一、激活經(jīng)驗，在知識連續(xù)中生成探究情意

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起研究——（出示課題：3的倍數(shù)的特征）之前，我們有沒有研究過這樣的同類問題呢？

生：我們已經(jīng)研究過2、5的倍數(shù)的特征。

師：2、5的倍數(shù)有怎樣的特征呢？

（學(xué)生答略）

師：還記得是怎樣探究它們的特征嗎？

生：我們是先在百數(shù)表中找到2或者5的倍數(shù)進行觀察，得到猜想，再舉例進行驗證，發(fā)現(xiàn)符合猜想，就得到了結(jié)論。

師：現(xiàn)在要研究的3的倍數(shù)又會有怎樣的特征呢？先來猜一猜。

二、猜想驗證，在批判理解中豐富探究經(jīng)驗

1.首猜得法。

生：我覺得3的倍數(shù)個位上可能是0、3、6、9。

師：能說說你是怎么想到這樣猜的嗎？

生：因為2的倍數(shù)和5的倍數(shù)都只要看個位就能判斷，所以我感覺是看個位猜。

師：看來是受到之前2、5的倍數(shù)的特征的影響。其他同學(xué)，你們也支持這個猜想嗎？

生：我反對，3的倍數(shù)有些是12、15、18這樣的，它們的個位就不是3、6、9、0。

師：這位同學(xué)真有經(jīng)驗，看到猜想，立刻想到舉例驗證，而且舉出了像12、15、18等這些不符合猜想的反例。（板書：舉例，反例，正例）有不符合猜想的反例，那有沒有符合猜想的正例呢？

生：有的，比如3、6、9、30、33、36、39，它們個位上就是3、6、9、0。

師：一下子舉出了這么多正例，你們?yōu)槭裁催€要反對這個猜想呢？

生：因為只要有一例反例，這個猜想就是錯誤的。

師：我們一起回頭看看，之前探究2、5的倍數(shù)的特征，猜想時還伴隨著——（學(xué)生回答：觀察）現(xiàn)在探究3的倍數(shù)的特征，為了獲得合理的猜想，你有什么好的建議嗎？

生：我們也可以先到百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，觀察觀察再猜。

（學(xué)生在百數(shù)表中圈3的倍數(shù)，集體校對并改正圈的結(jié)果）

師：一起看百數(shù)表中3的倍數(shù)，現(xiàn)在還堅定地認(rèn)為從個位能找到3的倍數(shù)的同學(xué)舉手示意下。（沒人舉手）一看百數(shù)表，怎么都認(rèn)為看個位找不到3的倍數(shù)的特征了呢？

生：因為這些3的倍數(shù)的個位出現(xiàn)了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，辨別不出來了。

2.再猜明理。

師：看個位找不到3的倍數(shù)的特征，那看什么呢？

生：看十位。

師：那就試試唄，帶著剛剛的經(jīng)驗再看看十位，認(rèn)為能找到3的倍數(shù)的特征的同學(xué)向老師點點頭，認(rèn)為不能的擺擺手。

（學(xué)生齊擺手）

師：你們瞧，僅看個位或僅看十位都找不到3的倍數(shù)的特征，那該怎么辦呢？

生：（多數(shù)）可以個位、十位都看。

師：還是聽你們的，繼續(xù)觀察百數(shù)表中3的倍數(shù)，個位和十位合起來看看，會不會有新發(fā)現(xiàn)呢？如果有困難，還可以請計數(shù)器幫忙，像這樣在百數(shù)表中找一些3的倍數(shù)撥一撥（如圖1），看看兩個數(shù)位上的珠，會不會得到啟發(fā)呢？有了發(fā)現(xiàn)，同桌可以先交流交流。

（學(xué)生自主探究后同桌交流，教師巡視了解情況）

師：哪位同學(xué)愿意把自己的發(fā)現(xiàn)和大家分享一下？

生：我通過在計數(shù)器上撥珠看到，3的倍數(shù)，個位和十位相加的和是3的倍數(shù)。

（教師記錄這個猜想，學(xué)生結(jié)合電子計數(shù)器，邊舉例撥數(shù)邊講解）

生：我也是發(fā)現(xiàn)了個位和十位加起來都是3的倍數(shù)，（指百數(shù)表）比如，1和2加起來是3，是3的倍數(shù)，3和3加起來是6，是3的倍數(shù)，6和9加起來是15，也是3的倍數(shù)。

