一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)沖突[ ]

師：周末，樂樂到超市為家人采購面包。甲種面包他買了2個(gè)，花了13元；乙種面包他買了4個(gè)，花了25元。樂樂非常善于思考和提問，同學(xué)們猜猜，他會(huì)提什么問題呢？

生：哪種面包更貴些？

師：想知道哪種面包更貴些，應(yīng)該先求出什么？

生：兩種面包的單價(jià)。

師：請同學(xué)們跟老師一起列式求出兩種面包的單價(jià)分別是多少。（如圖1）

師：從剛才的計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)兩種面包的單價(jià)都是6元余1元，同學(xué)們說哪種面包更貴些呢？

生：一樣貴。

師：大家都同意兩種面包一樣貴嗎？

生：不一樣貴。求甲種面包的單價(jià)時(shí)是平均分成2份，而求乙種面包的單價(jià)時(shí)是平均分成4份，如果將余下的1元繼續(xù)分下去的話，得到的結(jié)果并不一樣。

師：你非常善于觀察和分析，從表面的相同看到了背后的不同！因?yàn)橛嘞碌?元沒有繼續(xù)分下去，目前所得的商的精確度是不夠的。

【評析】從真情實(shí)境中抽象出數(shù)學(xué)問題，符合學(xué)生的認(rèn)知，也有助于激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的興趣，讓其感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。創(chuàng)造認(rèn)知沖突，就會(huì)引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：以前學(xué)的有余數(shù)除法所得的商的精確度不夠，應(yīng)該將余下的1元繼續(xù)分，從而體會(huì)小數(shù)除法產(chǎn)生的必要性。

二、多元表征，感悟一致

師：看來，現(xiàn)在問題的關(guān)鍵就是如何將余下的1元繼續(xù)分下去。請同學(xué)們先集中精力思考：求甲種面包單價(jià)時(shí)，余下的1元該怎么分呢？可以算一算、寫一寫，也可以畫一畫、分一分。

（完成后，以小組為單位進(jìn)行交流和匯報(bào)展示）

生：人民幣單位換算。（如圖2）

生：計(jì)數(shù)單位換算。（如圖3）

師：兩位同學(xué)分的方法不同，但殊途同歸，都分得非常精彩！如果將這兩種分法放在一起，仔細(xì)觀察，大家能發(fā)現(xiàn)有什么相同之處呢？

生：都是從“1”到“10”。

生：都是從大單位轉(zhuǎn)化成了小單位。

師：同學(xué)們不但有一雙慧眼，還有很強(qiáng)的總結(jié)概括能力！人民幣單位換算，是將1元轉(zhuǎn)化成了10角；計(jì)數(shù)單位換算，是將1個(gè)一轉(zhuǎn)化成了10個(gè)0.1。當(dāng)大單位不夠分時(shí)，就將大單位轉(zhuǎn)化成小單位，從而繼續(xù)分下去。（如圖4）

【評析】教師借助“1元該怎么分呢”這一問題引發(fā)學(xué)生的思考走向深入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“人民幣單位轉(zhuǎn)化”和“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化”等多種表征。借助“兩種分法有什么相同之處”這一問題，讓學(xué)生在尋找共同點(diǎn)的過程中感悟表征方式的內(nèi)在一致性：都是將不夠分的大單位轉(zhuǎn)化成小單位，從而繼續(xù)分下去，為引出小數(shù)除法的豎式奠定基礎(chǔ)。

三、深入探究，凸顯本質(zhì)

（一）溝通算理，感悟“一致”。

師：既然同學(xué)們對“分”的過程有了很深的領(lǐng)悟，那現(xiàn)在大家能把這個(gè)過程在原來豎式的基礎(chǔ)上接著進(jìn)行記錄嗎？請繼續(xù)完成甲種面包單價(jià)的計(jì)算并講一講計(jì)算的道理。

