在豎式的教學(xué)中，我們往往直達(dá)教材中的豎式，這樣的教學(xué)方式不利于算法、算理的融通。本文以“多位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式教學(xué)為例，在梳理學(xué)生乘法豎式學(xué)習(xí)困難原因的基礎(chǔ)上，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)對(duì)算理的理解、搭建學(xué)習(xí)支架促進(jìn)乘法豎式的意義建構(gòu)。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)乘法豎式困難的原因分析

“多位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式與學(xué)生已經(jīng)掌握的整數(shù)加減法豎式有較大的不同，計(jì)算時(shí)，不是相同數(shù)位上的數(shù)相乘，而是要用一位數(shù)分別乘多位數(shù)中的每一位，再把乘得的積相加。這對(duì)第一次接觸乘法豎式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一個(gè)較大的轉(zhuǎn)變，所以本單元教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是要讓學(xué)生真正理解為什么要這樣算、這樣算所表示的意義是什么。

在現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)中，我們總能看到教師將豎式演算的過(guò)程直接示范、學(xué)生按照制定的法則對(duì)數(shù)字符號(hào)進(jìn)行機(jī)械操作的現(xiàn)象，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因至少有三點(diǎn)。

第一，豎式是因滿足人的某種習(xí)慣或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要做出的“人為規(guī)定”，是最大程度壓縮步驟和盡可能保留過(guò)程的需求中形成的平衡，所以高度簡(jiǎn)捷而規(guī)范的“豎式”算法往往不是最容易理解的形式。

第二，教材先編排口算，再編排筆算，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式筆算時(shí)，已經(jīng)會(huì)用口算熟練算出得數(shù)，導(dǎo)致豎式計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了先有計(jì)算結(jié)果、再有形式過(guò)程的現(xiàn)象，沒(méi)有將豎式記錄算的過(guò)程與計(jì)算的思考過(guò)程關(guān)聯(lián)。這樣的會(huì)用豎式計(jì)算并不是真正基于算理理解的算法掌握。

第三，教師在處理豎式教學(xué)時(shí)，為了快速求得結(jié)果而更注重算法，缺少對(duì)豎式計(jì)算合理性的思考、對(duì)運(yùn)算邏輯的聯(lián)系溝通。比如兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式，教材編排了豎式詳細(xì)的展開(kāi)過(guò)程與壓縮過(guò)程（如圖1），即從長(zhǎng)豎式到標(biāo)準(zhǔn)豎式簡(jiǎn)化的過(guò)程。但在實(shí)際教學(xué)中，教師沒(méi)有理解長(zhǎng)豎式的重要性，有的直接省略不教，有的簡(jiǎn)單呈現(xiàn)長(zhǎng)豎式后就第一時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生“感悟”：這個(gè)豎式是不是有點(diǎn)麻煩？于是迫不及待地將其改造成標(biāo)準(zhǔn)豎式，即從算理的直觀立即進(jìn)入了算法的抽象，忽略了長(zhǎng)豎式的功能和長(zhǎng)豎式到標(biāo)準(zhǔn)豎式的創(chuàng)造過(guò)程。

總之，豎式計(jì)算“困難”，既有知識(shí)本身、教材編排的客觀原因，也有教學(xué)過(guò)程中的主觀原因。

二、重組教材，設(shè)計(jì)新的教學(xué)路徑

對(duì)于“多位數(shù)乘一位數(shù)”，教材上一般都是先編排口算乘法，再安排筆算乘法。這樣看似銜接緊密的安排，卻將算理和算法割裂在兩個(gè)階段教學(xué)。通常將算法理解為諸如豎式等標(biāo)準(zhǔn)算法，一般在筆算中教學(xué)，而算理通常理解為這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)能夠?qū)嵤┑睦碛?，一般安排在口算中完成。從學(xué)科的邏輯看，算理的理解和算法的掌握是一個(gè)不可分割的整體，不管是口算乘法，還是筆算乘法，它們都是源于對(duì)數(shù)的意義與運(yùn)算意義的理解，都是基于計(jì)數(shù)單位將數(shù)拆分后利用乘法口訣進(jìn)行運(yùn)算。所以設(shè)想以單元整體視角對(duì)教材進(jìn)行有機(jī)整合、合理優(yōu)化和靈活應(yīng)用，將口算和筆算合并教學(xué)，算理和算法融合推進(jìn)，以算理理解促進(jìn)算法意義建構(gòu)。為此做了如下思考：

