2022年版課標(biāo)首次將量感納入核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之中，強(qiáng)調(diào)“量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知”。隨之而來(lái)的問(wèn)題是，我們應(yīng)如何認(rèn)識(shí)量感？又如何在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中落實(shí)量感的培養(yǎng)？

[、對(duì)量感的認(rèn)識(shí)] [一]

1.對(duì)量感本身的認(rèn)識(shí)。

2022年版課標(biāo)將量感具體化為學(xué)生對(duì)度量的操作、理解及在生活中的應(yīng)用能力。其實(shí)，對(duì)照數(shù)學(xué)課程內(nèi)容可發(fā)現(xiàn)，度量涉及的對(duì)象主要是圖形和生活中一些常見的量。在小學(xué)階段，長(zhǎng)度、面積、體積、角度、質(zhì)量、時(shí)間、貨幣等都是培養(yǎng)學(xué)生量感的重要內(nèi)容。與此同時(shí)，這些內(nèi)容本身也描述了現(xiàn)實(shí)世界的特征與屬性。

量的產(chǎn)生源于對(duì)事物屬性進(jìn)行度量的需求。人們?cè)谌粘Ｉ钪蓄l繁使用的量詞就體現(xiàn)了量感，如1套校服、2本書、3座樓等，其中的套、本、座分別是用來(lái)衡量校服、書籍和建筑物數(shù)目和規(guī)模的計(jì)量單位。只是與長(zhǎng)度、面積等需要通過(guò)科學(xué)界定的量相比，這些生活化的單位更加直觀、易懂。由此，我們可以將小學(xué)生的量感分為兩種水平：生活化量感和學(xué)科化量感。而且，前者有助于后者的形成。所以，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、形成量感的過(guò)程，就是感知事物、認(rèn)識(shí)世界的過(guò)程。

就特性而言，量感始于感知覺(jué)，經(jīng)由記憶而通達(dá)于思維。事物的特征刺激了人的感覺(jué)器官，人體隨即產(chǎn)生相應(yīng)的知覺(jué)體驗(yàn)，同時(shí)在記憶中積累為個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而為后續(xù)對(duì)新事物的認(rèn)知提供判斷標(biāo)準(zhǔn)和推理依據(jù)。以人教版教材三年級(jí)下冊(cè)面積和面積單位的認(rèn)識(shí)為例。教材通過(guò)重疊法和密鋪法對(duì)應(yīng)的操作讓學(xué)生感受面積的存在，理解面積的含義。而在面積單位的理解中，教材又分別呈現(xiàn)了指甲蓋、用手指和尺子圍成的區(qū)域、邊長(zhǎng)為1米的正方形紙，以此幫助學(xué)生在比較中體會(huì)1平方厘米、1平方分米和1平方米的差別。這些教學(xué)內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，卻是后續(xù)學(xué)習(xí)面積單位的進(jìn)率及圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。因?yàn)橹挥挟?dāng)學(xué)生接近面積，形成對(duì)面積的感受和面積意識(shí)后，他們才可能主動(dòng)理解并實(shí)施面積的精細(xì)化度量與計(jì)算。從這個(gè)意義上說(shuō)，讓一個(gè)沒(méi)有“面積感”的學(xué)生進(jìn)行再多的面積計(jì)算都是無(wú)意義的機(jī)械重復(fù)，因?yàn)檫@樣的學(xué)習(xí)往往只能應(yīng)付答題，而無(wú)法解決實(shí)際問(wèn)題。正如教學(xué)中我們常?？吹?，學(xué)生能夠迅速口算出邊長(zhǎng)為2厘米的正方形的面積是4平方厘米，卻無(wú)法判斷1元硬幣和電腦鍵盤上的1個(gè)按鍵哪個(gè)更接近1平方厘米。因此，盡管量感具備“下達(dá)感知，上至思維”的特點(diǎn)，但是感官體驗(yàn)仍是形成量感的基礎(chǔ)。學(xué)生需要從大量觀察、觸摸、測(cè)量、比較和估計(jì)的實(shí)踐經(jīng)歷中逐步增強(qiáng)對(duì)量的敏感性，形成判斷與推理的直覺(jué)。