生：在“1”的后面添上“0”，也就是將1元轉(zhuǎn)化成10角，平均分成2份，每份是5角，即0.5元。

生：在“1”的后面添上“0”，也就是將1個(gè)一轉(zhuǎn)化成10個(gè)0.1，平均分成2份，每份是5個(gè)0.1，即0.5。

師：同學(xué)們還有什么問題要問嗎？

生：為什么要在“1”的后面添上“0”？

生：為什么小數(shù)點(diǎn)要點(diǎn)在“6”和“5”之間？

師：兩位同學(xué)的問題都非常有研究價(jià)值。哪位同學(xué)能做出解答？

生：當(dāng)大單位不夠分時(shí)，將大單位轉(zhuǎn)化成小單位，就可以繼續(xù)分下去；10個(gè)0.1平均分成2份，每份是5個(gè)0.1，而要表示出5個(gè)0.1，“5”就應(yīng)該商在十分位上，小數(shù)點(diǎn)也就必須點(diǎn)在“6”和“5”之間。

師：數(shù)學(xué)就是這樣一門“講理”的學(xué)科，在剛才的交流碰撞中，同學(xué)們將其中的道理越講越明，越說越透！

【評析】借助學(xué)生的提問“為什么要在‘1’的后面添上‘0’”“為什么小數(shù)點(diǎn)要點(diǎn)在‘6’和‘5’之間”，教師引導(dǎo)學(xué)生將“分”的過程與豎式表征對應(yīng)起來，理解添“0”就是為了將大單位轉(zhuǎn)化為小單位才能繼續(xù)分的道理。感悟除法運(yùn)算就是從分計(jì)數(shù)單位“1”到分計(jì)數(shù)單位“0.1”，再到分計(jì)數(shù)單位“0.01”……這一不斷細(xì)分的過程，而小數(shù)點(diǎn)是計(jì)數(shù)單位“1”和計(jì)數(shù)單位“0.1”的分界。

師：甲種面包的單價(jià)已經(jīng)解決了，現(xiàn)在大家能夠按照剛才的思路求出乙種面包的單價(jià)嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成并嘗試從“計(jì)數(shù)單位”的角度解釋每一步豎式計(jì)算的道理。

生：2個(gè)十平均分成4份，不夠分，將其轉(zhuǎn)化成20個(gè)一；20個(gè)一與5個(gè)一合起來是25個(gè)一，平均分成4份，每份是6個(gè)一，余下了1個(gè)一；將余下的1個(gè)一轉(zhuǎn)化成10個(gè)0.1，平均分成4份，每份是2個(gè)0.1，余下了2個(gè)0.1；再將余下的2個(gè)0.1轉(zhuǎn)化成20個(gè)0.01，平均分成4份，每份是5個(gè)0.01，最后求得乙種面包的單價(jià)是6.25元。

師：6.5元＞6.25元，可以判斷出甲種面包更貴些。其實(shí)，剛才在計(jì)算兩種面包的單價(jià)時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)不自覺地學(xué)會(huì)了小數(shù)除法?，F(xiàn)在請大家整體觀察這兩個(gè)豎式計(jì)算的過程，誰能說說小數(shù)除法與整數(shù)除法有什么內(nèi)在聯(lián)系嗎？

生：小數(shù)除法是從整數(shù)除法“生”出來的。

生：都是將計(jì)數(shù)單位不斷地“分”。

師：同學(xué)們已經(jīng)抓住了除法的本質(zhì)。確實(shí)，小數(shù)除法是在有余數(shù)除法的基礎(chǔ)上“生長”出來的，不論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，當(dāng)大單位不夠分時(shí)，就將大單位轉(zhuǎn)化成相鄰的小單位，再繼續(xù)分。

【評析】借助“小數(shù)除法與整數(shù)除法有什么內(nèi)在聯(lián)系”這一問題，教師引導(dǎo)學(xué)生在溝通交流的過程中，明確了小數(shù)除法是在有余數(shù)除法的基礎(chǔ)上“生長”出來的；無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法都是從高位到低位，一位一位地分，當(dāng)遇到不夠分時(shí)，就將大單位轉(zhuǎn)化為相鄰的小單位繼續(xù)分，充分體會(huì)“計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分”這一本質(zhì)。

