學生研究“商不變的規(guī)律”背后的秘密，揭示“商不變的規(guī)律”的本質。

一、回顧：尋找教學的起點

教師引導學生回顧什么是“商不變的規(guī)律”，是怎樣研究“商不變的規(guī)律”的。

生：在除法中，被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變，叫作商不變的規(guī)律。

生：我們先比較除法算式之間的關系提出猜想，然后舉例驗證得出結論，從而發(fā)現規(guī)律。

師：請看大屏幕，仔細觀察每個算式，先說說被除數和除數分別是怎樣變化的，再直接說出第二個、第三個算式的商。

200÷40=5

40÷8=

400÷80=

生：40÷8和200÷40相比，被除數和除數同時除以相同的數5，商不變；400÷80和200÷40相比，被除數和除數同時乘相同的數2，商不變。

生：還可以這樣想，400÷80和40÷8相比，被除數和除數同時乘10，商不變。

師：這真是變中有不變?。「鶕ㄋ闶街g的關系，應用商不變的規(guī)律，可以使一些計算簡便。

思考：美國著名教育心理學家奧蘇貝爾曾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習最重要的原因是學生已經知道了什么?！苯虒W是基于原有知識水平和思維水平的有限延伸，首先要找到教學的起點，“商不變規(guī)律的再認識”是在學習“商不變的規(guī)律”知識基礎上的再認識，毫無疑問“商不變的規(guī)律”是教學的起點。因此，課始引導學生復習“商不變的規(guī)律”，并再次體會“商不變的規(guī)律”的價值。

二、思辨：引導學生發(fā)現問題

師：請同學們把“商不變的規(guī)律”再讀一讀，想一想能提出什么問題。

生：被除數和除數為什么要同時乘或除以一個相同的數？

生：相同的數可以是哪些數？

生：既然有“商不變的規(guī)律”，有沒有“積不變的規(guī)律”“和不變的規(guī)律”“差不變的規(guī)律”？

師：剛才大家提出了三個非常有價值的問題，我們就圍繞這三個問題走進“商不變的規(guī)律”的背后，開始今天的研究。

出示課題：“商不變的規(guī)律”的再認識。

思考：2022年版課標總目標中指出：“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發(fā)現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題（即‘四能’）。”教學中，要培養(yǎng)學生對已經掌握的知識大膽質疑的意識，用問題驅動學生思維。教師引導學生重讀“商不變的規(guī)律”，基于原有認知，抓住“商不變的規(guī)律”的關鍵提出問題，這些問題源于學生思維的困惑，直指知識本質，由“商不變的規(guī)律”的表面走向背后，分析并解決這些問題，可以發(fā)展學生的問題意識，幫助學生掌握思維方法，提高學生的思維能力。

三、探究：揭開規(guī)律背后的秘密

1.為什么要同時乘或除以一個相同的數？

師：我們先來看第一個問題，被除數和除數為什么要同時乘或者除以一個相同的數？以除法算式8÷4=2為例，請大家畫一畫、想一想、說一說這個除法算式以及這個除法算式各部分表示的含義。

生：表示把8平均分成4份，每份是2。（如圖1）8是總數，4是平均分成的份數，2是每份數。

生：還可以表示8里面有2個4。（如圖2）把8看成總數，4表示每份數，2表示份數。

師：這個除法算式表示的這兩種意義有什么相同點？

生：都表示平均分。

師：同學們，你們能利用這個算式，通過畫圖來說明為什么要同時乘或者除以一個相同的數嗎？想一想，畫一畫，在小組內交流一下。

生：以圖1為例，被除數乘2，總數變成16，如果除數不變，也就是平均分的份數不變，每份數就變成了4；要使每份數不變，平均分的份數也要乘2，把16平均分成8份，每份數還是2。這就是被除數和除數為什么要同時乘一個相同的數。（如圖3）

生：還以圖1為例，被除數除以2，如果平均分的份數不變，每份數就變成了1，要想每份數不變，平均分的份數也要除以2，把4平均分成2份，每份還是2。這就是被除數和除數為什么要同時除以一個相同的數。（如圖4）

生：以圖2為例，被除數乘2，總數變成16，要使份數不變，每份數也要乘2，每份數變成8。這就是被除數和除數為什么要同時乘一個相同的數。（如圖5）

生：還以圖2為例，被除數除以2，總數變成4，要想份數不變，每份數也要除以2，每份數變成了2。這就是被除數和除數為什么要同時除以一個相同的數。（如圖6）

師：同學們真了不起，從兩個不同的角度，借助畫圖說明了被除數和除數為什么要同時乘或者除以一個相同的數。

思考：學生借助畫圖，根據除法的意義，從兩個維度直觀形象地研究了“商不變的規(guī)律”中被除數和除數為什么要同時乘或除以一個相同的數，從規(guī)律的知識表面走向深刻內涵，揭開了“商不變的規(guī)律”的神秘面紗，讓學生感受“商不變的規(guī)律”的本質。亦即，當總數乘或除以一個數時，要使每份數不變，平均分的份數也要乘或除以相同的數；或者，當總數乘或除以一個數時，要使份數不變，每份數也要乘或除以相同的數。