2.對(duì)量感與數(shù)感之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。

相比量感，數(shù)感已在課標(biāo)中存在很久。但由于“數(shù)量”一詞的頻繁使用，人們對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)事實(shí)上已經(jīng)涉及了量感?？偨Y(jié)已有的理論研究和教學(xué)實(shí)踐成果可發(fā)現(xiàn)，量感與數(shù)感的聯(lián)系有兩種表現(xiàn)形式。第一，“數(shù)感+量感”共同完成了數(shù)量表達(dá)的任務(wù)。當(dāng)然，有的研究將這種形式視為：量感只是數(shù)感的一部分[1]。因?yàn)槿粘Ｉ钪腥藗兌际且浴皵?shù)+單位”的方式來(lái)說(shuō)明數(shù)量的，如1串葡萄、2輛車、3只鴨子……這里的量詞所代表的單位就體現(xiàn)為量感，而且這些量詞也是數(shù)量表達(dá)中不可或缺的內(nèi)容。第二，數(shù)感是量感的抽象。按照皮亞杰的理論，數(shù)概念是主體對(duì)事物之間存在的邏輯關(guān)系的抽象概括。舉例來(lái)說(shuō)，現(xiàn)實(shí)生活中并不存在3這個(gè)純粹的數(shù)字，即使一個(gè)筆袋里裝著鉛筆、橡皮和直尺這3樣文具，但是3既不是指它們中的任意1個(gè)，也不是這3樣事物本身，而是指這3樣事物共同構(gòu)成的相互關(guān)系。所以，兒童對(duì)數(shù)概念的理解依托于具體事物，而又抽象于具體事物。他們必須通過(guò)經(jīng)歷多種形式的量感，才可能從中抽取出數(shù)概念。而數(shù)感依托的多種形式從表層看，可能是3個(gè)蘋果、3朵花、3塊積木等事物類型的區(qū)別，但深層上也需要諸如3個(gè)、3厘米、3千克等不同度量單位的抽象。

總體而言，上述兩種形式也說(shuō)明量感與數(shù)感是相互聯(lián)系、互為依托的。量感基于具體實(shí)物，依托與生俱來(lái)的感知覺(jué)；數(shù)感依靠計(jì)數(shù)的內(nèi)部操作活動(dòng)，需要對(duì)不同類型的量感進(jìn)行抽象[2]。盡管如此，數(shù)感培養(yǎng)的目的也并非僅停留在符號(hào)與計(jì)算的層面。因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)指向了數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)的思維，所以學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)必須著眼于學(xué)生的素養(yǎng)，體現(xiàn)其自動(dòng)化與適應(yīng)性特征。但令人遺憾的是，當(dāng)前數(shù)感的培養(yǎng)仍處于一種“求而不得”的尷尬狀態(tài)，其主要原因在于教學(xué)中通常既沒(méi)有充實(shí)的過(guò)程，也沒(méi)有豐富的材料，導(dǎo)致數(shù)的感知常常成為空洞、艱澀的數(shù)字符號(hào)操作。而這些恰恰是量感的特征與優(yōu)勢(shì)，由此我們認(rèn)為，量感應(yīng)成為培養(yǎng)數(shù)感的有效載體。

[、量感相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)] [二]

基于以上分析，我們認(rèn)為小學(xué)階段量感相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)可從生活、體驗(yàn)、表達(dá)三方面著手。

1.努力利用真實(shí)的生活場(chǎng)景。

以度量的教學(xué)為例。教學(xué)中，教師普遍重視學(xué)生對(duì)度量單位的理解。盡管如此，單位的規(guī)定性依然容易使教學(xué)成為單純的知識(shí)講解，難以體現(xiàn)學(xué)習(xí)單位的必要性。最典型的是克和千克的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)實(shí)生活中，人們多以市斤作為購(gòu)物稱重時(shí)的單位，而很少使用克和千克。這在一定程度上導(dǎo)致教材內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的疏離。因此，彌合二者之間的距離就成為本節(jié)課教學(xué)的重要一環(huán)。雖然教材編排的順序是從小單位（克）到大單位（千克），但教師完全可以從學(xué)生經(jīng)常聽到的斤入手，幫助學(xué)生先建立500克（1斤）的質(zhì)量體驗(yàn)。教學(xué)準(zhǔn)備可以是1袋鹽、幾個(gè)蘋果、1捆韭菜、1袋雞肉等生活中常見的食品（均為500克）。教學(xué)過(guò)程中，可讓學(xué)生先拿在手里掂量、比較，再估計(jì)其質(zhì)量，之后鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察外包裝或價(jià)簽，了解質(zhì)量信息，由此形成并鞏固對(duì)500克的感覺(jué)。接下來(lái)，讓學(xué)生組成四人小組，嘗試往袋子里裝500克大米，并通過(guò)用電子秤稱量，比一比誰(shuí)裝的大米最接近500克。在此之后，可以繼續(xù)通過(guò)比較雞蛋、鵪鶉蛋、花生等物品的質(zhì)量，推動(dòng)量感逐漸向更小的單位克過(guò)渡。總之，生活中的食物、商品包裝及電子秤上的信息都是學(xué)生感知質(zhì)量的天然媒介。