（一）計(jì)數(shù)單位核心統(tǒng)領(lǐng)。

整數(shù)的四則運(yùn)算特別強(qiáng)調(diào)“計(jì)數(shù)單位”，所有運(yùn)算都是基于“計(jì)數(shù)單位”展開(kāi)的：加（減）是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)累加（減），乘法是計(jì)數(shù)單位的倍增，除法是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。在乘法“計(jì)數(shù)單位倍增”的算理中，主要包含了“計(jì)數(shù)單位”和“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)”兩個(gè)維度。乘法運(yùn)算的本質(zhì)是同數(shù)連加，在整數(shù)乘法運(yùn)算體系中，同數(shù)連加從“逐一計(jì)數(shù)”擴(kuò)展到“按群計(jì)數(shù)”。如計(jì)算：2×3、20×3、200×3，就是2個(gè)一連續(xù)加了3次、2個(gè)十連續(xù)加了3次、2個(gè)百連續(xù)加了3次，它們的計(jì)數(shù)單位分別是一、十、百，口訣“二三得六”算出的是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

（二）“先分后合”貫通算理。

兩位數(shù)乘一位數(shù)是整數(shù)乘法運(yùn)算的核心，對(duì)筆算乘法算理的理解具有“開(kāi)啟”的意義和遷移作用。在理解算理、探尋算法的過(guò)程中，要幫助學(xué)生從應(yīng)用乘法口訣直接計(jì)算過(guò)渡到“先分后合”的一般算法。首先，學(xué)生通過(guò)對(duì)乘法的意義和數(shù)的意義的理解，完成對(duì)兩位數(shù)的拆分，將兩位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘一位數(shù)或整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)，將新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的運(yùn)算。接著，引導(dǎo)學(xué)生在多樣的拆分中體會(huì)整十?dāng)?shù)拆法具有普適性，體會(huì)十進(jìn)制及位值制在運(yùn)算中的價(jià)值。最后，將兩位數(shù)擴(kuò)展到多位數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用位值原理將多位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化成每個(gè)數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位與一位數(shù)相乘，再把所得的結(jié)果相加，從而指向“相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加”的運(yùn)算本質(zhì)。

（三）長(zhǎng)豎式記錄統(tǒng)整算法。

長(zhǎng)豎式不僅體現(xiàn)算理，還體現(xiàn)豎式記錄分步計(jì)算結(jié)果的功能，所以在教學(xué)中設(shè)想將長(zhǎng)豎式記錄提前至理解算理的第一節(jié)課，要求學(xué)生用長(zhǎng)豎式將計(jì)算的過(guò)程記錄下來(lái)，并通過(guò)長(zhǎng)豎式與學(xué)生計(jì)算方法的聯(lián)系，結(jié)合直觀的算理理解，體會(huì)長(zhǎng)豎式的價(jià)值。通過(guò)對(duì)教材適當(dāng)重組，不區(qū)分口算與筆算，按“算理理解—長(zhǎng)豎式記錄算法—標(biāo)準(zhǔn)豎式記錄算法”的流程推進(jìn)教學(xué)。在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料時(shí)，選擇更能體現(xiàn)乘法計(jì)算全過(guò)程、更具有普適性的進(jìn)位乘法“14×3”作為第一次學(xué)習(xí)的材料，將不進(jìn)位乘法“12×3”作為一個(gè)特例讓學(xué)生自悟。教學(xué)時(shí)，先將長(zhǎng)豎式作為一個(gè)學(xué)習(xí)乘法的支架記錄完整“乘”的過(guò)程，再用長(zhǎng)豎式記錄兩位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)理解多位數(shù)乘一位數(shù)、因數(shù)中間有0或末尾有0的乘法。當(dāng)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)豎式充分感悟后自發(fā)對(duì)長(zhǎng)豎式進(jìn)行簡(jiǎn)化創(chuàng)造，進(jìn)而形成標(biāo)準(zhǔn)的豎式。

