課前思考

在日常教學(xué)中，老師們往往有這樣的體會(huì)，單獨(dú)學(xué)習(xí)一種圖形時(shí)，學(xué)生對(duì)面積的整體掌握還不錯(cuò)。但是，一旦圖形組合，一旦題中沒有直接給出公式中需要的數(shù)據(jù)，一旦需要學(xué)生自己觀察圖形，尋找相關(guān)數(shù)據(jù)信息，部分學(xué)生就會(huì)無(wú)從下手。然而，一經(jīng)啟發(fā)，他們又都會(huì)恍然大悟，似乎思維一下子活過(guò)來(lái)了！但是，若換一個(gè)圖形或者把圖形轉(zhuǎn)換一個(gè)角度，他們又無(wú)從下手了。為什么學(xué)生思維像“過(guò)山車”一樣呢？

一次偶然的機(jī)會(huì)，在幫助一個(gè)學(xué)生解決一個(gè)陰影面積問(wèn)題時(shí)，筆者找到了學(xué)生無(wú)從下手的原因。原來(lái)在讀題的時(shí)候，他們很容易被“陰影”兩字吸引?？磮D的時(shí)候就會(huì)只關(guān)注“陰影”部分。其實(shí)，這個(gè)現(xiàn)象，成人身上也容易發(fā)生。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生多視角觀察“陰影圖形”呢？

筆者通過(guò)美術(shù)里的正負(fù)形帶來(lái)的視覺沖擊力、想象力和創(chuàng)造力，意識(shí)到：一個(gè)人在欣賞一幅畫時(shí)，會(huì)有自己獨(dú)特的色感體驗(yàn)。這種體驗(yàn)對(duì)人的大腦會(huì)產(chǎn)生不同的刺激。這樣，同一幅圖，因?yàn)橛^察者對(duì)色塊的不同圖像處理，映射在觀察者頭腦里的信息就會(huì)不同，他們看到的圖像也就不同。

比如，圖1中的這些美術(shù)平面設(shè)計(jì)正負(fù)形，它們都是由原來(lái)的圖底關(guān)系轉(zhuǎn)變而來(lái)的。正形就是有明確邊緣線的形，負(fù)形就是含在陰影里的需要暗示出來(lái)的形。以左上第一幅圖為例：當(dāng)我們把白色的部分作為正形時(shí)，黑色就是負(fù)形，我們就能看到人臉;當(dāng)我們把黑色的部分作為正形時(shí)，白色就是負(fù)形，我們就能看到月亮。

在數(shù)學(xué)里，“陰影面積”通常在紙質(zhì)上都是采用黑、白兩種色塊來(lái)體現(xiàn)幾何圖形的線條、形狀和空間關(guān)系的。比如圖2。黑白分明，更突出了白色的清亮、黑色的凝重。學(xué)生第一眼往往會(huì)被“黑色”吸引。比如：左邊上下一組圖，排除顏色的干擾，圖形完全一樣。但是一旦加上色彩，學(xué)生就會(huì)認(rèn)為下圖復(fù)雜，陰影部分不規(guī)則，不能解。

這個(gè)現(xiàn)象提醒教師，不要輕易地評(píng)價(jià)學(xué)生：“你怎么就看不到這里有一個(gè)三角形呢？”他很有可能真的看不到。因?yàn)樗X子里想的是“要求陰影面積”，他的眼睛早就被“陰影”兩字牽住，這讓他優(yōu)先將黑色部分視為正形（即要計(jì)算的陰影部分），將空白部分視為負(fù)形（即不需要計(jì)算的空白部分）。

這種看圖的慣性思維，束縛了學(xué)生對(duì)正負(fù)形主次的調(diào)節(jié)力，導(dǎo)致他們找不到圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步也得不到相關(guān)的數(shù)據(jù)；沒有數(shù)據(jù)，自然不能求解。不能求解，這在學(xué)生的心里同樣也產(chǎn)生了很大的陰影。特別是那些看上去不規(guī)則的陰影，有的學(xué)生甚至看都不想看，瞥一眼就直接放棄。

筆者想：是不是可以結(jié)合美術(shù)欣賞課的教學(xué)，幫助學(xué)生用欣賞正負(fù)形的眼光來(lái)欣賞“陰影圖形”，緩解“陰影圖形”帶給部分學(xué)生的負(fù)面心理陰影，在發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間的關(guān)系中，感受圖形結(jié)合創(chuàng)造出來(lái)的美？更重要的是，通過(guò)欣賞、建構(gòu)提升學(xué)生的空間感知能力。于是，有了這節(jié)智育與美育融合的教學(xué)嘗試。

