【課前思考】

核心概念是美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾所說(shuō)的上位知識(shí)，它位于學(xué)科知識(shí)金字塔的頂端，統(tǒng)攝領(lǐng)域內(nèi)更為基本的概念、方法和問(wèn)題，能幫助學(xué)生更好地理解和強(qiáng)化更多的知識(shí)和方法，并將其運(yùn)用于新場(chǎng)景的學(xué)習(xí)之中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的遷移。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要著眼于整體把握核心概念，改變一道例題一道例題的散點(diǎn)教學(xué)，建好知識(shí)結(jié)構(gòu)的“承重墻”，打通知識(shí)之間的壁壘，以此來(lái)統(tǒng)整教學(xué)。

角的度量和線段的度量、面的度量一樣，本質(zhì)就是用度量單位的個(gè)數(shù)描述角的大小，而關(guān)鍵就是找度量單位。這就需要讓學(xué)生直觀感知角有大小及角的可測(cè)量屬性，進(jìn)而進(jìn)行角的比較，并在描述角的大小過(guò)程中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求，所以“單位”是本節(jié)課的核心概念。如何讓“單位”這個(gè)核心概念統(tǒng)領(lǐng)“角的度量”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷從“自選單位”走向“標(biāo)準(zhǔn)單位”的過(guò)程，體會(huì)度量的本質(zhì)呢？筆者作了如下探索。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，積累具身經(jīng)驗(yàn)

師：孩子們，你們?cè)缟仙蠈W(xué)幾時(shí)出發(fā)？大約幾時(shí)到校？

生：我平時(shí)7：50出發(fā)，8：10左右到校。

師：觀察主題圖（圖略），你能說(shuō)說(shuō)小東和小麗上學(xué)所用的時(shí)間嗎？

生：小東8：00出發(fā)，8：10到校；小麗8：00出發(fā)，8：18到校。

隨著學(xué)生回答，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)分針從開(kāi)始到結(jié)束的變化過(guò)程。

師：比畫(huà)一下分針是怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)的。思考一下，在比畫(huà)的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)信息？

生：分針掃過(guò)的部分形成了兩個(gè)不同大小的角。

師：（出示圖1）我們把兩個(gè)角分別記作∠1和∠2，你能比較這兩個(gè)角的大小嗎？想一想，怎樣比較這兩個(gè)角的大小呢？

第一小組匯報(bào)：我們小組用數(shù)格子的方法進(jìn)行比較。

生：我用數(shù)大格的方法，∠1是2大格，∠2是3大格還多，所以∠2大。

生：我是用數(shù)小格的方法，∠1是10個(gè)小格，∠2是18個(gè)小格，所以∠2大。

師：用大格或者小格作為標(biāo)準(zhǔn)，誰(shuí)含有的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)多，誰(shuí)就大。角的大小由標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)決定。

第二小組匯報(bào)：我們小組用三角尺上的角作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。

生：我是用直角作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)量的，∠1比直角小，∠2比直角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的大銳角作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)量的，∠1等于大銳角，∠2比大銳角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的小銳角作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)量的，∠1等于2個(gè)小銳角，∠2比3個(gè)小銳角大，所以∠2大。

師：這個(gè)小組的同學(xué)用三角尺上的角作為標(biāo)準(zhǔn)，分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，再作出比較。

第三小組匯報(bào)：我們小組用直尺量出角張開(kāi)的距離進(jìn)行比較。（如圖2）

生：角的大小跟它兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)，我們小組量出∠1張口的大小是3厘米，∠2的張口是5厘米，所以∠2大。

師：比較∠1和∠2的大小，通過(guò)剛才三個(gè)小組的交流匯報(bào)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：比較角的大小，首先要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

生2：我贊同生1的想法，我想補(bǔ)充一點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)越小，結(jié)果越精確。比如小格比大格度量的結(jié)果精確，小角比大角度量的結(jié)果精確。

生3：角的大小與兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)，里面含有的格數(shù)越多，角越大。

生4：大角對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng)，小角對(duì)應(yīng)的圓弧短。

師小結(jié)：是的，角的大小與兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)。在同一個(gè)圓中，大角對(duì)應(yīng)的弧線長(zhǎng)，小角對(duì)應(yīng)的弧線短。我們要測(cè)量角的大小，在測(cè)量之前還得用統(tǒng)一的單位進(jìn)行度量。