此外，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，角的度量是一個(gè)較為特殊的內(nèi)容。從認(rèn)識(shí)角，到對(duì)角的大小進(jìn)行度量，都離不開具體情境，學(xué)生甚至可以從生動(dòng)的故事情節(jié)中感知、提煉。在二年級(jí)“角的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解影響角的大小的因素是難點(diǎn)。因?yàn)槭艿街庇^經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生總是將角的兩邊的長(zhǎng)短作為判斷角的大小的依據(jù)。對(duì)此教師可以創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的故事情境。比如，出示一幅兩只鱷魚張大嘴巴引吭高歌的卡通圖片，圖中鱷魚爸爸的嘴巴長(zhǎng)，但張開的角度小，而鱷魚寶寶的嘴巴短，但張開的角度大。教師可以要求學(xué)生思考：“圖中哪只鱷魚的嘴巴張得大？”基于對(duì)故事情節(jié)的辨別，學(xué)生意識(shí)到“角的大小與角的兩邊叉開的大小有關(guān)，與兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”?？偠灾?，無(wú)論是生活場(chǎng)景的支撐，還是故事情節(jié)的推動(dòng)，都能有效避免空泛地重復(fù)內(nèi)容，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)沉浸式深度體驗(yàn)量的特性。

2.強(qiáng)化直觀的感覺(jué)體驗(yàn)。

強(qiáng)化直觀的感覺(jué)體驗(yàn)，在一定程度上符合量感源于測(cè)量的觀點(diǎn)[3]。以平均數(shù)的教學(xué)為例。與平均數(shù)的計(jì)算相比，平均數(shù)的含義、平均數(shù)與單個(gè)數(shù)據(jù)的聯(lián)系才是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。教師可以利用電腦中的數(shù)據(jù)處理軟件，統(tǒng)計(jì)全班學(xué)生的身高并計(jì)算平均數(shù)。教師可以先從兩個(gè)學(xué)生身高的平均數(shù)算起，通過(guò)逐一添加身高數(shù)據(jù)，讓學(xué)生直觀感受每次添加數(shù)據(jù)后平均數(shù)的變化。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生（已輸入身高數(shù)據(jù)的學(xué)生除外）預(yù)測(cè)，當(dāng)自己的身高數(shù)據(jù)納入計(jì)算之后平均數(shù)的變化趨勢(shì)。通過(guò)見證和參與的方式，學(xué)生形成的平均數(shù)概念自然是深刻的。

除此之外，認(rèn)識(shí)人民幣的教學(xué)更需要突出量感的體驗(yàn)性。就現(xiàn)實(shí)的情況看，一年級(jí)學(xué)生對(duì)貨幣的前期經(jīng)驗(yàn)存在熟悉與陌生的兩極分化狀態(tài)：一部分學(xué)生有花零用錢的習(xí)慣，因此對(duì)貨幣十分熟悉；另一部分學(xué)生因?yàn)楹苌侏?dú)自購(gòu)物，或者由于電子支付等原因，接觸現(xiàn)金的機(jī)會(huì)很少，所以對(duì)貨幣很陌生。事實(shí)上，這兩種情況都不利于教學(xué)的開展。因此，教師在教學(xué)時(shí)可著眼于對(duì)人民幣的多視角深度認(rèn)識(shí)。例如，可以引入新的貨幣（如港幣），讓學(xué)生與人民幣做比較，以人文的內(nèi)容切入，引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較兩種貨幣在幣種、圖案、面值等方面的異同，加深對(duì)人民幣的認(rèn)識(shí)。同時(shí)可以設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)作業(yè)“5元現(xiàn)金零用錢消費(fèi)”，要求學(xué)生先制訂購(gòu)物計(jì)劃，再親自去購(gòu)買，最后在課堂上交流。在這一過(guò)程中，購(gòu)物的目的、物品的單價(jià)、付款的方式、購(gòu)物小票中的價(jià)格信息、購(gòu)物體驗(yàn)等不僅可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)貨幣的認(rèn)識(shí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生樹立正確的消費(fèi)觀念。對(duì)小學(xué)生而言，不與其主觀經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)系的知識(shí)，幾乎無(wú)法使其產(chǎn)生真正意義上的學(xué)習(xí)。因此，無(wú)論是量感還是數(shù)感，只有融入了身體、行動(dòng)和情感，學(xué)生才有機(jī)會(huì)逐步建立起“感”。