基于以上分析，對(duì)“多位數(shù)乘一位數(shù)”的單元教學(xué)內(nèi)容安排做了適度調(diào)整，形成本單元教學(xué)的整合框架，劃分為7個(gè)課時(shí)（不含練習(xí)課）：（1）有關(guān)0的乘法和整十、整百數(shù)乘一位數(shù)；（2）兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理與用長(zhǎng)豎式記錄算的方法；（3）多位數(shù)乘一位數(shù)的算理與用長(zhǎng)豎式記錄算的方法；（4）（5）長(zhǎng)豎式到標(biāo)準(zhǔn)豎式的簡(jiǎn)化，總結(jié)多位數(shù)乘一位數(shù)的算法；（6）用長(zhǎng)豎式指導(dǎo)因數(shù)中間或末尾有0的乘法；（7）用長(zhǎng)豎式指導(dǎo)多位數(shù)乘一位數(shù)的靈活計(jì)算（拓展）。

三、教學(xué)實(shí)踐

關(guān)鍵課例1：表征聯(lián)結(jié)，“用長(zhǎng)豎式記錄兩位數(shù)乘一位數(shù)”理法統(tǒng)整。

乘法是依據(jù)位值原則、數(shù)的組成與分解、運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)，通過(guò)阿拉伯?dāng)?shù)字和符號(hào)書(shū)寫(xiě)進(jìn)行的一種演算。教學(xué)中，首先，要讓學(xué)生根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)和算式的意義用自己的方法進(jìn)行探究；然后引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)比、表達(dá)、多元表征的全過(guò)程，理解不同方法的共性，進(jìn)而提煉出通法；其次，在理解算理的基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生用長(zhǎng)豎式將算法記錄下來(lái)，并通過(guò)對(duì)情境意義、計(jì)算過(guò)程、長(zhǎng)豎式記錄這三者的關(guān)聯(lián)，使這個(gè)長(zhǎng)豎式記錄變得有意義；最后，通過(guò)直觀表征、加法原則、乘法原則、長(zhǎng)豎式表征將位值概念與乘法豎式每一部分的結(jié)果建立聯(lián)結(jié)，既能深化學(xué)生對(duì)算理的理解，又能提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

（一）從數(shù)到算，體驗(yàn)從“自由拆分”到“按十進(jìn)制拆分”的計(jì)算方法。

1.師：（出示點(diǎn)子圖，圖略）運(yùn)動(dòng)會(huì)上，301班排隊(duì)入場(chǎng)，你能數(shù)出這個(gè)班一共有多少人嗎？

學(xué)生先數(shù)出每行有14人，有3行，再列出算式：14×3。

2.師：這是兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法（板書(shū)課題），乘法口訣表里沒(méi)有這樣的口訣可以直接求，你能想辦法求出這道題的答案嗎？把你求的過(guò)程記錄下來(lái)，并在點(diǎn)子圖上圈一圈，表示出你的思路。

3.反饋學(xué)生作品（如圖2）。

（1）針對(duì)方法①，得出可以根據(jù)乘法的意義，理解“14×3”表示3個(gè)14的和，轉(zhuǎn)化成同數(shù)連加求得結(jié)果。

（2）以方法②為例，“14”去哪里了？為什么要這么拆分？拆分后每一步乘得的積表示哪一部分？最后為什么又要加起來(lái)？

從學(xué)生的回答中得出，因?yàn)?4×3乘法口訣表里沒(méi)有，把它變成口訣可以計(jì)算的“9×3＝27”，再求出剩余的“5×3＝15”，最后把這兩部分加起來(lái)，引出“先分后合”的計(jì)算方法和“將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)”的數(shù)學(xué)思想。