【反思】量感的培養(yǎng)要注重直觀性和參照性。理解角的內(nèi)涵有三個(gè)層次：（1）直觀感知角有大小，比如活動(dòng)角開(kāi)口變大，就是角變大了；（2）直接比較角的大小，比如借助重合，讓頂點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)，邊對(duì)邊，看另一條邊張開(kāi)的大小來(lái)比較；（3）尋找標(biāo)準(zhǔn)，用“小角”度量大角，用“數(shù)+單位”描述角的大小。角的度量首先要讓學(xué)生知道角有大小，然而角的大小非常抽象。因此，用學(xué)生熟悉的鐘面作為載體，喚醒學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)，變抽象為直觀，動(dòng)態(tài)的分針能讓學(xué)生直觀感悟角的動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)，而鐘面上的大格、小格就成了比較角的大小的參照，這樣的學(xué)習(xí)素材有利于學(xué)生自主生成多種方法去比較角的大小，自然生成“標(biāo)準(zhǔn)”意識(shí)。

二、經(jīng)歷過(guò)程，建立單位量感

1.抽象出大格角和小格角。

師：剛才大家借助不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，都得出∠2大于∠1。那么，三個(gè)小組測(cè)量的方法各有什么利弊？

生：第一小組借助鐘面上的大格和小格進(jìn)行比較，如果離開(kāi)了鐘面就無(wú)法比較。

生：第二小組用三角尺上的角作為標(biāo)準(zhǔn)角進(jìn)行比較，對(duì)于較小的角，沒(méi)辦法比較。

生：用直尺比較，對(duì)于同一個(gè)角在不同的位置測(cè)量會(huì)得到不同的長(zhǎng)度，我們要規(guī)定統(tǒng)一的測(cè)量位置才能比較。

師：大家思考得很到位！一起回顧一下，我們?cè)鯓訙y(cè)量物體的長(zhǎng)度？能否從中得到啟發(fā)？

生：我們創(chuàng)造長(zhǎng)度單位1厘米、1分米、1米，用長(zhǎng)度單位測(cè)量。

生：量長(zhǎng)物體用短物體作為標(biāo)準(zhǔn)，量大角要用小角作為標(biāo)準(zhǔn)。我們可以用鐘面上一大、一小這兩個(gè)角作為測(cè)量工具。

師：總結(jié)得真到位。我們把鐘面上一大格對(duì)應(yīng)的角稱為大格角，一小格對(duì)應(yīng)的角稱為小格角。請(qǐng)同學(xué)們借助學(xué)具袋中的大格角和小格角，分別量出∠3和∠4（如圖3）各有多大。

2.逼迫產(chǎn)生1°角。

（出示學(xué)習(xí)單二，如圖3。學(xué)生操作后，小組匯報(bào)）

師：先匯報(bào)你們是怎么測(cè)量∠3的，具體結(jié)果是多少。

組1：我們小組測(cè)量∠3等于2個(gè)大格角多一點(diǎn)，3個(gè)大格角少一點(diǎn)。

組2：我們同時(shí)用大格角和小格角，∠3等于2個(gè)大格角和2個(gè)小格角。

組3：我們?nèi)坑眯「窠?，?等于12個(gè)小格角。

師：大家在測(cè)量的過(guò)程中，用大格角和小格角結(jié)合起來(lái)測(cè)量，非常好，合適的就是最好的。那∠4有多大？

組1：我們小組用大格角和小格角都測(cè)了，都不正好。

組2：我們小組測(cè)到1個(gè)大格角加半個(gè)小格角，或者全部用小格角測(cè)，是5個(gè)半小格角。

師：怎么出現(xiàn)了半個(gè)小格角？

生：1個(gè)小格角還嫌大，我們把它對(duì)折，就正好，所以最后有半個(gè)。

師：這個(gè)小組的同學(xué)太厲害了，1個(gè)小格角嫌大，繼續(xù)細(xì)分得到更小的單位。聯(lián)系我們學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度單位，是否有所啟發(fā)？

生：我們可以找到一個(gè)很小的角，把它看作“1”，用這個(gè)“1”度量角的大小，數(shù)一數(shù)就知道了。

師：你真有想法！讓我們一起看一段視頻，了解角的度量單位是怎樣產(chǎn)生的。

介紹：將一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角叫周角，規(guī)定為360度，把它平均分成360份，其中的1份就是1度的角。度是角的計(jì)量單位，用符號(hào)“°”表示，如1度記作：1°。