3.重視輸出表達(dá)。

前兩點(diǎn)本質(zhì)上都強(qiáng)調(diào)了量感輸入的要求。事實(shí)上，對(duì)抽象概括能力有限的小學(xué)生而言，量感的表達(dá)性輸出同樣重要。因?yàn)閺男睦韺W(xué)的角度看，感知覺(jué)在許多情況下具有溢于言表、難以言說(shuō)的特點(diǎn)。另外，小學(xué)生的元認(rèn)知尚處在發(fā)展階段，他們思考的內(nèi)容及思維的邏輯性都需要提升。因此，教學(xué)時(shí)，可通過(guò)口頭表達(dá)實(shí)現(xiàn)內(nèi)在感受的外化，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)量感的認(rèn)知，同時(shí)便于教師對(duì)學(xué)生的量感進(jìn)行調(diào)控。以“數(shù)與運(yùn)算”主題中位值的學(xué)習(xí)為例。位值不僅是數(shù)概念學(xué)習(xí)的核心，也是豎式運(yùn)算的關(guān)鍵。教學(xué)過(guò)程中，教師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有對(duì)算理和算法的理解脫節(jié)的學(xué)生。學(xué)生在計(jì)算中能夠熟練地算出結(jié)果，但是對(duì)計(jì)算過(guò)程中數(shù)的含義十分模糊。這一現(xiàn)象直接阻礙了學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解。比如，有的學(xué)生掌握了萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)之后，無(wú)法向大數(shù)的認(rèn)識(shí)遷移，有的學(xué)生盡管掌握了有余數(shù)的除法，卻不能解釋多位數(shù)除法豎式中每一步產(chǎn)生的余數(shù)的含義及對(duì)余數(shù)的處理方法。針對(duì)類似的問(wèn)題，教師有必要通過(guò)位值的外化來(lái)鞏固學(xué)生對(duì)算理的理解。比如，在154除以7的豎式計(jì)算中，學(xué)生需要獨(dú)立解釋“商2之后，15與14相減余1的含義”，即因?yàn)檫@個(gè)1在十位上，所以它代表1個(gè)十，也就是1捆（10根）小棒。又因?yàn)?捆小棒無(wú)法再按照捆繼續(xù)平均分，所以只能把這1捆拆開，與其余的4根小棒合成14根小棒，再以根為單位繼續(xù)分。這樣完整、有序的表述，其實(shí)就是在鞏固學(xué)生從捆到根的感受，同時(shí)有利于學(xué)生從中抽象出十進(jìn)制的概念。而在乘法的學(xué)習(xí)中，位值感外化也能幫助學(xué)生克服將豎式運(yùn)算都簡(jiǎn)化成乘法口訣的過(guò)程。比如，22乘33，盡管每次都使用了“二三得六”，但是學(xué)生能否意識(shí)到并說(shuō)出四次使用口訣所代表的不同含義？除了四則運(yùn)算間的聯(lián)系，基于位值的運(yùn)算認(rèn)知表達(dá)，還可以實(shí)現(xiàn)由整數(shù)運(yùn)算向小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的過(guò)渡，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。對(duì)位值感的多次輸出，一方面，能提高學(xué)生對(duì)位值的敏感性；另一方面，這種敏感性和直覺(jué)也是推動(dòng)算法熟練和計(jì)算精確的重要保障。

綜上所述，量感進(jìn)入課標(biāo)預(yù)示著數(shù)學(xué)課程向核心素養(yǎng)邁進(jìn)。量感中，量的一端指向知識(shí)，感的一端聯(lián)結(jié)著學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。因此，我們希望通過(guò)沉浸體悟與外化輸出的方式推進(jìn)教學(xué)，以深度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維。

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【本文系國(guó)家教育考試科研規(guī)劃2021年度課題“小學(xué)教師資格考試內(nèi)隱教育能力評(píng)價(jià)與試題開發(fā)研究”（編號(hào)：GJK2021034）的研究成果】

（作者單位：內(nèi)蒙古師范大學(xué)教育學(xué)院小學(xué)教育系）