（3）方法②到④你都看得懂嗎？比一比這三種方法，有什么相同和不同？

（4）這三種方法都用到了“拆分—乘—加”的方法，你覺(jué)得哪一種拆分的方法可以作為兩位數(shù)乘一位數(shù)普遍適用的方法？

得出：在計(jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，可以將兩位數(shù)按數(shù)的組成拆分成“幾十加幾”，比如：14里面有1個(gè)十和4個(gè)一，求3個(gè)14就是先求出3個(gè)10是30、3個(gè)4是12，再把30和12合起來(lái)，像方法③那樣用三步計(jì)算，這樣的記錄方法叫作“橫式記錄”。

（二）多元表征，理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理。

1.用連加計(jì)算的方法其實(shí)和哪種拆分是一致的？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)連加算式和方法③其實(shí)是一致的，都是分別算出3個(gè)4和3個(gè)10是多少，再求和。

2.把乘法三步計(jì)算與連加算式聯(lián)系起來(lái)，并與直觀圖聯(lián)系（如圖3），尋找每一步的具體意義，并伺機(jī)出示表格記錄。

（三）搭建支架，用長(zhǎng)豎式記錄算的過(guò)程。

1.師：你能用豎式將計(jì)算“14×3”的過(guò)程記錄下來(lái)嗎？

出示學(xué)生列出的三個(gè)豎式（如圖4），學(xué)生在教師引導(dǎo)下將三個(gè)豎式合并成一個(gè)長(zhǎng)豎式，發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘一位數(shù)可以看成幾個(gè)幾十和幾個(gè)幾來(lái)算，可以從高位算起，也可以從低位算起，和運(yùn)算的順序無(wú)關(guān)。

2.長(zhǎng)豎式中的每一個(gè)數(shù)在不同表征中的意義。

（1）追問(wèn)：這個(gè)長(zhǎng)豎式中的“30”是怎么得來(lái)的？口訣“一三得三”，算出來(lái)的為什么是“30”而不是“3”？下面這條橫線表示什么意思？“42”又是怎么得來(lái)的？

（2）對(duì)長(zhǎng)豎式中的“30”“12”“42”，分別在橫式記錄、加法豎式、表格記錄、點(diǎn)子圖中尋找意義聯(lián)結(jié)。

3.比較豎式加法和豎式乘法。

師：（出示圖5）有人說(shuō)計(jì)算“14＋3”時(shí)，只要把個(gè)位上的4和3相加得7，第二個(gè)加數(shù)十位上沒(méi)有，所以十位上的1直接移下來(lái)，14＋3＝17；計(jì)算“14×3”時(shí)，個(gè)位上的4×3＝12，第二個(gè)乘數(shù)十位上也沒(méi)有，所以只要十位上的1直接移下來(lái)再相加……你同意嗎？為什么？

通過(guò)點(diǎn)子圖直觀演示，發(fā)現(xiàn)加法算式表示第一行有14個(gè)點(diǎn)子，第二行有3個(gè)點(diǎn)子，而乘法中的“3”表示14的個(gè)數(shù)，需要求出“3個(gè)4”和“3個(gè)10”的和，所以“要先用3乘14的每一位，再把兩次乘得的積合起來(lái)”。

（四）突出位值，用長(zhǎng)豎式統(tǒng)整算理與算法。

1.表征。出示算式23×4和32×4，請(qǐng)學(xué)生用小棒圖表示這兩個(gè)算式所表示的意義。

2.嘗試。先想一想分別怎么算，再用長(zhǎng)豎式記錄算的過(guò)程。

3.比較。（1）計(jì)算這兩道題，你們分別乘了幾次？?jī)傻李}都用了“二四得八”這句口訣，在這兩個(gè)算式里表示的意思一樣嗎？你能在小棒圖中分別指一指嗎？（2）這兩道題計(jì)算“3×4”時(shí)，為什么一道表示“12個(gè)十”，一道表示“12個(gè)一”，誰(shuí)決定了這樣不同的結(jié)果？

4.歸納。用長(zhǎng)豎式記錄這三道題的計(jì)算過(guò)程時(shí)，有什么相同點(diǎn)？從而得出兩位數(shù)乘一位數(shù)“□□×□”的計(jì)算模型，并板書(shū)：用一位數(shù)乘兩位數(shù)的每一位，再把得到的積相加。

