人教版教材三年級上冊在“多位數(shù)乘一位數(shù)”這一單元中，編排了用乘、除法兩步計(jì)算解決問題，即“歸一問題”和“歸總問題”。教材上“歸一問題”的例題是：“媽媽買3個碗用了18元。如果買8個同樣的碗，需要多少錢？”問題表述的前后邏輯關(guān)系比較明顯，大部分學(xué)生能自主解答，再通過進(jìn)一步分析，學(xué)生能很快領(lǐng)會解題的關(guān)鍵是先要求出“單一量”。當(dāng)然，掌握此類問題的解題關(guān)鍵是本課教學(xué)的主要目標(biāo)，但我們覺得借此培養(yǎng)學(xué)生畫圖分析的習(xí)慣，以及自主構(gòu)建此類問題的題型特征也非常重要。所以我們按這樣的想法對本課教學(xué)作了新的改進(jìn)，現(xiàn)整理如下。

一、嘗試計(jì)算，引發(fā)畫圖表征[ ]

投影出示以下題組并提出：下面幾個問題你能快速列式解答嗎？請你試一試。

（1）小林讀一本故事書，平均每天讀8頁，照這種速度，7天可以讀多少頁？

（2）小林買了3枝百合花用了24元，1枝百合花要多少錢？

（3）媽媽買3個碗用了18元，如果買8個同樣的碗，需要多少錢？

學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、列式計(jì)算，接著教師讓學(xué)生先匯報(bào)前兩個問題的式子。

生：第（1）題8×7＝56（頁），第（2）題24÷3＝8（元）。

師：這兩道題分別要用到怎樣的具體數(shù)量關(guān)系？

生：第（1）題要用到的數(shù)量關(guān)系是“每天讀的頁數(shù)×天數(shù)＝一共讀的頁數(shù)”，第（2）題要用到的數(shù)量關(guān)系是“總錢數(shù)÷枝數(shù)＝每枝的錢數(shù)”。

師：第（3）題略難一些，不過我發(fā)現(xiàn)我們班的同學(xué)真聰明，都有自己的計(jì)算方法了?，F(xiàn)在我先不匯報(bào)怎樣列式，而要同學(xué)們用畫圖的方法，把自己對這道題解法的思考過程畫出來，好嗎？

學(xué)生獨(dú)立畫圖、小組交流后，教師選出以下六幅圖出示在投影中，（如圖1）接著讓學(xué)生繼續(xù)觀察這些圖，并提出：你們能看懂這幾位同學(xué)所畫的圖嗎？誰來說一說你最喜歡哪一幅圖？還要說出圖的意思。

生：我最喜歡第③幅圖，因?yàn)樗眯A圈表示碗，還寫出了計(jì)算方法。

生：我喜歡第②幅圖，因?yàn)檫@幅圖用線段表示，每一小段表示1個碗，他也寫出了計(jì)算的過程，大家一看就懂了。

生：我喜歡第①幅圖，他用三角形表示碗，還在每一個三角形上寫上了6，可以直接看出1個碗要6元。

師：那第⑥幅圖直接畫出了碗，而且把每個碗都標(biāo)上6元，不是更好嗎？

生：畫碗好是好，就是慢了一點(diǎn)。

師：有道理！如果問題中是小鳥、是飛機(jī)，或者是其他物體，你還想把具體的物體畫出來嗎？

生：畫出來太慢了。

師：那怎么辦呢？

生：可以畫小圓圈、小三角，或者畫線段圖。

師：是呀！用小圓圈、小三角、線段，或其他簡單的圖形來表示，我們稱為用符號表示。用符號表示物體和數(shù)量，畫起來就更快了。

教師接著提出：那第④幅圖你們能看懂嗎？

生：第④幅圖的1個小圓圈表示1元錢。

師：這個同學(xué)畫這樣的圖，你又有什么話想說嗎？

生：這樣畫小圓圈也太麻煩了。

師：是呀，用符號表示數(shù)量時，也要注意簡潔性，比如把他所畫的6個小圓圈合為1個圓圈就簡潔了。

接著教師又問：那第⑤幅圖和他的計(jì)算過程你能看懂嗎？

生：他也是用1個小圓圈表示1個碗，直接畫了8個碗。接著他利用每3個碗為18元，這樣就有2個18元，還剩下2個碗的錢數(shù)。2個碗的錢數(shù)需要用算式“18÷3×2＝12（元）”計(jì)算出來。所以求8個碗的錢，他列成的算式是18＋18＋12＝48（元）。

師：這個同學(xué)的想法同大家都不一樣，思路清晰，很好！不過在計(jì)算時你們感覺到有什么不足嗎？

生：計(jì)算步數(shù)有點(diǎn)多了。

師：是的，那解答這個問題我們通常選用哪種計(jì)算方法比較好？

生：先計(jì)算買1個碗要多少錢，再計(jì)算買8個碗要多少錢，算式是18÷3×8＝48（元）。

師：好！剛才我發(fā)現(xiàn)我們班同學(xué)在嘗試列式時，就有很多同學(xué)寫出綜合算式了，當(dāng)然還有很多同學(xué)寫出的是分步計(jì)算的算式。不過沒關(guān)系，請大家檢查一下，沒有列出綜合算式的，請寫出綜合算式。