（二）對比分析，總結(jié)算法。

師：求甲、乙兩種面包的單價(jià)時(shí)，我們算的是整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的除法，現(xiàn)在有兩道小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算（9.84÷3、6.4÷5），同學(xué)們會(huì)做嗎？請大家獨(dú)立完成。完成后，依然要從“計(jì)數(shù)單位”的角度解釋豎式每一步計(jì)算的道理。

生：第一題，9個(gè)一平均分成3份，每份是3個(gè)一；8個(gè)0.1平均分成3份，每份是2個(gè)0.1，還余下2個(gè)0.1；將余下的2個(gè)0.1轉(zhuǎn)化成20個(gè)0.01，與4個(gè)0.01合起來是24個(gè)0.01，將24個(gè)0.01平均分成3份，每份是8個(gè)0.01；最后的結(jié)果是3.28。第二題，6個(gè)一平均分成5份，每份是1個(gè)一，余下了1個(gè)一；將余下的1個(gè)一轉(zhuǎn)化成10個(gè)0.1，與4個(gè)0.1合起來是14個(gè)0.1，14個(gè)0.1平均分成5份，每份是2個(gè)0.1，余下4個(gè)0.1；將余下的4個(gè)0.1轉(zhuǎn)化成40個(gè)0.01，平均分成5份，每份是8個(gè)0.01，最后的結(jié)果是1.28。

師：現(xiàn)在我們將剛剛完成的四道小數(shù)除法放在一起，仔細(xì)觀察它們的除數(shù)都是什么數(shù)。（如圖5）

生：整數(shù)。

師：這節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)的就是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”。結(jié)合這四個(gè)除法算式，你能說一說“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的計(jì)算方法嗎？

生：按照整數(shù)除法的方法來計(jì)算。

生：當(dāng)大單位不夠分時(shí)，轉(zhuǎn)化成小單位再分。

生：商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊。

師：同學(xué)們總結(jié)得非常好！按照整數(shù)除法的方法來計(jì)算，從高位開始，將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分，當(dāng)遇到大單位不夠分時(shí)，就將其轉(zhuǎn)化成相鄰的小單位繼續(xù)分，商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊！

【評析】有了前面幾個(gè)問題的鋪墊，教師再拋出問題：“結(jié)合這四個(gè)除法算式，你能說一說‘除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法’的計(jì)算方法嗎？”因?yàn)閷W(xué)生對小數(shù)除法的算理有了深度理解，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法就變得水到渠成。

四、總結(jié)梳理，拓展延伸

師：同學(xué)們，這節(jié)課已接近尾聲了。學(xué)完這節(jié)課，你有哪些收獲？

生：學(xué)會(huì)了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法。

生：理解了除法的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。

……

師：今天學(xué)習(xí)了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，想一想，接下來我們會(huì)研究哪一類小數(shù)除法？

生：除數(shù)是小數(shù)的除法。

師：課后，希望同學(xué)們在本課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究除數(shù)是小數(shù)的除法。

【評析】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)，有助于建構(gòu)知識(shí)體系。另外，學(xué)習(xí)由課上延伸到了課后，學(xué)生的思維得到進(jìn)一步提升，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

【總評】

1.巧妙創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生對除法的認(rèn)知沖突。

創(chuàng)設(shè)生活情境：周末，樂樂到超市為家人采購面包。甲種面包他買了2個(gè)，花了13元；乙種面包他買了4個(gè)，花了25元。學(xué)生提出問題：哪種面包更貴些？大家都會(huì)先想到分別求出兩種面包的單價(jià)，再做比較。