課堂實(shí)踐

【片段一】設(shè)置數(shù)學(xué)情境（觀察、分析）。

師：談話引入。今天，我們的學(xué)習(xí)從欣賞幾張美術(shù)畫開始。在這張畫上（如圖3），你看到了什么？

學(xué)生反饋出兩種結(jié)果：月亮、一張臉。

教師故作詫異：難道你們看到的不是同一幅畫？

教師引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)：眼睛在觀察時(shí)會(huì)受顏色影響，不同的色調(diào)會(huì)帶給我們不同的視覺沖擊力。把白色的部分做背景，就能看到月亮;把黑色的部分做背景，就能看到一張臉。這樣的平面設(shè)計(jì)圖，在美術(shù)上稱為正負(fù)形。

師：再看看。現(xiàn)在你能同時(shí)看到月亮，又看到人臉嗎？（生：能）我們?cè)賮?lái)欣賞幾張（如圖1）。

思考：這些畫，為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的視覺效果呢？它們都有什么共同特點(diǎn)？

師生達(dá)成共識(shí)：黑白分界的曲線，既是黑色圖形的輪廓（如月亮），也是白色圖形的輪廓（如人的側(cè)臉）。在數(shù)學(xué)上，我們把這樣的線條，稱為“公共邊”。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)正負(fù)形的鑒賞，幫助學(xué)生積累觀察圖形的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為接下來(lái)欣賞“陰影幾何圖形”做好視覺準(zhǔn)備。

【片段二】提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（猜想、探究）。

師：數(shù)學(xué)里也有一些圖形（如圖4）。你第一眼看到了什么圖形？

師：這些圖形有什么特點(diǎn)？在數(shù)學(xué)里，通常把圖形中黑色的部分稱為陰影。在這三幅圖中，你認(rèn)為哪一個(gè)圖形的陰影部分的面積不好求？請(qǐng)給出你的理由。

生1：我感覺圖4-2不好求，因?yàn)樗?xì)了。

生2：我覺得圖4-1不好求，陰影部分不完整（即不規(guī)則）。

生3：我覺得圖4-3不好求，陰影部分是一個(gè)三角形和一個(gè)梯形組成的。三角形那條豎著的邊有多長(zhǎng)不知道。

師：你說(shuō)的有道理。剛才生1認(rèn)為圖4-2不好求。你能跟他說(shuō)說(shuō)你對(duì)圖4-2的認(rèn)識(shí)嗎？

生3：圖4-2雖然看著細(xì)長(zhǎng)，但是把那條最短的邊看作底，它的長(zhǎng)度正好是小正方形的邊長(zhǎng)，它所對(duì)應(yīng)的高就是大正方形的邊長(zhǎng)。陰影部分的面積就是黑色三角形的面積。

生1：哦，原來(lái)如此！謝謝你！我來(lái)跟你說(shuō)說(shuō)圖4-3。它雖然不規(guī)則，但是，那塊白色三角形是規(guī)則的。我們只要用兩個(gè)正方形的面積之和減去白色三角形的面積，剩下的就是陰影部分的面積了。

師生達(dá)成共識(shí)：換一個(gè)角度觀察圖形，就可以通過(guò)圖形關(guān)系等量代換，獲得所需要的數(shù)據(jù)解決問(wèn)題。

生2：謝謝你的分享，讓我一下子明白了，圖4-1的陰影面積其實(shí)也是容易求的。你們看，圖4-1中這兩塊白色三角形的面積是可以求出來(lái)的。像剛才的方法一樣，用兩個(gè)正方形的面積之和減去這兩個(gè)白色三角形的面積，剩下的就是陰影部分的面積。

師：集體的智慧是強(qiáng)大的，在同學(xué)們相互啟發(fā)下，這三個(gè)圖形的陰影部分的面積都變得非常容易求了。我想請(qǐng)大家再多看一眼（如圖4-1），除了生2的觀察視角，還能不能換一種觀察視角，同樣能解決問(wèn)題呢？

【片段三】解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（求解、反駁）。

生4：一開始我把陰影這樣分割（如圖5-1、圖5-2）。但是，發(fā)現(xiàn)這樣分割后找不到完整的三角形信息。于是，我連接了這兩個(gè)點(diǎn)，把陰影部分同樣分割成兩個(gè)三角形（如圖5-3）。①號(hào)三角形是底為（10－4＝6），高為10的三角形，②號(hào)三角形是底為4，高為4的三角形。

