面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)中唯一的曲線圖形面積計算教學(xué)內(nèi)容?，F(xiàn)行教科書一般是把一個圓分成若干等份，然后拼成一個近似的長方形或平行四邊形，通過圓與所拼成的近似的長方形或平行四邊形之間關(guān)系的對比，最終得出圓的面積計算公式。但在新中國成立前革命根據(jù)地的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，除了這種方法，還曾經(jīng)出現(xiàn)過不一樣的教學(xué)法，本文中分別稱它們?yōu)榧?xì)分求和法、重疊比較法和構(gòu)造推斷法。這些教學(xué)法，雖然在現(xiàn)行的教科書中很少出現(xiàn)，但在關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的今天，顯得很有意義。

[一、細(xì)分求和法]

“化圓為方是一個比較難的問題，不過我們也可以想法求出它的近似值來，像下面的圖，在圓內(nèi)作許多直徑，相鄰兩半徑中間夾著一個平面圖形，近似一個三角形，圓的半徑相當(dāng)于三角形的高，圓周相當(dāng)于各三角形的底，求出圖中三角形的總面積就得到圓的面積?！盵1]這是晉察冀邊區(qū)行政委員會教育處審定的《算術(shù)課本（高級小學(xué)適用 第四冊）》中的內(nèi)容，所述之圖如圖1所示。這樣的教學(xué)法，也見于陜甘寧邊區(qū)、晉冀魯豫邊區(qū)、華北解放區(qū)、東北解放區(qū)、山東解放區(qū)的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，可見這是當(dāng)時圓面積計算教學(xué)中的一種主流方法。

上述方法可以追溯到公元前3世紀(jì)阿基米德所寫的《圓的度量》[2]。據(jù)筆者所考，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中最早出現(xiàn)此方法，是在1918年的《最新高等小學(xué)教科書 數(shù)學(xué)拾級（中卷）》上[3]。分析上述過程可發(fā)現(xiàn)，其基本思路是“細(xì)分求和”。當(dāng)然，分得越細(xì)，精確度越高，也就是每個扇形的弧長與三角形的底越接近，扇形的半徑與三角形的高越接近，當(dāng)然最后計算出的結(jié)果也越接近圓面積的精確值。

從數(shù)學(xué)的視角看，上述過程不僅是一個解決問題的過程，更是一個數(shù)學(xué)思想與方法滲透的過程，因為其中不但滲透了無限與極限的思想，而且這種“細(xì)分求和”本質(zhì)上是高等數(shù)學(xué)中定積分思想的雛形，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)定積分時，或許會勾起對這種方法的回憶，按現(xiàn)時的說法，這是一種數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累；如果從哲學(xué)層面分析，這種“細(xì)分求和”的思想與方法實質(zhì)上對應(yīng)的是一個分與合的過程，它滲透了辯證統(tǒng)一的思想，具有方法論的意義。學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，要獲得數(shù)學(xué)的思想與方法，乃至更一般的思想與方法。因此，這種圓面積計算教學(xué)法，在當(dāng)今仍然有重要的意義。

[二、重疊比較法]

圖2所示是由東北行政委員會教育部編寫，1949年東北新華書店出版的《初小算術(shù)（第八冊）》中關(guān)于圓面積計算教學(xué)的描述[4]。

由圖可知，上述方法把圓置于一個邊長與圓的直徑相等的正方形中，通過與正方形面積大小的比較，近似地求出圓的面積。

這種方法，由于圓邊界處小方格的計數(shù)較難精確，所以很容易讓人產(chǎn)生對利用“直徑×直徑×0.785”計算所得結(jié)果精確性的懷疑。事實上，它是π取3.14時πr2的另一種表示形式。在當(dāng)時數(shù)學(xué)（算術(shù)）教學(xué)要為實際生活、生產(chǎn)服務(wù)的背景下，這是一種非常有價值的方法。我們知道，在解決實際問題的過程中，數(shù)學(xué)計算有時不需要也不可能做到百分之百精確。對小學(xué)數(shù)學(xué)來說，有時也不需要精確計算，而需要的是解決問題的思想與方法。