緊接著又向?qū)W生提出：請大家翻開課本第71頁，這第（3）題就是書上的例8，請大家仔細(xì)讀一讀書上小朋友的想法，和我們剛才的想法一樣嗎？

學(xué)生閱讀片刻，教師又提出例題下面“想一想”的問題：“18元可以買3個碗，30元可以買幾個同樣的碗？”

師：你們還會解答嗎？請列出算式計(jì)算。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后，匯報(bào)計(jì)算方法。分步算式：18÷3＝6（元），30÷6＝5（個）。綜合算式：30÷（18÷3）＝5（個）。這時黑板上呈現(xiàn)例題和以上的題目及計(jì)算過程，教師針對板書向?qū)W生提出：這兩道題在計(jì)算時的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么？

生：相同點(diǎn)是都要先計(jì)算出1個碗的價錢，不同點(diǎn)是前面這道題用乘法計(jì)算買8個碗要多少錢，后面這道題用除法計(jì)算30元錢可以買幾個碗。

師：這兩道題中說到“同樣的碗”是什么意思？

生：“同樣的碗”就表示每個碗的價錢是一樣的。

師：是的，在計(jì)算時往往先要計(jì)算買1個碗的價錢，我們可以說先求“單一量”。像這樣的題我們通常簡稱為“歸一問題”。

評析：課始直接讓學(xué)生針對前兩道題分別用乘、除法進(jìn)行解答，并直接嘗試解答第（3）題（例題）。大家也許會問：為什么不把第（3）題直接改成同一背景下兩道一步計(jì)算的問題放在前面，而是用不同背景的一步計(jì)算問題呢？我們是這樣想的，如果直接把第（3）題分解成兩道一步計(jì)算的問題先讓學(xué)生解答，這樣學(xué)生通過相同背景下的兩道一步計(jì)算問題的聯(lián)系，就能很快地對第（3）題作出解答。但我們覺得這樣的聯(lián)系過于明顯，實(shí)際降低了第（3）題的分析難度。如果這樣分解后解答，則不利于發(fā)揮第（3）題進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析的功能。而我們現(xiàn)在設(shè)計(jì)的前兩道題所涉及的乘、除法具體數(shù)量關(guān)系，對第（3）題的分析也起到一定的作用。除此之外，從一節(jié)課整體性和前后連貫性來考慮，我們在下一環(huán)節(jié)教學(xué)時分別將這兩道一步計(jì)算問題改成兩步計(jì)算問題。因此，這樣設(shè)計(jì)的目的也是為下一環(huán)節(jié)教學(xué)做準(zhǔn)備的。

本環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生直接嘗試第（3）題的計(jì)算后，把自己的思考過程用圖示表達(dá)出來。由此可見，學(xué)生真正經(jīng)歷了獨(dú)立畫圖表征的學(xué)習(xí)過程。教師在學(xué)生獨(dú)立表征的基礎(chǔ)上，從中選擇有代表性的六幅作品，再次組織學(xué)生觀察、評價。在交流過程中使學(xué)生領(lǐng)悟到要用簡潔的圖示表達(dá)問題中的數(shù)量關(guān)系，借此建立符號化思想，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生畫圖分析的習(xí)慣和能力。

二、引發(fā)改編，認(rèn)識題型結(jié)構(gòu)

1.隱藏信息。

投影先回到課始的三道題，再去掉后兩道題，向?qū)W生提出：現(xiàn)在我們把第（1）題中的“平均每天讀8頁”這條信息隱藏起來，請你們改成用兩步計(jì)算的問題，改好后再列式計(jì)算。

學(xué)生在練習(xí)單上的橫線上寫出后，教師組織交流，在交流中投影逐步形成如圖2所示的情形。

師：這里可以改編出許多，但這些改編的共同之處是什么？

生：都可以重新計(jì)算出平均每天讀8頁。

師：也就是每天讀的頁數(shù)是不變的，即“單一量”不變。計(jì)算時一般先計(jì)算出單一量。

接著投影出示下面的問題，繼續(xù)讓學(xué)生列算式，并提出：請你們想一想，這道題你們能用不同方法計(jì)算嗎？如果3天讀了24頁，照這種速度，全書48頁幾天可以讀完？學(xué)生在匯報(bào)中說出兩種計(jì)算方法。方法一：48÷（24÷3）＝6（天）。方法二：48÷24×3＝6（天）。

教師重點(diǎn)評講第二種方法，向?qū)W生提出：這里的“48÷24”在這個實(shí)際問題中表示什么意思？

生：表示48頁是24頁的2倍。

師：那接著乘3又表示什么意思？

生：一個24頁要讀3天，48頁里有2個24頁，也就是有2個3天，所以要乘3。

師：是的，2倍也就是2個3天，用乘法計(jì)算出6天。我們通常把這種方法叫作倍比法。

2.改編問題。

投影又回到課始的三道題，再去掉第（1）題和第（3）題，向?qū)W生提出：現(xiàn)在請把第（2）題的問題“1枝百合花要多少錢”改動一下，使它也成為用兩步計(jì)算的問題，改好再列式計(jì)算。學(xué)生在練習(xí)單上寫出后，教師再組織反饋。