師：棒極了！生4讓我們了解到重構(gòu)圖形時(shí)，需要有一個(gè)不斷調(diào)整視角的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，要充分利用已知的信息來(lái)構(gòu)建新圖形，讓已知信息成為新圖形的數(shù)據(jù)。

生5：我的方法是把右上角補(bǔ)齊（如圖5-4）。這樣，陰影部分就是一個(gè)大的長(zhǎng)方形面積減去兩個(gè)白色三角形和一個(gè)添補(bǔ)的正方形的面積。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)問(wèn)“除了生2的觀察視角，還能不能換一種觀察視角，同樣能解決問(wèn)題呢”促發(fā)學(xué)生帶著欣賞的眼光、審辯的視角，結(jié)合圖形特征逆向思考，發(fā)現(xiàn)靜態(tài)的圖形通過(guò)“分割”“添補(bǔ)”可以巧妙地搭建起圖形之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)并體會(huì)到“分割”“添補(bǔ)”能幫助我們重構(gòu)圖形，獲得相關(guān)的數(shù)據(jù)，解決貌似“無(wú)法解決”的一般問(wèn)題。

【片段四】注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）。

師：圖6中的陰影面積有多大？你們能用剛才的看圖經(jīng)驗(yàn)解決嗎？建議大家先在題單上照樣子畫一畫，再給出理由。

生6：如圖7，我采用的是分割重構(gòu)。把陰影部分分割為三個(gè)三角形。S陰＝S①三角形＋S②三角形＋S③三角形。

生7：如圖8，我用的是添補(bǔ)重構(gòu)。把左下角和右上角補(bǔ)齊，形成一個(gè)邊長(zhǎng)為（10＋4）的大正方形，減去三個(gè)三角形即可求出陰影部分的面積。

師：精彩！為同學(xué)們的思考力和對(duì)圖形的重構(gòu)力點(diǎn)贊。面對(duì)一個(gè)新圖形，我們?cè)谛蕾p它的同時(shí)，可以通過(guò)“色塊調(diào)整”“分割”“添補(bǔ)”等方式轉(zhuǎn)換我們的視角，重構(gòu)它的結(jié)構(gòu)，通過(guò)找尋圖形之間的關(guān)聯(lián)，找到我們需要的信息。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)改變圖底結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)新任務(wù)，進(jìn)一步溝通圖形之間的聯(lián)系。在“觀察初識(shí)—復(fù)查重構(gòu)”的過(guò)程中，提升學(xué)生的識(shí)圖能力和品鑒水平，使其體會(huì)圖形之美。在問(wèn)題解決的過(guò)程中，提升學(xué)生的空間觀念、推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

課后反思

美國(guó)著名發(fā)展心理學(xué)家霍華德·加德納博士認(rèn)為，人類的智能是多元化的，每個(gè)人都擁有不同的智能優(yōu)勢(shì)組合，包含語(yǔ)言智能、數(shù)理邏輯智能、空間智能、身體運(yùn)動(dòng)智能、音樂智能、人際智能、內(nèi)省智能和自然探索智能八項(xiàng)FUNxTjESwUQ3HW+yZvCtXA==。為了滿足不同學(xué)生的個(gè)性差異，幫助學(xué)生以美術(shù)欣賞的眼光感受設(shè)計(jì)之美，以數(shù)學(xué)思辨的眼光感受幾何之美，消除學(xué)生對(duì)陰影圖形的心理恐慌。在輕松的狀態(tài)下通過(guò)視角調(diào)整，看到不同的圖形結(jié)構(gòu)；感受圖形變幻的結(jié)構(gòu)美。在美的感召下，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平面基本圖形的特征，厘清平面圖形之間邊、角、高、面積的空間關(guān)系，為今后解決較復(fù)雜的陰影面積問(wèn)題積累看圖經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課遵循新課標(biāo)理念，通過(guò)“三研三探”的活動(dòng)設(shè)計(jì)，就空間觀念、推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，展開了循序漸進(jìn)的課堂實(shí)踐。

一、獨(dú)立研習(xí)，探尋新知，著力空間觀念的培養(yǎng)

新課標(biāo)指出：空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。課堂上，教師以問(wèn)題提出的方式引發(fā)學(xué)生思考：“哪一個(gè)圖形的陰影部分的面積不好求？請(qǐng)給出你的理由?！闭{(diào)動(dòng)學(xué)生在觀察、分析、解釋的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到以不同的視角觀察同一個(gè)圖形，可以看到不同的“圖形結(jié)構(gòu)”，獲得新的信息，從而解決貌似“疑難”的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