與一般的圓面積計算教學(xué)法相比，重疊比較法最大的特點是沒有用到圓周率。這種方法至少有如下幾點值得我們思考與借鑒。

一是更有利于學(xué)生對面積概念及其基本求法的掌握。我們知道，計算一個圖形面積最基本的方法，就是把這個圖形放在由單位面積的正方形所組成的方格圖上，然后數(shù)出這個圖形所占的方格數(shù)。這種方法看似笨拙，卻具通用性；看似原始，卻是圖形面積概念本質(zhì)的反映。學(xué)生在此前遇到的面積計算問題，其中圖形的邊都是直的，圓面積計算是學(xué)生首次接觸的曲邊圖形面積計算，所以再次用這種最基本的方法求面積，可以讓學(xué)生體會到這種原始方法的普適性，從而進(jìn)一步加深對圖形面積概念的理解。

二是隱含著解決問題方法的教學(xué)。從解決問題的角度看，當(dāng)新問題不能直接解決時，我們往往會想辦法把它轉(zhuǎn)化為以前碰到過的能解決的問題，然后通過后者的解決來達(dá)到前者的解決，或者借助后者的功能（特征）來解決前者。當(dāng)然，這兩者之間往往具有一定的聯(lián)系，只有抓住這種聯(lián)系，才能使問題迎刃而解。

在這里，圓面積的計算是一個新問題，正方形面積的計算是一個早已解決的問題。如何把圓面積的計算問題轉(zhuǎn)化成一個與正方形面積相關(guān)的問題呢？關(guān)鍵是找到正方形與圓之間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系就是正方形的邊長與圓的直徑相等這一關(guān)系。利用這種關(guān)系，我們把圓放到正方形上，通過比較兩者單位面積重合的個數(shù)，確定圓的面積。正如圖2所示，把正方形切成100等份時，圓中有78.5份這樣的小正方形與它重合，把正方形切成1000等份時，圓中有785份這樣的小正方形與它重合，從而得出圓的面積等于以其直徑為邊長的正方形面積的0.785倍。最后根據(jù)這種關(guān)系，得出圓面積等于“直徑×直徑×0.785”的結(jié)論。對學(xué)生來說，圓和正方形間的這種顯性關(guān)系是容易找到的。

三是能讓學(xué)生進(jìn)一步加深對圓與正方形之間關(guān)系的理解。圓和正方形分別是曲、直兩類平面圖形中基本的圖形，盡管學(xué)生在日常生活中或在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常接觸這兩種圖形或由這兩種圖形組合而成的圖形，但對它們只有直觀的、淺層次的認(rèn)識。由上述分析可知，我們看到的正方形外切于圓，其實是它們顯性關(guān)系——長度關(guān)系（邊長等于直徑）、隱性關(guān)系——面積關(guān)系（約1000∶785）的一種表示形式。

[三、構(gòu)造推斷法]

圖3是晉冀魯豫邊區(qū)教育廳審定的《算術(shù)課本（高級 第二冊）》中關(guān)于圓面積計算教學(xué)的插圖，其文字闡述是“由圓心引出縱、橫兩直線，把圓形割成4等份，再把每個等分形依照圓的半徑各擴(kuò)充為4個小方形，每個小方形的面積，都是一邊自乘，也就是圓形的半徑自乘。4個小方形合起來和圓形的全部比較，我們可以看出圓外擴(kuò)充出來4個‘角’，把它們拼合起來，不到1個小方形的大小，所以圓面積是半徑的自乘4倍不足，3倍多一些。上次所講的圓周率3.1416，就是這個意思”[5]。然后，在以用算式“5尺×5尺×3.1416＝78.54（方尺）”解決“求半徑為5尺的桌面面積是多少”為例的基礎(chǔ)上，得出“圓面積＝半徑×半徑×3.1416”。

這種方法的特點是根據(jù)圓的特征，構(gòu)造了4個邊長等于其半徑的正方形，通過圓與4個正方形面積之和的比較，推斷出“圓面積是半徑的自乘4倍不足，3倍多一些”的結(jié)論。整個過程中，先構(gòu)造，再推斷。盡管這個結(jié)論的出現(xiàn)，給人一種灌輸之感，但這種解決問題的方法，給我們對圓面積計算教學(xué)的設(shè)計打開了新的思路。