生：買2枝百合花要多少錢？

生：買4枝百合花要多少錢？

生：16元錢可以買幾枝百合花？

教師相機(jī)板書了學(xué)生的幾種改編，并提出：你們覺得這樣的說法有什么問題嗎？

生：要添上“同樣的百合花”。

師：為什么要添上買“同樣的百合花”？

生：說明后面買的百合花每枝的價錢跟前面買的一樣。

師：剛才大家在改編時沒注意到這一點(diǎn)，請大家補(bǔ)充上。這道題的問題改編又有很多，但從大家的改編中看到可以把它們分為兩類，你能看出是哪兩類嗎？

生：一類是“買幾枝同樣的百合花要多少錢”，另一類是“多少錢可以買幾枝同樣的百合花”。

隨著學(xué)生的交流，投影逐步呈現(xiàn)如圖3所示的情形。

3.補(bǔ)充條件。

投影又出示下面兩個問題，并向?qū)W生提出：請你說一說，這兩個問題可以解答嗎？如果不能解答，請你改一改，再列式計(jì)算。

（1）同學(xué)們大掃除，3個同學(xué)擦12塊玻璃，那6個同學(xué)可以擦多少塊玻璃？

（2）小紅買2個文具盒用了18元，小林買4個文具盒要付多少錢？

學(xué)生由于經(jīng)歷了上一環(huán)節(jié)的質(zhì)疑，很快地發(fā)現(xiàn)這兩道題表述上的不嚴(yán)謹(jǐn)。

生：在第（1）題的問題中要說明擦同樣的玻璃。

師：你的意思我們都明白，是指每個同學(xué)擦的玻璃塊數(shù)要相同。那這里最好添上“照這樣計(jì)算”，這樣就更明確了。

……

評析：本環(huán)節(jié)改變了以往的練習(xí)形式，沒有讓學(xué)生直接針對現(xiàn)成的問題進(jìn)行解答，而是先回到課始前兩道題的一步計(jì)算問題，引發(fā)學(xué)生針對信息和問題進(jìn)行改編。這樣不僅較好地把課始的問題素材自然引到本環(huán)節(jié)教學(xué)，而且更重要的是通過這樣的改編，使學(xué)生自己領(lǐng)悟到題型的結(jié)構(gòu)特征和解題關(guān)鍵。在第（1）題改編后，我們還帶出了便于用“倍比法”計(jì)算的問題。在針對第（2）題的改編中，學(xué)生容易忽視對每枝百合花的價錢要相同的表述，這是正常的，但通過教師引導(dǎo)質(zhì)疑，自然突出了問題中的“單一量”不變的重要性。在這個環(huán)節(jié)的最后，給學(xué)生設(shè)計(jì)了沒有表述出“單一量”不變的問題，再次引發(fā)學(xué)生修改補(bǔ)充?？梢娺@一環(huán)節(jié)的教學(xué)是讓學(xué)生在改編、補(bǔ)充的過程中，進(jìn)一步認(rèn)識這類問題的題型結(jié)構(gòu)，并多次強(qiáng)化了問題中“單一量”不變的重要性。

三、開放練習(xí)，深度認(rèn)識結(jié)構(gòu)

投影出示以下問題：（如圖4）

學(xué)生經(jīng)過幾分鐘的獨(dú)立思考后，教師組織集體交流：

生：我選擇信息①和信息③，提出的問題是：爺爺吃了幾天？算式是16÷（6÷3）。

生：我選擇信息②和信息④，提出的問題是：爺爺一次買來了多少片？算式是24÷3×5。

生：我選擇信息①和信息②，提出的問題是：24片可以吃多少天？算式是24÷（6÷3）。

師：好的，你選擇信息①和信息②，但你的問題要寫得更完整一些，可以寫成“24片相同的藥可以吃多少天”，也可以寫成“3盒這樣的藥可以吃多少天”，這樣問題更嚴(yán)謹(jǐn)了。

接著教師又提出：剛才大家從中都選擇2條信息提出問題，如果我要選擇信息①、信息②和信息④，你還會提出什么問題嗎？

學(xué)生思考片刻后教師說：由于時間關(guān)系，這個問題大家在課外可以繼續(xù)思考。

評析：顯然這樣的開放性選擇信息、補(bǔ)充問題的訓(xùn)練，能使學(xué)生又一次自主地去構(gòu)建問題，再一次加深對這類問題的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識?？偠灾?，要想提高學(xué)生解決問題的能力，不是記住題型結(jié)構(gòu)、套用解法去做多少練習(xí)，而是要抓住問題特點(diǎn)創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)化的訓(xùn)練素材，讓學(xué)生經(jīng)歷真正的思考過程，才能更好地發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

（作者單位：浙江臨海市臨海小學(xué)，臨海市教研中心）