學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)五年級上冊的“多邊形的面積”時(shí)，需要具備哪些經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想？在前期學(xué)習(xí)過程中，教材是否有意識地滲透割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化、等積變形等思想？據(jù)我們對教材的系統(tǒng)研究，除三年級下冊學(xué)習(xí)面積單元時(shí)有所滲透外，間隔一年半的時(shí)間，學(xué)生幾乎沒有再觸碰過這些“核心概念”與“核心思想”，可想而知學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)“多邊形的面積”時(shí)會(huì)遇到的困難。開發(fā)“釘子板上玩面積”這一實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，目的就是彌補(bǔ)學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)與思想”被長時(shí)間割裂留下的空白。該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)借助4×4釘子板，讓學(xué)生經(jīng)歷圍出面積為8平方厘米圖形的活動(dòng)，感悟割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化、等積變形等思想，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象與推理能力。同時(shí)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等過程，建立“一半”模型。借助學(xué)具與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，感悟“玩面積”的美與奇。該節(jié)實(shí)驗(yàn)課可以安排在四年級上學(xué)期或下學(xué)期，具體實(shí)驗(yàn)探究過程呈現(xiàn)如下。

一、熟悉工具，激活經(jīng)驗(yàn)

師：平常我們都說，學(xué)要學(xué)得扎實(shí)，玩要玩出名堂。這節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課我們就來玩一玩釘子板。（出示圖1）請看，釘子板上有什么？

生：有釘子，有橡皮筋，還有格子。

師：大家觀察得很仔細(xì)，我們把相鄰的兩枚釘子之間的長度看作1厘米，那么1格代表幾平方厘米？這塊釘子板一共有多少平方厘米？

生：每格代表1平方厘米，一共有16平方厘米。

師：（出示圖2左圖）老師在釘子板上圍成一個(gè)直角三角形，想一想：它的面積是多少？你是怎么驗(yàn)證的？

生1：直角三角形的面積是1平方厘米，我用割補(bǔ)的方法來證明。首先在這里割一刀，然后把這個(gè)小的直角三角形旋轉(zhuǎn)一下，補(bǔ)到下面，（如圖2右圖）就變成了一個(gè)小正方形，小正方形正好是1格，也就是1平方厘米。

生2：我有不同的驗(yàn)證方法，首先把直角三角形補(bǔ)成一個(gè)長方形，（圖略）因?yàn)殚L方形占2格，就是2平方厘米，長方形由兩個(gè)完全相同的直角三角形組成，所以直角三角形是長方形面積的一半，也就是1平方厘米。

師：知其然，還知其所以然，把道理說得有理有據(jù)，非常好。剛才兩位同學(xué)，分別用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生：割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化。

師：真好！我們這節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，就用這兩大思想方法，探索圍圖形面積的秘密。

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，體悟思想

師：認(rèn)識了釘子板，讓我們玩一項(xiàng)有挑戰(zhàn)性的實(shí)驗(yàn)任務(wù)：在4×4的釘子板上，圍出面積為8平方厘米的圖形。

1.獨(dú)立探索。

（1）圍：面積為8平方厘米的圖形。

（2）想：你能圍出幾種不同的圖形？（每人至少要想3種）

（3）畫：在點(diǎn)子圖上畫出圍得的圖形。

2.小組交流：獨(dú)立探索完成后，組長組織同組同學(xué)收集不同的圖形，并能清楚解釋圍出的圖形面積為什么是8平方厘米。

學(xué)生組內(nèi)交流要求：

（1）查：圍出的圖形面積是否為8平方厘米？

（2）說：為什么是8平方厘米？（準(zhǔn)備向全班匯報(bào)）

3.全班交流：向全班展示研究成果。

師：現(xiàn)在老師調(diào)查一下，圍出3種不同圖形的同學(xué)請舉手（有10人），5種的請舉手（有14人），7種的請舉手（有7人），10種及以上的請站起來（有8人）。短時(shí)間內(nèi)能圍出那么多種不同的圖形，實(shí)在太有創(chuàng)造力了，為你們鼓掌。老師也收集了一些不同的圖形，這些圖形的面積真的都是8平方厘米嗎？（出示長方形，圖略）請看：這個(gè)長方形還需要驗(yàn)證嗎？為什么不需要驗(yàn)證呢？

生：1格代表1平方厘米，有幾格就代表有多少平方厘米。

師：是的，只要數(shù)出面積單位數(shù)就可以了，為了數(shù)得快，人們還發(fā)現(xiàn)可以用“長×寬”解決。這個(gè)平行四邊形，還有這個(gè)正方形，這3個(gè)三角形，它們的面積都是8平方厘米嗎？

（1）交流平行四邊形的面積是否為8平方厘米。

師：誰來驗(yàn)證平行四邊形的面積是8平方厘米？

生：（如圖3）我沿著這條線，把這個(gè)直角三角形剪下來，然后移到左邊，就可以變成長方形了。

師：很高明！一剪一移一補(bǔ)，轉(zhuǎn)化成了長方形，面積變了嗎？為什么沒有變？

生：面積沒有變，因?yàn)榘堰@個(gè)直角三角形平移過來，總面積不會(huì)發(fā)生變化。

（2）交流正方形的面積是否為8平方厘米。

師：（出示圖4）這是什么圖形？（生：正方形）這個(gè)正方形的邊長是幾厘米？

生：沒有辦法知道，不過肯定比2厘米長一些。

師：不知道正方形的邊長，怎么驗(yàn)證它的面積是8平方厘米呢？

學(xué)生出現(xiàn)3種不同的驗(yàn)證方法：

生：通過分割、旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為長方形，面積沒有變，所以是8平方厘米。

