一、作業(yè)緣起

“比”表示的是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。人教版教材六年級(jí)上冊(cè)在“比”單元編排了“你知道嗎”欄目，介紹“黃金比”，黃金比蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，在生活中廣泛存在。為了幫助學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值和美感，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，筆者在學(xué)生認(rèn)識(shí)“比”后，設(shè)計(jì)了練習(xí)題。

古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的下身長(zhǎng)度（肚臍至足底的長(zhǎng)度）與身高的比值約是0.618。大部分女性下身長(zhǎng)度與身高的比值都小于0.618，而穿上高跟鞋可以增加下身長(zhǎng)度。小迪的媽媽身高是159厘米，下身長(zhǎng)96厘米，她穿后跟高（ ）厘米的鞋看起來(lái)最美。

A.3 B.6 C.7

我是這樣想的：

學(xué)生答題情況如表1。

結(jié)果顯示，全班78名學(xué)生，只有約20.5%的學(xué)生選擇正確答案B。在分析學(xué)生的想法時(shí)，發(fā)現(xiàn)在選擇B的學(xué)生中，有的計(jì)算是錯(cuò)誤的，有的是瞎猜或憑感覺(jué)選擇的。學(xué)生在解答這道題時(shí)遇到了哪些困難？哪些因素影響了答題的正確率？如果根據(jù)這道題設(shè)計(jì)一項(xiàng)實(shí)踐作業(yè)，需要做哪些準(zhǔn)備？基于上述思考，筆者運(yùn)用SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行分析、歸類(lèi)和統(tǒng)計(jì)，以期能精準(zhǔn)分析學(xué)情，進(jìn)而設(shè)計(jì)實(shí)踐作業(yè)——媽媽穿后跟多高的高跟鞋最美。

二、學(xué)情分析

（一）學(xué)生解題能力水平層次劃分。

基于SOLO分類(lèi)理論，筆者對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行了水平層次劃分。

1.前結(jié)構(gòu)。前結(jié)構(gòu)的回答包括三種情況：拒絕、同義反復(fù)、轉(zhuǎn)換。簡(jiǎn)單地說(shuō)，拒絕表現(xiàn)為沒(méi)有選擇答案，或亂猜一氣；同義反復(fù)指簡(jiǎn)單地將問(wèn)題重復(fù)一遍；轉(zhuǎn)換表現(xiàn)為瞎說(shuō)瞎撞，即未能在邏輯的基礎(chǔ)上進(jìn)行解答，而是依據(jù)感覺(jué)或感情進(jìn)行判斷。基于上述分析，把下面三種回答劃分為前結(jié)構(gòu)水平0088fec4afd35600dedc0b3a8508f1ad905752298dcc4592d147a4a9b4ed3058。（1）沒(méi)有選擇答案，也沒(méi)有呈現(xiàn)想法；（2）沒(méi)有選擇答案，但呈現(xiàn)了自己遇到的困難（如圖1）；（3）有選擇答案（包括選擇B），但沒(méi)有呈現(xiàn)想法。

2.單點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生只考慮一個(gè)因素，選取信息素材進(jìn)行解答，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。具體表現(xiàn)為：（1）計(jì)算長(zhǎng)度（如圖2），①上身長(zhǎng)；②下身長(zhǎng)+鞋跟高度。（2）計(jì)算一個(gè)比值（如圖3），①下身長(zhǎng)∶身高（即96∶159）；②身高∶下身長(zhǎng)（即159∶96）。

3.多點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生考慮多個(gè)因素，選取信息進(jìn)行計(jì)算或推算，但因?qū)π畔㈤g的聯(lián)系理解錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，具體表現(xiàn)為：（1）計(jì)算出三個(gè)比值，然后把比值與0.618進(jìn)行比較，選取最接近的一個(gè)比值作為答案（如圖4）。學(xué)生寫(xiě)的比的類(lèi)別有：①（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）∶身高；②下身長(zhǎng)∶（身高+鞋跟高度）；③身高∶（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）；④（身高+鞋跟高度）∶（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）。（2）只計(jì)算一個(gè)比值，進(jìn)行判斷或推算（如圖5）。（3）根據(jù)“身高×0.618=下身長(zhǎng)”求出下身長(zhǎng)，然后與98厘米比較，選擇答案（如圖6）。（4）呈現(xiàn)了自己的想法，想法同本水平（1）中的思路相同，但因發(fā)現(xiàn)沒(méi)有比值等于0.618，所以沒(méi)有選擇答案。