師：真得謝謝這兩位小老師，都是有理有據(jù)。我們就再來看看百數(shù)表，為了讓大家看得更明白，可以對它動個小手術(shù)（如圖2），沿著這條線看，3的倍數(shù)個位和十位上數(shù)的和是——（生：3）這條線上3的倍數(shù)個位和十位上數(shù)的和是——（生：6）繼續(xù)這樣看下去，再是——（生：9、12、15、18）百數(shù)表中這些3的倍數(shù)符合你們剛剛的猜想嗎？

生：都符合。

生：找不到反例。

師：這么看來，這個猜想對于百數(shù)表中的數(shù)是——（生：正確的）那對于百數(shù)表以外的數(shù)呢？想不想繼續(xù)來猜猜？

生：想。

師：不過猜想還得伴隨著——（生：觀察）所以老師隨機給你們準(zhǔn)備了一些多位數(shù)表，3的倍數(shù)都已經(jīng)圈出來了（如圖3），仔細(xì)看看猜猜，有了猜想可以在四人小組里交流交流。

（學(xué)生看、猜后先小組交流，后小組匯報）

生：我們組認(rèn)為3的倍數(shù)不管有多大，各位上的數(shù)加起來肯定是3的倍數(shù)。

（全班附和，教師板書“3的倍數(shù)，它各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)”）

師：但這畢竟是你們觀察數(shù)表獲得的猜想，怎么驗證呢？

生：舉一些3的倍數(shù)的例子看看它們各個數(shù)位上的數(shù)加起來是不是3的倍數(shù)。

生：還要找找有沒有反例。

師：大家很有經(jīng)驗了，老師也有個提議，大家可以同桌合作，像這樣一起來驗一驗。

（課件出示舉例驗證的要求并示范，學(xué)生舉例驗證后，小組交流，教師巡視）

師：老師收集了一組同學(xué)的驗證結(jié)果（如圖4），想不想聽聽他們組有什么想說的？

生：（組長）我們組找的這些3的倍數(shù)，各位上的數(shù)相加起來的確是3的倍數(shù)，沒有找到反例，說明猜想是對的。

師：這是他們組的驗證結(jié)果，其他組呢？要不要追問一下？

生：我還要問一下其他組，有沒有找到反例？

生：（齊）沒有。

三、完善結(jié)論，在邏輯思考中提升思維水平

師：驗證到這兒，我們初步認(rèn)為這個猜想是對的，老師告訴你們吧，這的確是一條正確的結(jié)論。（移動猜想處的板書至結(jié)論處）之前百數(shù)表中的發(fā)現(xiàn)和這個結(jié)論比對一下，怎么樣？

生：是一致的，這條講得更全面。

（擦掉前面百數(shù)表中的發(fā)現(xiàn)）

師：你們看，“3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)”，研究到這兒，還有沒有其他想問的呢？

生：不是3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和一定不是3的倍數(shù)嗎？

師：那繼續(xù)研究，猜想時不忘觀察，還是借著數(shù)表看看猜猜吧。

（學(xué)生在小組內(nèi)看、猜，獲得猜想并再驗證，得到結(jié)論并板書）

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)；不是3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和一定不是3的倍數(shù)。研究到這兒，反過來要判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，你有好辦法了嗎？

生：我們只要看各個數(shù)位上的數(shù)加起來是不是3的倍數(shù)。

四、游戲加持，在應(yīng)用內(nèi)化中實現(xiàn)心智和諧

師引導(dǎo)：那就用一用你們的好辦法，玩?zhèn)€游戲“數(shù)字翻翻樂”。

（課件出示：將分別標(biāo)有數(shù)字0～9的10張卡片打亂順序后背面朝上，請從中任意翻開3張，如果能擺出一個是3的倍數(shù)的三位數(shù)，將獲得一枚幸運笑臉獎?wù)?。學(xué)生第一次翻出0、4、2這3張數(shù)字卡片，全班鼓掌）

生：我擺了402，4、0和2相加是6，是3的倍數(shù)，所以402也是3的倍數(shù)。

師：祝賀你，不僅運氣好，道理講得也好，獎勵你學(xué)有所獲。還想玩嗎？換個要求再翻。

（課件出示：請從余下的數(shù)字卡片中任意翻開1張，如果能和前面的3張數(shù)字卡片組成一個是3的倍數(shù)的四位數(shù)，將獲得一枚幸運笑臉獎?wù)拢?/p>

