數(shù)學(xué)文化為核心素養(yǎng)的發(fā)展提供了載體。很多學(xué)者和一線教師為如何將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)付諸行動(dòng)，并取得了一定的成效。然而，很多冠以“數(shù)學(xué)文化”的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)多是在教學(xué)的某一環(huán)節(jié)簡(jiǎn)單呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，實(shí)際上未能真正將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)中。究其原因，主要是對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解不到位，沒有找到切實(shí)可行的途徑使數(shù)學(xué)教學(xué)有效地彰顯數(shù)學(xué)文化。有學(xué)者指出，數(shù)學(xué)文化既強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)作為相對(duì)獨(dú)立的文化系統(tǒng)來理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展，同時(shí)強(qiáng)調(diào)人類文化其他部分對(duì)數(shù)學(xué)這一子系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，還強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中所做出的貢獻(xiàn)[1]。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，通過問題鏈可以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐并彰顯數(shù)學(xué)文化[1]。但是什么樣的問題鏈才能實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)呢？本文以北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)“生活中的比”為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^問題鏈在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)文化。

一、確定“三鏈”

數(shù)學(xué)教學(xué)一般包括知識(shí)導(dǎo)入、知識(shí)發(fā)展與知識(shí)應(yīng)用三個(gè)大的環(huán)節(jié)，它們分別對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面，即知識(shí)導(dǎo)入對(duì)應(yīng)人類文化其他部分對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的影響，知識(shí)發(fā)展對(duì)應(yīng)將數(shù)學(xué)作為相對(duì)獨(dú)立的文化系統(tǒng)來理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展，知識(shí)應(yīng)用對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中所做出的貢獻(xiàn)。為體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的這三個(gè)方面，結(jié)合對(duì)“生活中的比”的教材分析，我們?cè)诮虒W(xué)的相應(yīng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了生活問題鏈、數(shù)學(xué)問題鏈和應(yīng)用問題鏈。

一是在知識(shí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)生活問題鏈，目的是讓學(xué)生體會(huì)人類文化其他部分對(duì)數(shù)學(xué)這一子系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，從而將學(xué)生吸引到數(shù)學(xué)實(shí)踐中。

“生活中的比”這一內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活有密切的聯(lián)系，小學(xué)生基本處于形象思維階段，需要用真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境幫助其理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，可以結(jié)合歷史情境，將歷史與現(xiàn)實(shí)整合起來。因此，在這一環(huán)節(jié)中，采用印蒙娜麗莎的照片這一情境，通過“從所印的照片中選擇哪幾張？為什么？實(shí)際是什么數(shù)學(xué)問題”導(dǎo)入新知學(xué)習(xí)。這一過程主要依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的過程將現(xiàn)實(shí)情境問題逐漸抽象為數(shù)學(xué)問題，聚焦用數(shù)學(xué)刻畫情境問題中量與量之間的關(guān)鍵關(guān)系。

二是在知識(shí)發(fā)展環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題鏈，目的是將數(shù)學(xué)作為相對(duì)獨(dú)立的文化系統(tǒng)來理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展。

比的本質(zhì)是量與量之間的相對(duì)關(guān)系，其運(yùn)算與除法有關(guān)，其結(jié)果的形式與分?jǐn)?shù)一致。比關(guān)注比較對(duì)象之間的關(guān)系，而除法關(guān)注的是運(yùn)算及運(yùn)算結(jié)果。分?jǐn)?shù)主要表示部分與整體、部分與部分之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)數(shù)，是一個(gè)結(jié)果，而比可以表示任意兩個(gè)量之間的關(guān)系，包括部分與整體、部分與部分甚至不同量綱（如路程與時(shí)間）之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)象之間相比較的過程[2]。因此，在這一環(huán)節(jié)中的問題鏈應(yīng)為數(shù)學(xué)問題鏈，通過采用發(fā)現(xiàn)知識(shí)的一般方法和過程，即經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、優(yōu)化、辨析的過程，來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題鏈，讓學(xué)生在分析特例的過程中真正理解比的本質(zhì)。

三是在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)應(yīng)用問題鏈，目的是體現(xiàn)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中所做出的貢獻(xiàn)。這里的問題需要為學(xué)生提供應(yīng)用性的數(shù)學(xué)實(shí)踐機(jī)會(huì)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)所發(fā)揮的文化價(jià)值。