4.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能正確理解題意，分別計(jì)算出小迪媽媽穿上3種高跟鞋后，（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）與（身高+鞋跟高度）的比值，選出正確答案（如圖7）。

5.抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)。因本題是一道選擇題，且題目中明確了解答方法，故方法和結(jié)論相對(duì)比較封閉，無(wú)法呈現(xiàn)學(xué)生高層次的思維水平。

（二）修改練習(xí)題并進(jìn)行測(cè)試。

考慮到部分學(xué)生理解“最美人體的下身長(zhǎng)度與身高的比值約是0.618”指的是“（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）∶（身高+鞋跟高度）的比值約是0.618”有困難，并且計(jì)算較麻煩，筆者對(duì)題目進(jìn)行了修改：

古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的上身長(zhǎng)度（頭頂至肚臍的長(zhǎng)度）與下身長(zhǎng)度（肚臍至足底的長(zhǎng)度）的比值約是0.618。大部分女性上身長(zhǎng)度與下身長(zhǎng)度的比值都不是0.618，而穿上高跟鞋可以增加下身長(zhǎng)度，使上身長(zhǎng)度與下身長(zhǎng)度的比值接近0.618。小迪的媽媽上身長(zhǎng)63厘米，下身長(zhǎng)96厘米，她穿后跟高（ ）厘米的鞋看起來(lái)最美。

A.3 B.6 C.7

我是這樣想的：

筆者選取兩個(gè)班共144名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，在學(xué)生解答題目之前，教師先介紹什么是黃金比及生活中的黃金比現(xiàn)象，且以“芭蕾舞演員跳舞時(shí)為什么踮起腳尖”為例，幫助學(xué)生理解題干中前兩句話的意思，明確所求比值是上身長(zhǎng)與穿上高跟鞋后下身長(zhǎng)的比值，即“上身長(zhǎng)∶（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）=0.618”。

測(cè)試結(jié)果如表2。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，約有70.8%的學(xué)生能正確計(jì)算出鞋跟高度。在選擇答案錯(cuò)誤的想法中，有11人的解題思路正確，計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，也就是說(shuō)，仍有約21.5%的學(xué)生在解題思路上是錯(cuò)誤的。

三、作業(yè)設(shè)計(jì)

根據(jù)上述分析，布置實(shí)踐作業(yè)“媽媽穿后跟多高的高跟鞋最美”，過(guò)程如下：

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)“比”后，教師播放小視頻，了解“最美人體的上身長(zhǎng)度（頭頂至肚臍的長(zhǎng)度）與下身長(zhǎng)度（肚臍至足底的長(zhǎng)度）的比值約是0.618，下身長(zhǎng)度（肚臍至足底的長(zhǎng)度）與身高的比值也約是0.618”。

（二）學(xué)生完成練習(xí)題（見(jiàn)上面修改后的練習(xí)題）并交流。

（三）思考：如果這道題中沒(méi)有呈現(xiàn)供選擇的答案，你會(huì)怎樣做？

交流得出：可以根據(jù)“上身長(zhǎng)∶（下身長(zhǎng)+鞋跟高度）=0.618”，設(shè)鞋跟的高度是x厘米，計(jì)算出媽媽要穿后跟幾厘米高的高跟鞋。

（四）布置周末作業(yè)。

作業(yè)一：古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的上身長(zhǎng)度（頭頂至肚臍的長(zhǎng)度）與下身長(zhǎng)度（肚臍至足底的長(zhǎng)度）的比值約是0.618，稱為黃金比。媽媽（或奶奶、阿姨）想買(mǎi)一雙高跟鞋，為了使她看起來(lái)最美，你會(huì)建議她買(mǎi)后跟高（ ）厘米的高跟鞋。為什么？把解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程和思考記錄下來(lái)，記錄形式：可以寫(xiě)數(shù)學(xué)日記，也可以畫(huà)數(shù)學(xué)連環(huán)畫(huà)。

溫馨提示：

1.想一想：完成這項(xiàng)作業(yè)，需要先測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？測(cè)量時(shí)要注意什么？

2.計(jì)算時(shí)，可以使用計(jì)算器哦。

作業(yè)二：下面這道題是一道思考題，感興趣的同學(xué)可以試一試！

（本文開(kāi)頭的練習(xí)題，略）

【本文系河南省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“小學(xué)中年級(jí)數(shù)學(xué)多元化家庭作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：［2019］-JKGHYB-1427）的研究成果】

（作者單位：河南駐馬店第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)） L