在得出“圓面積是半徑的自乘4倍不足”，即比4個這樣的正方形面積之和小之后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考“比幾個這樣的正方形面積之和大”的問題。一般來說，學(xué)生會從圖3中發(fā)現(xiàn)，只要把每個正方形都去掉一半，如圖4，就可得出圓的面積比2個這樣的正方形面積之和大，也就是2r2<S圓<4r2。當(dāng)然，學(xué)生此時會自然地想到“會不會比3個這樣的正方形面積之和大”（即 3r2<S圓<4r2）的問題，于是教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論“圓外擴(kuò)充出來的4個‘角’拼合起來”是否真的“不到1個正方形的大小”，再用如上的重疊比較法推出圓的面積。以r=10厘米為例，讓學(xué)生數(shù)出圓面積大約在300多平方厘米，并推斷出若r=1厘米則圓的面積大約是多少，以驗證并求出這個比3大一點兒的數(shù)可能是幾，從而理解“上次所講的圓周率3.1416，就是這個意思”。最后，像得出圓周長計算公式（方法）那樣，得出圓面積的計算公式（方法）。

筆者認(rèn)為，這個以“構(gòu)造推斷”為藍(lán)本的圓面積計算教學(xué)設(shè)計，在讓學(xué)生獲得圓面積計算公式（方法）的過程中，凸顯了如下三方面的意圖。

一是讓學(xué)生從另一個側(cè)面認(rèn)識圓周率。學(xué)生對某個知識點的深刻理解并真正掌握，只有通過多角度的認(rèn)識與思考才能達(dá)到。顯然，這樣的教學(xué)可使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到圓周率也是圓面積和半徑平方的比，并為其后續(xù)學(xué)習(xí)打下更扎實的基礎(chǔ)。

二是讓學(xué)生的探究基于理性認(rèn)識。由上可看出，學(xué)生對圓周率也是圓面積與半徑平方的比之探究，是建立在3r2<S圓<4r2的認(rèn)識基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而這恰恰是圓面積計算教學(xué)中容易被大家遺忘的一個盲點。因為學(xué)生的探究或操作，只有建立在一定的理性認(rèn)識基礎(chǔ)之上，才更有數(shù)學(xué)味，才是真正意義上的數(shù)學(xué)探究。

三是數(shù)學(xué)思想與方法的滲透。在構(gòu)造推斷法中，圓周率的求得，是通過圓的面積比4個以其半徑為邊長的正方形面積之和小，而比2個這樣的正方形面積之和大、比3個這樣的正方形面積之和大等范圍的縮小，最后想辦法求出它的近似值。這種逐步縮小范圍、逐步逼近的方法，在數(shù)學(xué)中是一種經(jīng)常被使用的方法，其思路也被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實生活中各種問題的解決，如案件偵破等。再深一層看，這就是劉徽所用“割圓術(shù)”的雛形。因此，這樣的教學(xué)也體現(xiàn)了在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想與方法。

教科書對某個知識點處理方式的呈現(xiàn)，不僅蘊含著基本的教學(xué)思路和方法，更承載著某個時期的教學(xué)理念，特別是編寫者所倡導(dǎo)的理念。革命根據(jù)地小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的三種圓面積計算教學(xué)法，如果從數(shù)學(xué)思想與方法及數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度來看并不過時，值得我們借鑒。

參考文獻(xiàn)：

[1]晉察冀邊區(qū)行政委員會教育處.算術(shù)課本：高級小學(xué)適用 第四冊[M]. 張家口：新華書店晉察冀分店，1946.

[2]邁克爾·J.布拉德利.數(shù)學(xué)的誕生：古代—1300年[M].陳松，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2008.

[3]劉光照.最新高等小學(xué)教科書 數(shù)學(xué)拾級：中卷[M].上海：上海美華書館，1918.

[4]東北行政委員會教育部.初小算術(shù)：第八冊[M].沈陽：東北新華書店，1949.

[5]晉冀魯豫邊區(qū)教育廳.算術(shù)課本：高級 第二冊[M].左權(quán)：華北書店，1944.

【本文系浙江省教研課題“百年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書發(fā)展研究”（編號：G2020122）、嘉興市教科規(guī)劃專項課題“革命老區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書研究”（編號：JZ18122）的研究成果】

（作者單位：浙江海鹽縣教育研究中心）