生：我也是通過分割，再用平移，轉(zhuǎn)化為長方形。

生：（如圖5）我先把正方形分割成4個(gè)直角三角形，因?yàn)槊總€(gè)直角三角形的面積都是4平方厘米的正方形的一半，所以正方形的面積也就是整個(gè)圖形面積的一半。

師：善于與整個(gè)圖形的面積建立聯(lián)系，而且推導(dǎo)出了是整個(gè)正方形面積的一半，用一半的思想思考問題，很有想法。

（3）交流三角形的面積是否為8平方厘米。

師：這3個(gè)都是三角形，（如圖6）它們的面積都是8平方厘米嗎？誰來驗(yàn)證一下？

學(xué)生出現(xiàn)2種不同的驗(yàn)證方法：

生：通過分割和旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為長方形，形狀變了，但面積不變。（如圖7）

生：把銳角三角形分割成2個(gè)直角三角形，然后分別擴(kuò)倍為長方形，因?yàn)槊娣e擴(kuò)大為原來的2倍，所以原來三角形的面積是整個(gè)圖形的一半。（如圖8）

學(xué)生對割補(bǔ)更有經(jīng)驗(yàn)，對擴(kuò)倍轉(zhuǎn)化缺少一些經(jīng)驗(yàn)，通過這個(gè)探索交流環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生積累擴(kuò)倍轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)與思想。

師：想一想，圖7中這2個(gè)三角形的面積與整個(gè)圖形的面積有什么關(guān)系？

生：都是整個(gè)圖形面積的一半。

師：（指圖8）想一想，如果這個(gè)點(diǎn)在這里（正方形上邊的中點(diǎn)），與原來的底邊圍成一個(gè)三角形，面積還會(huì)是大正方形面積的一半嗎？

生：還是一半，同樣可以沿著高線分成兩個(gè)直角三角形，分別是長方形的一半，所以也就是整個(gè)圖形的一半。

師：（如圖9）如果這里（指點(diǎn)A）也釘上一枚釘子，圍成這樣的三角形，面積還會(huì)是整個(gè)圖形面積的一半嗎？說一說，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要頂點(diǎn)在這條邊上，圍成的三角形的面積就是整個(gè)圖形面積的一半。

師：同學(xué)們用兩種方法解釋了三角形的面積為什么是8平方厘米，一種用割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為熟悉的長方形，形狀變了，但面積不變；一種把圖形進(jìn)行擴(kuò)倍轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的正方形，用“擴(kuò)倍思想”解釋。

（4）交流不規(guī)則圖形的面積是否為8平方厘米。

師：剛才我們交流了比較熟悉的基本圖形。但也有很多同學(xué)圍出了不規(guī)則的圖形，它們的面積是不是8平方厘米呢？我們來看看：這個(gè)五邊形的面積是8平方厘米嗎？（如圖10）請驗(yàn)證給大家看。

學(xué)生用割補(bǔ)的方法解釋（略）。

師：有同學(xué)圍出了這樣的四邊形，（如圖11）它的面積是不是8平方厘米？你是怎么想的？

生：我把這個(gè)四邊形分割成3塊，然后每塊圖形的面積擴(kuò)倍，分別轉(zhuǎn)化成長方形，這樣就發(fā)現(xiàn)它的面積是整個(gè)圖形的一半，所以這個(gè)四邊形的面積是8平方厘米。（如圖12）

生：我是用整體面積減去空白面積來驗(yàn)證的，把沒有圍的4個(gè)三角形的面積分別求出來，分別是0.5平方厘米、1.5平方厘米、3平方厘米、3平方厘米，再整體減去它們，四邊形的面積就是8平方厘米。

師：老師很佩服同學(xué)們圍圖形的想象力與創(chuàng)造力，感謝你們想出了好方法來驗(yàn)證面積為什么是8平方厘米。想一想，同學(xué)們想出了幾種方法？

生：一種是通過分割，然后移多補(bǔ)少，轉(zhuǎn)化為熟悉的長方形。移多補(bǔ)少時(shí)，要用到平移和旋轉(zhuǎn)，把割下來的圖形運(yùn)動(dòng)到其他地方進(jìn)行補(bǔ)充。

生：還有一種是通過擴(kuò)倍法，轉(zhuǎn)化為長方形。

三、鞏固方法，創(chuàng)圖鑒賞

1.分割圖形，測量數(shù)據(jù)。

教師出示圖形。（如圖13）

師：老師畫在了沒有點(diǎn)子圖的白紙上，你能把這個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為長方形嗎？請?jiān)谧鳂I(yè)紙上試一試。

（1）分一分：請把這個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為長方形，并在圖上標(biāo)出分割轉(zhuǎn)化的過程。

（2）想一想：要計(jì)算這個(gè)圖形的面積，需要測量哪些邊的長度？

2.創(chuàng)圖鑒賞，并給每個(gè)圖案取一個(gè)好聽的名字，建議學(xué)生課后自主創(chuàng)作更多個(gè)性化的圖案。（如圖14）

四、實(shí)驗(yàn)回顧，總結(jié)反思 （略）

（作者單位：浙江杭州市天長觀潮小學(xué)）