對(duì)六年級(jí)學(xué)生來說，關(guān)注歷史的和當(dāng)下的生活更符合學(xué)生的認(rèn)知。因此，在設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)時(shí)，將從知識(shí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)的情境出發(fā)，設(shè)置變式問題并將其延伸，讓學(xué)生在解決歷史問題的同時(shí)，尋找其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用并進(jìn)行概念辨析，進(jìn)一步深化對(duì)比的本質(zhì)的理解。具體可以按以下邏輯設(shè)計(jì)應(yīng)用問題鏈：《蒙娜麗莎》這幅名畫中的黃金分割比有哪些？生活中還有黃金分割比及其他不同類型的比嗎？日常用語中的比是不是都是數(shù)學(xué)中所說的比？

二、設(shè)計(jì)教學(xué)過程

基于上面的分析，設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程。

環(huán)節(jié)1：知識(shí)導(dǎo)入。

師：同學(xué)們，今天老師給大家?guī)砹艘环澜缑嫛睹赡塞惿?，此畫中蒙娜麗莎的微笑被譽(yù)為永恒的微笑。老師也想擁有這般微笑，想借它來提醒勉勵(lì)自己，所以我想把它放到錢包里和書桌上，于是我就去照相館印了幾張。

問題1：（出示四張照片，如圖1）你會(huì)取回哪幾張照片？為什么？

問題2：為什么大小改變了，但還是像呢？像與不像怎么用數(shù)學(xué)的方法判斷？

問題2-1：照片是一個(gè)長方形，與長方形有關(guān)的量有哪些？是不是都能夠刻畫像與不像？

問題2-2：為什么會(huì)選擇長、寬進(jìn)行研究？

【教學(xué)解析】《蒙娜麗莎》是人類文化史上一顆璀璨的明珠，從印照片這一現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，自然提出選哪幾張照片這一實(shí)際問題，并將其抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。在這一過程中，學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，而生活實(shí)際的需求又促使他們對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的思考。問題2-1為研究指明了方向，即從數(shù)學(xué)的視角研究長方形的長、寬、周長、面積等基本量之間的關(guān)系。問題2-2聚焦長方形的基本要素進(jìn)行研究，同時(shí)探究從A向B、D變化的過程中哪些量沒有變化，但從A向C、E變化的過程中發(fā)生了變化。實(shí)際上，圖C的面積與圖A是一樣的，但是兩者并不像。從數(shù)學(xué)上解釋，是因?yàn)槊娣e一定的情況下，長、寬是變化的，從而將研究的對(duì)象聚焦于長方形的長、寬這兩個(gè)關(guān)鍵量，實(shí)現(xiàn)將一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究。

環(huán)節(jié)2：知識(shí)發(fā)展。

問題3：以圖A與圖B為例，從長與寬的角度思考兩者為什么像。

第一種情況：A長÷A寬=[32]，算式是6÷4=[32]；B長÷B寬=[32]，算式是3÷2=[32]。

第二種情況：A長÷B長=2，算式是6÷3=2；A寬÷B寬=2，算式是4÷2=2。

問題4：以上兩種情況分別說明了什么問題？就像與不像來說，哪個(gè)關(guān)系是關(guān)鍵的？

輔助性問題：如果要再畫一個(gè)與圖A像的長方形，采用哪種關(guān)系更合適？

問題5：比是什么？

問題5-1：比與除法有什么相同之處與不同之處？

問題5-2：比與分?jǐn)?shù)有什么相同之處與不同之處？

【教學(xué)解析】從數(shù)量關(guān)系看，學(xué)生很容易就得到以上兩種情況，第一種情況是在一個(gè)長方形中尋找長與寬之間的數(shù)量關(guān)系，第二種情況是在兩個(gè)長方形中尋找長與長、寬與寬之間的數(shù)量關(guān)系。實(shí)際上，當(dāng)長方形的長與寬的比值一定時(shí)，長與寬是可以放縮的，第一種情況其實(shí)就說明了這個(gè)問題。所以第一種情況應(yīng)該是關(guān)鍵的。但是不管哪種情況，我們關(guān)注的都是兩個(gè)量之間的關(guān)系。在與學(xué)生充分討論的情況下，進(jìn)一步總結(jié)：比是長與寬之間的相對(duì)關(guān)系，用相除的方法刻畫。同時(shí)順勢(shì)給出相關(guān)概念：前項(xiàng)、后項(xiàng)、比值。接下來探索比的本質(zhì)：兩個(gè)量之間的相對(duì)關(guān)系，以除法為工具，但其意義有所不同，關(guān)注點(diǎn)也不同，即除法關(guān)注結(jié)果，而比更關(guān)注除的過程，特別是兩個(gè)量之間的關(guān)系。在比與分?jǐn)?shù)的比較中，同樣應(yīng)突出此時(shí)的比值雖然仍表示分?jǐn)?shù)，但是比關(guān)注的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，而分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)、一個(gè)結(jié)果。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生主要通過對(duì)兩個(gè)長方形的基本要素——長與寬之間的數(shù)量關(guān)系的探討，理解比的本質(zhì)。