2.相同的數還可以是什么數？

師：我們已經知道相同的數可以是不為0的整數，請同學們猜想一下，還可以是什么數？

生：我猜想還可能是分數。

生：我猜想也可能是小數。

師：大家的猜想是否正確呢？小數乘除法和分數乘除法我們還沒有學過，感興趣的同學可以查閱資料，了解相關知識來驗證我們的猜想。

思考：雖然此時學生還沒有學習小數乘除法和分數乘除法，但是依然應該基于知識的整體讓學生大膽提出猜想，發(fā)展學生的想象能力，培養(yǎng)學生的整體思維能力。

3.還有什么規(guī)律？

師：通過研究我們發(fā)現了“商不變的規(guī)律”，剛才同學們還提出有沒有“積不變的規(guī)律”“和不變的規(guī)律”“差不變的規(guī)律”？請四人小組任意選一個問題，按照研究要求，合作研究。

研究要求：

①想一想，要使結果不變，算式中的兩個數應該怎樣變化？

②說一說，讓小組其他同學明白你的想法。

生：我們組研究了“積不變的規(guī)律”，兩個數相乘，一個乘數乘幾，另一個乘數除以相同的數（0除外），積不變。

生：我想舉例說明我們的想法。例如：2×4=8，表示4個2是8，第一個乘數乘2，如果第二個乘數不變，積就變成了16；要使積不變，第二個乘數就要除以2，算式是4×2=8，表示2個4是8。

師：哪個小組繼續(xù)匯報？

生：我們組研究了“和不變的規(guī)律”，兩個數相加，一個加數增加，另一個加數減少相同的數，和不變。例如：4+6=10，第一個加數增加2，如果另一個加數不變，和就增加了2，要使和不變，另一個加數就要減少2。

生：我們組研究了“差不變的規(guī)律”，兩個數相減，被減數增加或者減少，減數也增加或者減少相同的數，差不變。例如：6-4=2，被減數增加2，減數不變，差就增加了2，要使差不變，減數也要增加2。

生：我們組發(fā)現“和不變的規(guī)律”“差不變的規(guī)律”中的“相同的數”可以是0。

思考：有了“商不變的規(guī)律”的研究經驗和方法，學生研究其他三個規(guī)律就變得輕松自如。對于“積不變的規(guī)律”“和不變的規(guī)律”“差不變的規(guī)律”，雖然教材中沒有安排專門課時教學，但是在實際教學中相關規(guī)律均有所涉及，此處把這三個規(guī)律提取出來，把教材進行整合集中研究，有利于引導學生對四則運算的相關規(guī)律的整體性認知，有利于提高學生的數學探究能力，有利于學生形成結構化的思維。

四、比較：溝通規(guī)律之間的聯系

師：數學知識之間存在相似和相反兩種關系。通過研究，我們發(fā)現了和、差、積、商不變的規(guī)律，比較這四個規(guī)律，你能說一說它們之間的關系嗎？想好后在小組內交流。

生：“和不變的規(guī)律”和“積不變的規(guī)律”相似，“商不變的規(guī)律”和“差不變的規(guī)律”相似。

生：“和不變的規(guī)律”和“差不變的規(guī)律”相反，“積不變的規(guī)律”和“商不變的規(guī)律”相反。

師：同學們的發(fā)現能力太強了，大家能說一說理由嗎？

生：因為乘法是求幾個相同加數的和的簡便運算，除法是求一個數連續(xù)減去幾個相同數的差的簡便運算，所以“和不變的規(guī)律”和“積不變的規(guī)律”相似，“商不變的規(guī)律”和“差不變的規(guī)律”相似。

生：因為減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，所以“和不變的規(guī)律”和“差不變的規(guī)律”相反，“商不變的規(guī)律”和“積不變的規(guī)律”相反。

師：真會思考！剛才有同學的一句話說得特別好，誰能把它重復一遍？

生：除法是求一個數連續(xù)減去幾個相同數的差的簡便運算。

師：這個同學用簡潔的語言概括了除法和減法的關系，太了不起了。當我們對所學的知識有了較為深刻的理解后，就會發(fā)現數學知識之間存在千絲萬縷的聯系。

思考：數學教學不僅要引導學生掌握知識，更重要的是引導學生抓住知識的本質，根據知識之間的內在聯系幫助學生建構數學知識的整體結構。

（作者單位：江蘇沭陽縣第一實驗小學）