“瘋子”是一個(gè)不太好聽(tīng)的稱謂，卻成為全景式數(shù)學(xué)教育創(chuàng)始人張宏偉老師的雅號(hào)?！皵?shù)學(xué)瘋子”到底“瘋”在何處？近日，筆者有幸近距離觀摩了張老師上二年級(jí)“運(yùn)算的聯(lián)想”一課，從這節(jié)帶給我極大沖擊力的課中，我看到了“不瘋魔不成活”的內(nèi)涵所在。

【片段一】口訣暢想：一句口訣可以計(jì)算多少個(gè)算式

課前，張老師示范用手指表示9的乘法口訣和部分8的乘法口訣，讓學(xué)生體會(huì)原來(lái)學(xué)過(guò)的知識(shí)里面還藏著不知道的內(nèi)容。

課始，張老師板書(shū)“三五十五”。

師：這句乘法口訣會(huì)嗎？（生：會(huì)）還要學(xué)嗎？（生：要）為什么？

生：因?yàn)閷W(xué)過(guò)的知識(shí)里還有我們不知道的內(nèi)容。

師：說(shuō)得太好了！下面我們就一起來(lái)思考，這句乘法口訣可以用來(lái)計(jì)算哪個(gè)算式？可能不止一個(gè)，在作業(yè)本上寫(xiě)一寫(xiě)。

統(tǒng)計(jì)寫(xiě)出的算式的數(shù)量（2個(gè)和4個(gè)居多）。學(xué)生匯報(bào)出2個(gè)乘法算式和2個(gè)除法算式。

師：還有不一樣的算式嗎？

生：3加……

張老師趕忙上前很夸張地捂住學(xué)生的嘴巴，再帶著豐富的表情看向其他學(xué)生。

師：他對(duì)了！猜猜他想算什么？

生：5個(gè)3相加。

師：有沒(méi)有用到“三五十五”？掌聲！太牛了！還能想到什么？噓——（捂住自己的嘴）別說(shuō)出來(lái)。知道為什么發(fā)言要舉手嗎？舉手是對(duì)同學(xué)的最大尊重，讓別人也有機(jī)會(huì)思考。

生：3個(gè)5相加。

師：掌聲！你們太牛了。這一句口訣可以算乘法、除法、加法，（夸張的拍腦袋動(dòng)作）那還可以算……

生：15減……

張老師上前捂住學(xué)生的嘴巴。

師：猜猜，15減什么？

生：15減5個(gè)3。

生：15減3個(gè)5。

師：掌聲！你們實(shí)在是太牛了！你們真的是二年級(jí)學(xué)生嗎？三年級(jí)的知識(shí)敢挑戰(zhàn)嗎？50×3=？

生：等于150。因?yàn)?個(gè)50相加就是150。

生：我是先算5×3=15，再添一個(gè)0。

師：有沒(méi)有用到“三五十五”？那500×3呢？

生：5×3=15，再添2個(gè)0。

師：50000000×3呢？

生：三五十五，再添7個(gè)0。

師：咦，“三五十五”這句口訣到底能算多少個(gè)算式??？

生：可以算無(wú)數(shù)個(gè)算式。

師：現(xiàn)在知道為什么老師讓我們背乘法口訣了嗎？

生：因?yàn)橐痪淇谠E可以計(jì)算無(wú)數(shù)個(gè)算式。

師：我們從一開(kāi)始只寫(xiě)出2個(gè)算式，到4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)，最后能寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)算式，你有什么感受？

生：學(xué)過(guò)的口訣里也有我們不知道的知識(shí)。

感悟：瘋癲的背后全是溫柔，熟悉的地方仍有風(fēng)景。

張老師在課堂上的表現(xiàn)用一個(gè)詞概括就是瘋癲。記錄上述片段時(shí)方才感受到文字的蒼白，因?yàn)闊o(wú)法描述出張老師那極為夸張的聲音、動(dòng)作、表情，以及他火山爆發(fā)式的激情，和他的大汗淋漓。這完全顛覆了我們印象中的名師形象?？陀^地說(shuō)，這種聲音、動(dòng)作、表情瀟灑嗎？帥氣嗎？不，恰恰相反。我相信，張老師做出這些表現(xiàn)的時(shí)候，就沒(méi)想過(guò)自己帥不帥，他就是最本真的、激情的釋放，是他“瘋子”的本色，他是在用生命演繹課堂。我想，他的這些表現(xiàn)本就不是給聽(tīng)課教師看的，他眼中只有學(xué)生，瘋癲的背后是對(duì)學(xué)生的無(wú)限溫柔。