環(huán)節(jié)3：知識(shí)應(yīng)用。

問題6：蒙娜麗莎的微笑之所以被稱為永恒的微笑，是因?yàn)槠渲刑N(yùn)含著黃金分割比。請(qǐng)大家觀看視頻，并記錄《蒙娜麗莎》畫作中的哪些量之間是黃金分割比。

問題7：生活中還有哪些地方用到了黃金分割比？哪些地方還存在比？

問題8：足球比賽中的3∶2是比嗎？為什么？

【教學(xué)解析】問題6從比的角度解釋蒙娜麗莎的微笑之所以被稱為永恒的微笑的原因，向?qū)W生展示哪些量之間的比約為0.618，并將重點(diǎn)放在兩個(gè)量之間的關(guān)系上，進(jìn)一步凸顯哪些量之間的比為黃金分割比，即量與量之間的關(guān)系更為重要。另一方面，讓學(xué)生體會(huì)比在藝術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用及對(duì)藝術(shù)發(fā)展的影響。達(dá)·芬奇通曉數(shù)學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科，其杰作《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》都運(yùn)用了數(shù)學(xué)的知識(shí)，這也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在人類發(fā)展中做出的貢獻(xiàn)。問題7是在問題6基礎(chǔ)上的延伸，讓學(xué)生尋找數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)不僅在歷史上有應(yīng)用，在當(dāng)下的生活甚至未來的生活中都有所應(yīng)用。問題8是將常見現(xiàn)象中的日常用語比與數(shù)學(xué)中的比進(jìn)行區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生對(duì)比的本質(zhì)的進(jìn)一步理解。

三、設(shè)計(jì)要點(diǎn)

上述“生活中的比”一課，通過在三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中對(duì)三類問題鏈的設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面很好地落實(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。這三類問題鏈?zhǔn)且粋€(gè)有機(jī)整體，生活問題鏈讓學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的過程，數(shù)學(xué)問題鏈讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及發(fā)展，應(yīng)用問題鏈讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值及對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解與深化。

1.生活問題鏈要展現(xiàn)數(shù)學(xué)化過程。

弗賴登塔爾認(rèn)為，橫向數(shù)學(xué)化是指“把生活世界引向符號(hào)世界”。生活問題鏈的用意是將生活情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，因此在設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的問題鏈時(shí)需要做到以下幾點(diǎn)。

一是情境的設(shè)置應(yīng)關(guān)注學(xué)生的生活實(shí)際，問題是學(xué)生樂于探究的。這里的生活情境可以是學(xué)生正在經(jīng)歷的生活，也可以是歷史的或未來的生活，若是后者，那么教師應(yīng)幫助學(xué)生尋找其在當(dāng)下生活中的意義。例如，“生活中的比”一課的情境載體是名畫《蒙娜麗莎》，但是通過與印照片這一當(dāng)下生活的實(shí)際聯(lián)系起來，賦予歷史名畫當(dāng)代生活意義，讓學(xué)生能浸入情境，樂于解決問題。

二是將情境問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化。這是將生活情境問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化的過程，也就是明白解決問題的“標(biāo)準(zhǔn)”是什么，目的是為數(shù)學(xué)問題的提出做好準(zhǔn)備。例如，上述案例中，“取回哪幾張照片”的標(biāo)準(zhǔn)是“判斷像不像”。

三是提煉出數(shù)學(xué)問題，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系或空間形式進(jìn)行研究。例如，上述案例中，就是轉(zhuǎn)化為對(duì)與長方形相關(guān)的量之間關(guān)系的研究。

以上三個(gè)方面步步推進(jìn)，在橫向數(shù)學(xué)化的過程中，將生活情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

2.數(shù)學(xué)問題鏈要指向數(shù)學(xué)本質(zhì)。

對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究應(yīng)聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此可以采用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的一般方法和路徑，即猜想、驗(yàn)證、優(yōu)化和辨析。因此在這一環(huán)節(jié)的問題設(shè)計(jì)中可以據(jù)此設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題鏈。