師：聯(lián)系剛才的大格角和小格角，它們分別是幾度？

生：1個(gè)大格角是30°，1個(gè)小格角是6°。

【反思】學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)具有可遷移性，通過(guò)橫向聯(lián)系知識(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)舊知遷移，促進(jìn)新知的學(xué)習(xí)。度量長(zhǎng)度，使用一條規(guī)定線段的長(zhǎng)度作為長(zhǎng)度單位。要知道一條線段的長(zhǎng)度，就要看被測(cè)量的長(zhǎng)度里含有幾個(gè)這樣的長(zhǎng)度單位。對(duì)于二維空間里的角，讓學(xué)生描述一個(gè)角的大小，就是看大角里面含有幾個(gè)小角。因此，引導(dǎo)學(xué)生借助鐘面上的大格、小格所對(duì)應(yīng)的角作為標(biāo)準(zhǔn)，來(lái)測(cè)量角的大小?！?（72°）不能用大格度量，用大格結(jié)合小格才能度量?！?（33°）用大格結(jié)合小格還是無(wú)法表達(dá)出角的大小，從而產(chǎn)生繼續(xù)細(xì)分的想法。學(xué)生在這樣一步步思維行進(jìn)的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到角也像長(zhǎng)度一樣，要知道一個(gè)角的大小，就要用統(tǒng)一的度量單位；要準(zhǔn)確測(cè)量角的大小，就要確定合適的度量單位。學(xué)生在新舊知識(shí)的類比推理中實(shí)現(xiàn)正向遷移，自然生長(zhǎng)出對(duì)1°角的需求，為知識(shí)關(guān)聯(lián)找到了認(rèn)知通道，凸顯整體關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)發(fā)展，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.創(chuàng)造逆時(shí)針單向量角器。

師：難怪用小格角測(cè)量∠4的大小，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)還嫌大。那我們思考一下，測(cè)量長(zhǎng)度，我們把長(zhǎng)度單位疊加形成長(zhǎng)度尺，便于人們用來(lái)測(cè)量，我們是否可以借助這樣的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造出適合我們使用的量角工具呢？（出示學(xué)習(xí)單三，如圖4）

課件演示從0°刻度線出發(fā)，動(dòng)態(tài)產(chǎn)生1°角，1°角通過(guò)疊加得到5°、10°、30°、60°、90°、180°角的過(guò)程。學(xué)生借助課件演示，體會(huì)每個(gè)角都是用若干個(gè)1°角拼合而成的。教師介紹逆時(shí)針單向量角器各部分的名稱。

師：觀察量角器，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：量角器是由1°角不斷疊加而成的，只是跟長(zhǎng)度尺不同，長(zhǎng)度尺從0刻度線依次往右不斷增長(zhǎng)。量角器的刻度線是旋轉(zhuǎn)而成的，角的頂點(diǎn)一直不變，中心就是角的頂點(diǎn)。

小結(jié)：確定了角的計(jì)量單位，有了1°角，讀懂了量角器的構(gòu)成，我們就可以準(zhǔn)確地測(cè)量角的大小了。

師：動(dòng)手量一量∠3和∠4的大小。說(shuō)一說(shuō)你是怎么測(cè)量的。

生：角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊，一條邊與0°刻度線對(duì)齊，另一條邊對(duì)著幾就是幾度，∠3=72°，∠4=33°。

4.創(chuàng)造雙向量角器。

師：（如圖5）利用我們創(chuàng)造的量角器，測(cè)量∠5的度數(shù)。

生1：我測(cè)得∠5=120°。（如圖6）

生2：∠5不可能大于90°，它比直角小?！?的一條邊對(duì)齊180°刻度線，不是對(duì)齊0°刻度線，所以應(yīng)該用180°-120°=60°。

生3：我把量角器旋轉(zhuǎn)了一下，一條邊對(duì)齊0°刻度線，我也測(cè)量出是60°。（如圖7）

師：觀察∠5與∠3、∠4，有什么不同？

生：開(kāi)口的方向不同，所以測(cè)量起來(lái)容易出錯(cuò)。

師：人們?cè)跍y(cè)量角的大小過(guò)程中，也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，大家想想看，怎么解決開(kāi)口反向的問(wèn)題？