張老師在這個(gè)環(huán)節(jié)中有三次很夸張地捂住嘴巴，這是為了給全班學(xué)生思考的機(jī)會(huì)。個(gè)別學(xué)生的單槍匹馬打開(kāi)了思維的缺口，指出了思考的方向，剩下的可以讓全體學(xué)生都卷入進(jìn)來(lái)。難點(diǎn)的突破、關(guān)鍵的提煉往往是由個(gè)別“學(xué)霸”承包的，這又何嘗不是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中的一個(gè)矛盾呢？張老師適時(shí)“捂嘴”給我們提供了一個(gè)小工具。和“捂嘴”異曲同工的是“舉手”，“舉手是對(duì)同學(xué)的最大尊重”，因?yàn)樗葱l(wèi)了其他同學(xué)思考的權(quán)利。這些細(xì)節(jié)無(wú)不體現(xiàn)出張老師對(duì)“全體學(xué)生”的盡可能關(guān)注。

從內(nèi)容來(lái)說(shuō)，這一段教學(xué)是學(xué)生熟悉的乘法口訣，而張老師用教學(xué)告訴我們熟悉的地方仍有風(fēng)景，學(xué)過(guò)的知識(shí)里永遠(yuǎn)有你不知道的東西，而揭開(kāi)一個(gè)個(gè)“不知道”，全景便在眼前了。

乘法口訣在學(xué)生的認(rèn)知中就是用來(lái)計(jì)算乘法和除法的。這一段對(duì)“三五十五”的口訣暢想，逐漸打破學(xué)生的認(rèn)知邊界，從乘除法，到加法，再到減法；從2個(gè)算式，到8個(gè)算式，再到無(wú)數(shù)個(gè)算式，學(xué)生看到了乘法口訣更大的價(jià)值、更豐富的內(nèi)涵，對(duì)口訣的理解更為完整和通透。以口訣為媒介，四種運(yùn)算的內(nèi)在關(guān)聯(lián)已初步建立。正是通過(guò)對(duì)“三五十五”這棵樹(shù)的研究，學(xué)生窺見(jiàn)了乘法口訣的整片森林。

【片段二】乘法審視：什么樣的加法可以寫(xiě)成乘法

師：一句口訣可以計(jì)算四種運(yùn)算，這說(shuō)明這四種運(yùn)算之間——

生：有規(guī)律。

生：有順序。

生：有關(guān)系。

師：關(guān)系是數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容。下面我們就來(lái)看看它們之間有什么關(guān)系。先來(lái)看加法和乘法有什么關(guān)系。

生：它們其實(shí)是一回事……

師：等一下，誰(shuí)知道他說(shuō)的“一回事”是什么意思？

生：就是一樣的，都用“三五十五”計(jì)算。

生：就是都表示3個(gè)5相加，或5個(gè)3相加。

師：說(shuō)得太好了。它們是一回事，但是你們老師一定教過(guò)你們，乘法比加法——

生：簡(jiǎn)便。

師：那可以說(shuō)乘法是——

生：乘法是加法的簡(jiǎn)便用法。

師：好，就按你說(shuō)的寫(xiě)。（板書(shū)）有補(bǔ)充的嗎？告訴你，這里還缺一個(gè)東西。你們老師一定給你們做過(guò)這樣的題目，（模仿女老師的聲音）6+6+6+6和1+3+5，哪一個(gè)能改成乘法？

生：6+6+6+6可以，因?yàn)槭?個(gè)6相加。

師：為什么1+3+5不可以？

生：因?yàn)閹讉€(gè)數(shù)不一樣。

師：那你認(rèn)為這里應(yīng)該加一句什么話呢？

生：數(shù)要一樣。

教師補(bǔ)充板書(shū)“加數(shù)相同的”。

師：對(duì)于一些容易漏掉的、忘記的內(nèi)容，老師發(fā)明了一種讀的方法，叫“咬死它”讀法。

示范夸張的讀法，突出“加數(shù)相同的”，并請(qǐng)一生嘗試。

師：有一句廣告詞叫“一切皆有可能”，回頭來(lái)看，1+3+5真的不能改成乘法嗎？

生：（到黑板前）1+3等于4，可以改成4×5。

師：掌聲！敢于表達(dá)自己的思考。在我的數(shù)學(xué)課上，可以盡情地胡思亂想，因?yàn)橹挥懈矣诤紒y想，才會(huì)產(chǎn)生奇思妙想，這位同學(xué)不僅有了想法，而且在不知道對(duì)不對(duì)的情況下就敢表達(dá)，了不起，掌聲！你贊同他的想法嗎？