絕大部分的學(xué)生會(huì)認(rèn)為甲種面包的單價(jià)=乙種面包的單價(jià)，兩種面包一樣貴。此時(shí)進(jìn)行適當(dāng)留白，有學(xué)生就會(huì)意識(shí)到因?yàn)?元沒有繼續(xù)分完，還不能這么早下結(jié)論。這也就會(huì)引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：以前學(xué)的有余數(shù)除法所得的商的精確度不夠，應(yīng)該將余下的1元繼續(xù)分，從而體會(huì)小數(shù)除法產(chǎn)生的必要性。

借助具體的生活情境，在整數(shù)除法和小數(shù)除法的連接點(diǎn)處（有余數(shù)的除法）制造沖突，能夠讓學(xué)生充分感悟計(jì)數(shù)單位進(jìn)一步細(xì)分的意義——有助于提高精確度。

2.精心設(shè)計(jì)“問題串”，促進(jìn)學(xué)生對除法本質(zhì)的理解。

好的問題能夠不斷打破學(xué)生原有的認(rèn)知平衡，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。皮亞杰指出，只有學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)的東西才能積極地被同化，從而讓學(xué)生產(chǎn)生深刻理解。本節(jié)課，在緊密聯(lián)系的“問題串”的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生探究熱情高漲，思維逐漸向縱深發(fā)展。

問題一：求甲種面包的單價(jià)，余下的1元該怎么分呢？

借助“1元該怎么分呢”這一問題讓學(xué)生感悟繼續(xù)分的必要性，引發(fā)思考和探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“人民幣單位轉(zhuǎn)化”和“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化”等多種表征，從而加深理解。

問題二：兩種“分法”有什么相同之處？

借助“兩種‘分法’有什么相同之處”這一問題，讓學(xué)生在尋找共同點(diǎn)的過程中感悟表征方式的內(nèi)在一致性：都是將不夠分的大單位轉(zhuǎn)化成小單位，從而繼續(xù)分下去，為引出小數(shù)除法的豎式奠定基礎(chǔ)。

問題三：為什么要在“1”的后面添上“0”？為什么小數(shù)點(diǎn)要點(diǎn)在“6”和“5”之間？

引導(dǎo)學(xué)生將“分”的過程與豎式表征對應(yīng)起來，理解添“0”就是為了將大單位轉(zhuǎn)化為小單位才能繼續(xù)分的道理；在單位不斷細(xì)分的過程中，確定商的小數(shù)點(diǎn)的位置。

問題四：小數(shù)除法與之前學(xué)過的整數(shù)除法有什么內(nèi)在聯(lián)系？

借助這一問題，引導(dǎo)學(xué)生在溝通交流的過程中，明確了小數(shù)除法是在有余數(shù)除法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，打通了聯(lián)系，無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法本質(zhì)都是“計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分”。

問題五：如何計(jì)算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法？

有了前面幾個(gè)問題的鋪墊，學(xué)生對小數(shù)除法的算理就有了深度理解。在此基礎(chǔ)上總結(jié)出除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)整數(shù)除法與小數(shù)除法的一致性就變得水到渠成。

總之，在富有啟發(fā)性的“問題串”的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生借助多元表征直觀理解計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過程，感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法運(yùn)算的一致性。除法的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，當(dāng)大的計(jì)數(shù)單位不夠分時(shí)，就將其轉(zhuǎn)化成小的計(jì)數(shù)單位，繼續(xù)分；同時(shí)，在計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過程中，學(xué)生也能體會(huì)到數(shù)意義與數(shù)運(yùn)算的一致性，即數(shù)意義是數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)運(yùn)算是對數(shù)意義的再解讀，最終實(shí)現(xiàn)對運(yùn)算能力和推理意識(shí)等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【本文系2023年度青島西海岸新區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的小學(xué)‘?dāng)?shù)與運(yùn)算’結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：QXJK145D144）的階段性研究成果之一】

（作者單位：山東青島市西海岸新區(qū)蘭亭小學(xué)，江蘇無錫市通德橋教育集團(tuán)）