一是開放性問題讓學(xué)生得到盡可能多的結(jié)果。所謂開放性問題，就是對(duì)同一個(gè)問題，不同的學(xué)生都能依據(jù)自己的理解層次做出回應(yīng)。開放性問題給學(xué)習(xí)者提供了從不同角度思考的機(jī)會(huì)，使得絕大多數(shù)學(xué)生能充分參與課堂[3]。這樣的問題不僅能給絕大多數(shù)學(xué)生提供充分參與課堂的機(jī)會(huì)，也可以拓展學(xué)生的思維，為思維的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。例如，上述案例中，學(xué)生通過不同的方式得到圖A與圖B像的原因，大多數(shù)學(xué)生可以從兩種方法中選擇一種，為后面思考優(yōu)化性問題提供思維基礎(chǔ)。

二是優(yōu)化性追問揭示本質(zhì)內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生在自己的理解層次上對(duì)開放性問題做出回應(yīng)后，對(duì)解決問題的過程和答案的優(yōu)化，有助于學(xué)生優(yōu)化思維、厘清數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。例如，上述案例中，問題4是尋找量與量之間的關(guān)鍵關(guān)系，意在從中找到兩種方法中的本質(zhì)方法。若學(xué)生有困難，輔助性問題可以幫助學(xué)生理解什么是關(guān)鍵關(guān)系，教師順勢(shì)提出比是比較對(duì)象之間的相對(duì)關(guān)系。

三是辨析性問題有助于學(xué)生進(jìn)一步理解本質(zhì)內(nèi)容。數(shù)學(xué)知識(shí)之間是緊密聯(lián)系的，但是不同數(shù)學(xué)概念之間是有區(qū)別的。通過辨析，可以更好地理解新學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征。例如，與比密切相關(guān)的概念是除法和分?jǐn)?shù)，因此上述案例中，通過問題5、問題5-1、問題5-2厘清比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生建構(gòu)清晰的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.應(yīng)用問題鏈要體現(xiàn)廣泛應(yīng)用。

數(shù)學(xué)文化對(duì)其他文化的促進(jìn)作用，反映到教學(xué)中體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是在人類發(fā)展史上的應(yīng)用，二是在當(dāng)下實(shí)際生活中的應(yīng)用。因此應(yīng)用問題鏈可以立足這兩個(gè)方面來設(shè)計(jì)。

一是歷史性問題有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展中的價(jià)值。歷史性問題的設(shè)計(jì)，可以是學(xué)生分享與討論查找到的相關(guān)資料，也可以是教師適當(dāng)出示文字或視頻資料，其目的都是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展長河中的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。例如，上述案例中采用第二種方式，用問題6引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)《蒙娜麗莎》中的黃金分割比，體會(huì)比在藝術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

二是生活實(shí)際問題有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)當(dāng)下生活的價(jià)值。要讓生活實(shí)際問題回歸學(xué)生的生活世界，因?yàn)椤氨M管客觀科學(xué)的邏輯亞建筑超越了直觀的主觀生活世界，但它只能在回溯到生活世界的明證性時(shí)，才具有它的真理性”[4]。生活實(shí)際問題會(huì)使學(xué)生的感觸更加深刻。例如，上述案例中，問題7有助于學(xué)生體會(huì)在歷史上出現(xiàn)的黃金分割比至今還有廣泛應(yīng)用，且可拓展到其他比在生活中的應(yīng)用。然而，反過來看，日常用語與數(shù)學(xué)概念有所不同，因此需要對(duì)它們進(jìn)行區(qū)分，問題8便是出于這樣的考慮設(shè)計(jì)的。

從整體上看，生活問題鏈、數(shù)學(xué)問題鏈、應(yīng)用問題鏈分別對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)的三個(gè)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面。但是，這三類問題鏈并不是割裂的，生活問題鏈與數(shù)學(xué)問題鏈的連接往往通過數(shù)學(xué)抽象來實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題鏈與應(yīng)用問題鏈的連接往往通過知識(shí)的應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)，且應(yīng)用問題鏈往往是對(duì)生活問題鏈中的問題的進(jìn)一步解決或延伸，是對(duì)通過數(shù)學(xué)問題鏈探究到的結(jié)論的進(jìn)一步理解與深化。

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[4]倪梁康.現(xiàn)象學(xué)及其效應(yīng)[M].北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，1994.

（作者單位：浙江師范大學(xué)教育學(xué)院，浙江師范大學(xué)附屬小學(xué)）

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