師：先在心里想一想，最想翻到哪個數(shù)字？

（學(xué)生第二次翻出數(shù)字8，第三次翻出數(shù)字6，全班歡呼）

師：老師剛剛看到你擺放數(shù)字6的時候猶豫了一下，最后決定放在末尾，能告訴大家為什么猶豫一下嗎？

生：我覺得它還可以放在前面，應(yīng)該是隨便放在哪一位都可以，因為它們加起來都是12，總歸會是3的倍數(shù)。

師：厲害了，對3的倍數(shù)的特征理解得這么深刻。（全班鼓掌）繼續(xù)改變游戲規(guī)則，把數(shù)字卡片全打開，這10張數(shù)字卡片組成了一個十位數(shù)，它是3的倍數(shù)嗎？

生：是3的倍數(shù)，10個數(shù)字和是45，45是3的倍數(shù)。

師：如果在10張數(shù)字卡片中去掉1張，使其余卡片擺成一個3的倍數(shù)，你會去掉哪張？

生：去掉0，因為去掉0剩下9個數(shù)字的和還是45。

生：去掉3、6或9也行，它們都是3的倍數(shù)，原來是3的倍數(shù)，去掉一個3的倍數(shù)，結(jié)果一定還是3的倍數(shù)。

師：你的感覺真好，一下子就把3的倍數(shù)的特征給用活了。

生：我覺得去掉1和2也行，它們加起來是3的倍數(shù)，去掉它們剩下的也是3的倍數(shù)。

師：你從去掉1個數(shù)字還講到了去掉2個數(shù)字，不管去掉幾個數(shù)字，它們背后有沒有什么相同的道理呢？

生：只要去掉的數(shù)字之和也是3的倍數(shù)就可以。

師：此處該有掌聲。

五、回顧反思，在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中走向延伸發(fā)展

1.回顧反思，感知形式上的關(guān)聯(lián)。

師：這節(jié)課我們運用之前的研究經(jīng)驗繼續(xù)探究了3的倍數(shù)的特征，與前面探究2、5的倍數(shù)的特征相比，今天的探究過程中哪些環(huán)節(jié)給你留下了深刻印象？

生：數(shù)字翻翻樂給我留下了深刻的印象，有點燒腦。

師：嗯，帶著數(shù)學(xué)思考玩游戲特別帶勁。

生：舉例驗證讓我印象深刻，要看能不能舉出反例，只要有一個反例就可以推翻猜想。

師：你們的思考越來越嚴(yán)謹(jǐn)了。

生：我覺得猜想環(huán)節(jié)有點讓人驚心，老是猜錯，好不容易才成功。

師：今天我們的猜想的確不是那么一帆風(fēng)順，讓我們再回到之前的探究過程去感受感受（如圖5）。百數(shù)表中5、2的倍數(shù)是——（生：豎著排的）利于我們從個位猜想它們的特征并且成功了，而3的倍數(shù)是——（生：斜著排的）看個位猜想失敗了，這樣的排列其實也在啟發(fā)我們要換角度猜，百數(shù)表真是神奇，它是我們研究這類問題的重要工具。

2.解釋說理，感悟本質(zhì)上的一致性。

師：同學(xué)們，到目前為止我們已經(jīng)知道判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)時只要看個位，而判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)時卻要看——（生：各位上數(shù)的和）學(xué)到這兒，你們還有什么疑問嗎？

生：為什么判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)時只要看個位，判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)時卻要看各位上數(shù)的和呢？

師：好問題。我們就借助圖一探究竟吧。先從5的倍數(shù)開始，以15為例，這樣先圈一圈（如圖6），你能說一說判斷時為什么只要看個位嗎？

生：因為十位上的十是5的倍數(shù)，不管幾個十都是5的倍數(shù)，所以只要看個位。

師：再看2的倍數(shù)，也圈一圈，道理其實是一樣的?，F(xiàn)在判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，幾個一圈（如圖7）？

生：（齊）3個。

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生：十位上還余下1個。

生：只要把十位上余下的1個和個位上的2個合起來就是3的倍數(shù)。

師：對呀，這就是我們?yōu)槭裁匆催@2個數(shù)位上數(shù)的和來判斷的道理。再看這個三位數(shù)，繼續(xù)圈圈、看看、想想，有什么想說的？

生：3個3個圈，百位上余下1個，十位上余下2個，要把百位余下的1個、十位余下的2個和個位余下的2個合起來看，不是3的倍數(shù)，所以122就不是3的倍數(shù)。

師：像這樣類推到其他多位數(shù)，現(xiàn)在明白為什么判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)時要看各位上數(shù)的和了嗎？（學(xué)生回答：明白）帶著這些收獲繼續(xù)探秘數(shù)的世界吧，下課。

（作者單位：江蘇宜興市官林實驗小學(xué)）