生：不贊同，因?yàn)?+3+5等于9，而4×5等于20，得數(shù)不一樣。

師：結(jié)果一樣是數(shù)學(xué)上變形的一個(gè)重大原則，這就是他出錯(cuò)的價(jià)值。掌聲！有其他改法嗎？

生：可以改寫(xiě)成1×9，因?yàn)榭梢圆鸪?個(gè)1。

師：你是說(shuō)把3——

生：把3拆成3個(gè)1（師板書(shū)“1+1+1”），5拆成5個(gè)1（師板書(shū)“1+1+1+1+1”）。

師：現(xiàn)在加數(shù)都變成了1，9個(gè)1相加可以寫(xiě)成乘法算式嗎？

生：可以了。

師：你太牛了！想一想，你們還能拆成幾？

生：把5拆成2+3，2與前面的1合起來(lái)是3，3個(gè)3就是3×3。

師：太牛了，想一想，還能再往下拆嗎？

生：都拆成0.1。

師：1能拆成幾個(gè)0.1？

生：10個(gè)。

師：一共能拆成多少個(gè)0.1？

生：90個(gè)，就是0.1×90。

師：實(shí)在是太牛了！還能再拆嗎？

生：可以拆成0.01。

師：我明白你想說(shuō)的是0.01，可以拆成多少個(gè)？

生：100個(gè)。

師：還可以拆嗎？現(xiàn)在你覺(jué)得一個(gè)加法算式可以改寫(xiě)成多少個(gè)乘法算式？

生：無(wú)數(shù)個(gè)。

師：可以改，但是改之前——

生：要拆成加數(shù)相同的。

感悟：瘋狂是對(duì)本質(zhì)的挖掘，遠(yuǎn)眺是對(duì)認(rèn)知的放空。

這個(gè)環(huán)節(jié)既是對(duì)乘法意義的進(jìn)一步理解，也是對(duì)乘法與加法內(nèi)在關(guān)系的進(jìn)一步感悟，而張老師的詮釋中透著“瘋狂”。

其一，不顧及教材的專業(yè)表達(dá)。初次提煉乘法與加法的關(guān)系，學(xué)生的表達(dá)是“乘法是加法的簡(jiǎn)便用法”，而教材中的表達(dá)是“……的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，但張老師直接采納了“簡(jiǎn)便用法”。一方面這個(gè)說(shuō)法同樣能將意思表達(dá)清楚，且對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更好理解，另一方面體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的充分認(rèn)可與尊重。在數(shù)學(xué)的“專業(yè)表達(dá)”與學(xué)生的個(gè)性表達(dá)之間如何取舍？張老師給我們做出了示范：在基本達(dá)意的情況下，可以允許學(xué)生暫時(shí)的不標(biāo)準(zhǔn)，甚至不嚴(yán)謹(jǐn)。

其二，不顧及二年級(jí)學(xué)生的知識(shí)水平。關(guān)于1+3+5能否改寫(xiě)成乘法算式的討論，常規(guī)的教學(xué)是把1+3+5經(jīng)過(guò)移多補(bǔ)少寫(xiě)成乘法算式3×3，但學(xué)生直接想到了1×9，更為瘋狂的是張老師還在激發(fā)學(xué)生繼續(xù)拆。對(duì)此，聽(tīng)課教師有兩個(gè)疑惑：首先，我的學(xué)生能想到嗎？能理解嗎？其次，這種都拆成1、0.1的改寫(xiě)有意義嗎？所有的加法算式都先拆解再改寫(xiě)，還能體現(xiàn)“簡(jiǎn)便”嗎？