關(guān)鍵課例2：由繁入簡(jiǎn)，“多位數(shù)乘一位數(shù)”理法融通。

長(zhǎng)豎式記錄是源于學(xué)生對(duì)算理充分理解后的記錄與創(chuàng)造，而標(biāo)準(zhǔn)豎式是一種規(guī)定，規(guī)定的得來(lái)需要充分的理由，但教材僅僅借助學(xué)生的對(duì)話“還可以列豎式計(jì)算”規(guī)范了豎式的書(shū)寫(xiě)格式，顯然，這樣的告知掩蓋了規(guī)定背后的道理。所以等學(xué)生掌握用長(zhǎng)豎式記錄計(jì)算過(guò)程后，應(yīng)安排簡(jiǎn)化到標(biāo)準(zhǔn)豎式的創(chuàng)造活動(dòng)，具體做好以下三點(diǎn)：

（一）明白哪里可以省略。

讓學(xué)生用數(shù)字卡片貼出計(jì)算12×3的長(zhǎng)豎式（如圖6），教師引導(dǎo)：數(shù)學(xué)的記錄既追求清楚，又強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單，如果把這個(gè)長(zhǎng)豎式寫(xiě)得簡(jiǎn)單些，你覺(jué)得哪些地方可以省略不寫(xiě)？理由是什么？學(xué)生自然能想到計(jì)算十位時(shí)，一三得三，只要把“3”寫(xiě)在十位就表示3個(gè)十，個(gè)位上的0可以省略，然后長(zhǎng)豎式出現(xiàn)了一個(gè)“不穩(wěn)定”的結(jié)構(gòu)，學(xué)生就把十位上的3和個(gè)位上的6擺在一起，舍去重復(fù)的部分，標(biāo)準(zhǔn)豎式應(yīng)運(yùn)而生。

（二）結(jié)構(gòu)化的表征促進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)豎式的建構(gòu)。

當(dāng)學(xué)生理解了標(biāo)準(zhǔn)豎式計(jì)算后，及時(shí)出示14×3，引導(dǎo)學(xué)生先用長(zhǎng)豎式計(jì)算，再試著用標(biāo)準(zhǔn)豎式計(jì)算，然后用計(jì)數(shù)器撥出14×3的計(jì)算過(guò)程，從而理解標(biāo)準(zhǔn)豎式的算理（如圖7），最后聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)算式、連加算式、長(zhǎng)豎式和計(jì)數(shù)器理解積十位上“4”的由來(lái)、個(gè)位進(jìn)上來(lái)的“1”在不同表征中的意義，真正理解標(biāo)準(zhǔn)豎式背后的道理。

（三）討論從哪一位算起。

乘法的本質(zhì)與運(yùn)算的順序無(wú)關(guān)，反映在長(zhǎng)豎式上既可以從高位算起，又可以從低位算起。學(xué)習(xí)了標(biāo)準(zhǔn)豎式后，及時(shí)設(shè)計(jì)一道進(jìn)位乘法題，讓學(xué)生嘗試、比較、討論：從哪一位算起？學(xué)生很容易感受到在計(jì)算進(jìn)位乘法時(shí)從低位算起的簡(jiǎn)潔方便。

“多位數(shù)乘一位數(shù)”實(shí)現(xiàn)了從表內(nèi)乘法求積到基于位值的乘法豎式求積的飛躍，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵時(shí)期。教學(xué)中，我們應(yīng)該從單元整體視角出發(fā)，以計(jì)數(shù)單位的計(jì)數(shù)為核心，在多元表征的聯(lián)系中理解算理，以蘊(yùn)含著抽象算理、直觀算法的長(zhǎng)豎式為學(xué)習(xí)支架記錄算的過(guò)程，在長(zhǎng)豎式的壓縮過(guò)程中實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)豎式的創(chuàng)造與建構(gòu)，為后續(xù)整數(shù)、小數(shù)豎式學(xué)習(xí)提供理解與遷移的源泉。

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（作者單位：浙江杭州市臨平區(qū)文正小學(xué)） H