生：我們?cè)谕饷嬖贅?biāo)一組數(shù)據(jù)，左邊180°刻度線對(duì)應(yīng)0°刻度線，這樣就可以兩用了。

師：你的想法跟雙向量角器發(fā)明者一樣，請(qǐng)大家拿出量角器，觀察各部分組成。用量角器測(cè)量∠5的大小。

【反思】量角器的本質(zhì)是單位小角的不斷累加，角的度量的本質(zhì)是看被測(cè)對(duì)象中含有多少個(gè)單位小角，這是理解量角的邏輯基礎(chǔ)。用1°角疊加成2°、3°、10°、30°……在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生首先感受角的有限可加、疊加的目的，從而認(rèn)識(shí)更多度數(shù)，明白度量的對(duì)象里包含了多少個(gè)度量單位就是多少度。其次，所有這些角的頂點(diǎn)都重合在一個(gè)點(diǎn)上，而這個(gè)點(diǎn)就是量角器的中心點(diǎn)，也是角的頂點(diǎn)，這為角的頂點(diǎn)與中心點(diǎn)重合找到了思維的根基。最后，在實(shí)際測(cè)量中，學(xué)生感受單邊一圈量角器的不足和不完美，自然產(chǎn)生了完善量角器的需求，在外圈再反向（順時(shí)針）標(biāo)一圈刻度，讓內(nèi)圈刻度與外圈刻度完美對(duì)應(yīng)。這一漸進(jìn)的過(guò)程將角的度量與線段的度量進(jìn)行本質(zhì)上的聯(lián)系，使學(xué)生原本零散、模糊的認(rèn)知逐漸清晰，并在學(xué)生的學(xué)習(xí)需求中創(chuàng)造量角器，讓學(xué)生從本質(zhì)上體會(huì)雙向刻度的意義，突破量角器上兩圈刻度讀法的難點(diǎn)。

三、拓展應(yīng)用，形成量感素養(yǎng)

1.找一找。

師：你能在量角器上找到50°的角嗎？在量角器上找角要注意什么？在小組里交流一下吧。

生：我是從0°刻度線開(kāi)始，逆時(shí)針找到50°刻度線，兩條刻度線之間就是50°角。

生：我正好相反，順時(shí)針找50°刻度線。

生：不一定從0°刻度線出發(fā)，只要兩個(gè)數(shù)據(jù)相減是50°就行，比如10°刻度線與60°刻度線之間的夾角就是50°。

2.估一估。

師：（出示圖8）說(shuō)說(shuō)你是怎樣估計(jì)角的大小的。

生1：對(duì)于左圖，我把它分成一個(gè)直角和一個(gè)銳角，銳角大約是90°的一半，所以大約是135°。

生2：對(duì)于右圖，我是先估計(jì)左邊的銳角，比直角少一個(gè)銳角，少的這個(gè)銳角大約是30°的一半，所以估計(jì)是75°；右邊那個(gè)角用180°減去75°，大約是105°。

師：借助30°、45°、90°這些特殊角進(jìn)行估計(jì)，是有效估計(jì)的很好的策略。用量角器驗(yàn)證一下估計(jì)的結(jié)果。

3.量一量。

師：先估計(jì)一下這個(gè)角（圖略）大約是幾度，到生活中找一找，哪兒有這個(gè)角度？

生：大約是120°。這個(gè)角度在生活中很多，比如屋頂?shù)娜俗至?、家里噴墨打印機(jī)的斜角、人的下顎角……

師：據(jù)說(shuō)人的下顎角是120°是最美的。大家用量角器量一量這個(gè)角的大小。

生：這個(gè)角是120°多一點(diǎn)，在120°與121°之間。

生：看來(lái)用1°作為單位測(cè)量角也不夠用了，需要把1°繼續(xù)分。

師：比度更小的單位是什么？我們看一段視頻：介紹量角的另外兩個(gè)單位——分、秒。

【反思】量感的培養(yǎng)是一個(gè)較長(zhǎng)期的反復(fù)體驗(yàn)、不斷矯正的過(guò)程，與學(xué)生個(gè)體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，學(xué)生能根據(jù)實(shí)際情況靈活地選擇不同的度量單位進(jìn)行度量，這才是量感發(fā)展的最高境界。因此在學(xué)習(xí)用量角器量角以后安排了通過(guò)在量角器上找角、估角與量角、生活中找角等活動(dòng)，幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)量的深度體驗(yàn)、對(duì)單位量的感知以及對(duì)疊加量的感悟，促進(jìn)學(xué)生形成不同單位量的表象，拓展度量單位，豐富學(xué)生的量感。

四、回顧總結(jié)，擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了角的度量，你有哪些收獲？

生：要知道一個(gè)大角的大小，要用小角作標(biāo)準(zhǔn)。

生：角的度量和線段的度量有異曲同工之妙，先找到“1”，再累加產(chǎn)生度量工具，用數(shù)來(lái)表示大小。

師：那接下來(lái)我們還會(huì)研究長(zhǎng)方形的面有多大，你想到了什么？

生：要知道“大面”的大小，我們可以用“小面”作為單位，然后數(shù)一數(shù)，得到一個(gè)數(shù)。

【反思】總結(jié)本節(jié)課“角的度量”研究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)與線段度量本質(zhì)的聯(lián)系，為后續(xù)面積的度量學(xué)習(xí)做鋪墊，形成度量學(xué)習(xí)的研究路徑，為度量的后續(xù)學(xué)習(xí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)）