那么，這一瘋狂的拓展，是超綱還是遠(yuǎn)眺呢？學(xué)生能想到3×3已屬不易，想到1×9更是困難，至于繼續(xù)拆為0.1，只能是個(gè)別學(xué)生的靈光一現(xiàn)。多數(shù)學(xué)生可能是第一次聽(tīng)到這個(gè)數(shù)，更不用提1能拆成10個(gè)0.1、100個(gè)0.01，且最終也只能有一個(gè)模糊的印象，而談不上理解，更不可能掌握與運(yùn)用（前面的用口訣計(jì)算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)也是如此）。那么，這對(duì)于全班學(xué)生來(lái)說(shuō)，價(jià)值在哪里？我以為，如果今天這節(jié)課不再追問(wèn)是否還能拆，也許，關(guān)于加法改乘法這件事情，學(xué)生這一生的認(rèn)知都將停留在：只有特殊的加法算式能改成乘法，而且只有一種方法。這又何嘗不是認(rèn)知的桎梏呢？今天，張老師的追問(wèn)不是讓每個(gè)學(xué)生都能掌握改寫(xiě)的方法，而是給學(xué)生的認(rèn)知邊界裂開(kāi)一道縫隙，透進(jìn)一束光，是對(duì)已有認(rèn)知的一次放空，從而讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的不唯一和更多可能：原來(lái)任何一個(gè)加法算式經(jīng)過(guò)拆解，都可以寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)乘法算式。而這個(gè)過(guò)程又是對(duì)“加數(shù)相同”的反復(fù)強(qiáng)化，進(jìn)而突出乘法的本源。

這是怎樣的一種浪漫而舒展的認(rèn)知啊！我國(guó)古人認(rèn)為世界萬(wàn)物盡管形態(tài)各異，但本質(zhì)上都是由陰陽(yáng)二氣所組成的；現(xiàn)代科學(xué)認(rèn)為一切物質(zhì)都是由分子、原子構(gòu)成的。這種對(duì)數(shù)的拆解，不也正是數(shù)學(xué)的“萬(wàn)法歸宗”嗎？

【片段三】結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)：我們還可以研究什么關(guān)系

師：剛才我們說(shuō)加法和乘法是一回事，是一個(gè)道理，我們就說(shuō)它們的關(guān)系是“相近”。那么，乘法和除法到底是相近還是相反？

生：相反（有一個(gè)聲音是“相近”）。

師：哪里相反了？

生：算式相反，顛倒了。

生：乘數(shù)越大，積就越大；除數(shù)越大，商就越小。

生：乘法是幾個(gè)數(shù)乘起來(lái)越來(lái)越大，除法是越來(lái)越小。

師：為什么乘法越來(lái)越大？因?yàn)槭前鸭訑?shù)——

生：合起來(lái)。

師：加法是“合”，乘法——（生：也是“合”）而除法是平均——（生：分）合與分是——

生：相反的。

師：加法和減法呢？

生：也是相反的。

師：（手指板書(shū)）我們已經(jīng)研究了加法和乘法、乘法和除法、加法和減法之間的關(guān)系，我們還可以研究誰(shuí)和誰(shuí)的關(guān)系？

生：減法和除法，加法和除法，乘法和減法。

師：太牛了，你認(rèn)為減法和除法是什么關(guān)系？

生：相近。

師：為什么？

生：因?yàn)槎际谴髷?shù)減小數(shù)。

生：因?yàn)闇p數(shù)越大，差越??；除數(shù)越大，商越小。

生：減法和除法都是把某個(gè)數(shù)分開(kāi)的。

師：太牛了。加法和乘法是一樣的，我們就得到一句話；減法和除法也是一樣的，誰(shuí)知道——

生：除法是減法的簡(jiǎn)便用法。

師：你有補(bǔ)充嗎？除法是什么樣的減法？

生：除法是減數(shù)相同的減法的簡(jiǎn)便用法。

師：你們創(chuàng)造了一個(gè)教材上沒(méi)有的，甚至很多老師都不知道的定義，太牛了。那么加法和除法是什么關(guān)系？（生：相反）乘法和減法呢？（生：相反）為什么？

生：因?yàn)闇p法相當(dāng)于除法，乘法和除法是相反的，所以乘法和減法是相反的。

生：因?yàn)槌朔ㄊ羌臃ǖ暮?jiǎn)便用法，除法是減法的簡(jiǎn)便用法，所以可以把加法看作乘法，減法當(dāng)成除法，所以乘法和減法是相反的。

師：太牛了。（手指板書(shū)）大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這里形成一個(gè)圖形，是什么？

將板書(shū)抽象為一個(gè)長(zhǎng)方形。（如圖1）

師：加、減、乘、除一共幾種關(guān)系？（生：六種）幾近幾反？

生：兩近四反。

師：（面向一生）剛才大家都說(shuō)乘法和除法相反的時(shí)候，你喊的是“相近”，你是怎么想的？

生：它們的數(shù)都是要相同才能相乘和相除。

師：乘法和除法是相反的，它們就是敵人嗎？

生：不是，就像一對(duì)夫妻，他們相愛(ài)，但沒(méi)有哪個(gè)人沒(méi)發(fā)過(guò)火。

師：愛(ài)，不代表不吵架，對(duì)不對(duì)？這就叫相互依存，你們看手心和手背是不是相反的？但是它們能離開(kāi)對(duì)方嗎？所以乘法和除法表面上看是相反的，但實(shí)際上是一回事，它們是同一只手的兩面。