二、同伴研討，探究解惑，著力推理意識(shí)的培養(yǎng)

推理是數(shù)學(xué)的重要思想。在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，有助于學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或者類比，猜想或者發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程，有助于學(xué)生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生“猜想、探究、求解、反駁”，以“群策”的力量，展開逆向思考，拓展學(xué)生思維，幫助學(xué)生體會(huì)重構(gòu)圖形的方法多樣化。讓學(xué)生不僅能看懂圖，厘清圖形之間的聯(lián)系，更能講明其中的道理。摒除學(xué)生以往“只關(guān)注陰影”的單視覺看圖習(xí)慣，認(rèn)識(shí)到“減去空白”也好，“分割”也好，“添補(bǔ)”也好，都是一種看圖的視角，感受到“分割”“添補(bǔ)”是重構(gòu)圖形，搭建圖形之間聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)眼光，也是圖形欣賞的一種藝術(shù)眼光。

三、集體研述，探索提煉，著力應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)

學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于用數(shù)學(xué)。應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)有助于學(xué)生建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系，用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣，發(fā)展實(shí)踐能力。學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)”不是一蹴而就的，需要在日常的教學(xué)中潛移默化。本節(jié)課，教師通過(guò)改變圖底結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)新任務(wù)，幫助學(xué)生在“觀察初識(shí)—復(fù)查重構(gòu)—建立聯(lián)系—回顧反思”的過(guò)程中，固化習(xí)得的新的識(shí)圖經(jīng)驗(yàn)和感受，認(rèn)識(shí)“分割”是“化整為零”，“添補(bǔ)”是“添零為整”。不論是“分割”還是“添補(bǔ)”都需要靈活利用已知信息重構(gòu)圖形。

基于學(xué)情考慮，本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形、梯形面積之后的一節(jié)拓展課，其學(xué)習(xí)的目的就是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)看圖，學(xué)會(huì)分析圖形與圖形之間的關(guān)系。故而，本節(jié)課的重點(diǎn)不是算，而是學(xué)會(huì)構(gòu)建圖形結(jié)構(gòu)。從邊長(zhǎng)分別為10和4的大正方形、小正方形的基本圖形的數(shù)據(jù)上，也可以看到，本節(jié)課上會(huì)構(gòu)建圖形比會(huì)計(jì)算重要。這點(diǎn)符合李文馥等人對(duì)我國(guó)兒童空間表象的研究，認(rèn)為發(fā)展兒童空間表象能力在于會(huì)判斷物體的位置關(guān)系，而影響兒童空間表象能力的因素主要包括兒童的知覺經(jīng)驗(yàn)和對(duì)客觀特征的熟悉。

需要特別說(shuō)明的是，本節(jié)課的圖底始終是由一個(gè)大正方形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)基于兩個(gè)想法：一是想帶給學(xué)生更多的情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題提出的機(jī)會(huì)，學(xué)生課后可以由一個(gè)大正方形和一個(gè)小正方形自行設(shè)計(jì)出更多的圖底，產(chǎn)生更多的正負(fù)形幾何結(jié)構(gòu)。二是“人永遠(yuǎn)是目的”，是全部教育活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。腦科學(xué)告訴我們，新的知識(shí)、新的生成總是會(huì)以異樣的狀態(tài)與我們腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生碰撞，碰撞成功就意味著大腦完成了同化、順應(yīng)和平衡，我們的大腦認(rèn)知才得以更全面智能建構(gòu)。因而，重視不同學(xué)生智能結(jié)構(gòu)的差別，設(shè)計(jì)適合不同類型學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使每一個(gè)學(xué)生的潛能都得到充分開發(fā)是好的課堂教學(xué)必須呈現(xiàn)的一種生命狀態(tài)。

本節(jié)課最大的亮點(diǎn)就是將過(guò)去觀察“幾何圖形”的教學(xué)方式以欣賞和重構(gòu)重新定位。用欣賞的愉悅舒緩學(xué)生對(duì)幾何圖形抽象的畏懼，在重構(gòu)的思辨催生下提升學(xué)生的藝術(shù)眼光和數(shù)學(xué)眼光，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李文馥，徐凡，郗慧媛.3～7歲兒童空間表象發(fā)展研究：并與8～13歲兒童空間表象特點(diǎn)比較[J].心理學(xué)報(bào)，1989（4）.

[2]陶西平.最好的未來(lái)：一種視角改變著教育[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（4）.

（作者單位：四川成都市行知小學(xué)校） H