感悟：全景是完美的癡狂，結(jié)構(gòu)是生長(zhǎng)的力量。

這個(gè)環(huán)節(jié)是對(duì)四種運(yùn)算之間關(guān)系的研究，張老師真正做到了把關(guān)系提煉到極致，將極致的豐富與極致的簡(jiǎn)單融為一體。極致的豐富體現(xiàn)在他將所有能研究的關(guān)系全部納入研究任務(wù)，同時(shí)不滿足于單一的關(guān)系的研究，在“關(guān)系”之間又建立起彼此依存、互相佐證的因果關(guān)系。極致的簡(jiǎn)單體現(xiàn)在他立足于“合”與“分”，將錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)化為“相近”與“相反”，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方形將所有的關(guān)系形象地概括為“兩近四反”，而最終又讓學(xué)生模糊地體會(huì)到即便是相反的關(guān)系，其實(shí)也是一回事。豐富是研究的廣度與深度，簡(jiǎn)單則是理解的通透與方法的深入淺出，它們共同形成了對(duì)四種運(yùn)算之間關(guān)系的全景認(rèn)識(shí)。全景意味著完整，而不同的人對(duì)“完整”的理解程度是不同的，張老師理解的完整是一種極致的完美，教學(xué)要“教到底”，這是一種近乎癡狂的執(zhí)念，也正是這種癡狂才讓我們看到了完美的“全景”。

對(duì)關(guān)系的研究是典型的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要“引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)”?！瓣P(guān)系”讓四種運(yùn)算不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，而是彼此聯(lián)結(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。而特別值得關(guān)注的是，張老師處理的知識(shí)結(jié)構(gòu)不是一個(gè)要教給學(xué)生的靜態(tài)的知識(shí)，而是動(dòng)態(tài)的、可生長(zhǎng)的思維結(jié)構(gòu)，這就為學(xué)生的自主建構(gòu)提供了支撐。正是這種結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)，學(xué)生才由乘法的定義聯(lián)想到除法的定義；才能在研究了加法和乘法、乘法和除法、加法和減法這三種最常規(guī)的關(guān)系后，在抽象聯(lián)想的層面主動(dòng)遷移想到了還可以研究減法和除法、加法和除法、乘法和減法這三種“冷門(mén)”的關(guān)系?！叭擞刑焐晟平Y(jié)構(gòu)的本能”，正是借助思維結(jié)構(gòu)的支撐，學(xué)生自主建構(gòu)了這一知識(shí)體系，從而“學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣”。所以，全景式數(shù)學(xué)教育絕不僅僅是讓學(xué)生看到完整的數(shù)學(xué)，更是讓學(xué)生有可能自主建構(gòu)出完整的數(shù)學(xué)。

人只能在自己的認(rèn)知范圍內(nèi)認(rèn)知，這節(jié)課具有改變認(rèn)知的力量?？v觀三個(gè)層次，知識(shí)的邊界不斷地被打破，學(xué)生的認(rèn)知被刷新、再刷新，他們看數(shù)學(xué)的眼光已然發(fā)生了改變。一個(gè)學(xué)生在匯報(bào)收獲時(shí)說(shuō)：“同一件事情，有時(shí)候是對(duì)的，但有時(shí)候是錯(cuò)的?！睌?shù)學(xué)在他們眼中已從靜態(tài)、絕對(duì)和封閉，走向動(dòng)態(tài)、相對(duì)和開(kāi)放。從未想過(guò)，原來(lái)成長(zhǎng)可以在一節(jié)課中實(shí)現(xiàn)。

電影《霸王別姬》中有一句臺(tái)詞：“不瘋魔不成活?！边@節(jié)課讓我深切感受到，“數(shù)學(xué)瘋子”是對(duì)張老師的癲、狂、癡的寫(xiě)照與致敬，這個(gè)雅號(hào)和他的這節(jié)課一樣，純粹、極致，極具穿透力！

【本文系安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目“基于教師自主支持的小學(xué)生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力提升研究”（編號(hào)：JK22020）的階段性研究成果】

（作者單位：安徽蚌埠市教育科學(xué)研究所）