作圖是數學思想的一種表征形式，也是用圖形這種數學語言表達現(xiàn)實世界的一種方式。我國2022年版課標在小學階段對作圖給予了新的重視，首次提出了“用直尺和圓規(guī)作圖”，但是目前教材中的尺規(guī)作圖內容并不多，更多的是幾何作圖。

本文中所說的幾何作圖包含尺規(guī)作圖，是指使用刻度尺、直尺（本文中提到的直尺均為無刻度直尺）、量角器、圓規(guī)等作圖工具，繪制與幾何知識相關的圖形，即在尺規(guī)作圖的基礎上，可以有量的參與，包括長度和角度等。例如，2022年版課標在第二學段的“學業(yè)要求”中指出：“能用直尺和量角器畫出指定度數的角；會用三角板畫30°，45°，60°，90°的角?！边@也提醒教材編寫者要考慮相應的內容如何編寫。那么新的理念下，我們該如何重新認識幾何作圖呢？不同國家小學數學教材中的幾何作圖內容不太一樣，翻閱日本啟林館版教材，發(fā)現(xiàn)其中的幾何作圖與我國當下教材中的內容相比，有很大的不同，頗有研究的價值。因此，我們選取日本啟林館最新版小學數學教材一到六年級共9冊（一、五、六年級各1冊，其他年級各2冊），采用文本分析和數據統(tǒng)計的方法，對其中的幾何作圖進行統(tǒng)計和分析，發(fā)現(xiàn)其內容編排、選取與呈現(xiàn)的特征，以期為我國小學數學教材中幾何作圖內容的編寫與教學提供借鑒與參考。

一、啟林館版教材的特征

（一）整體編排特征。

啟林館版教材中，幾何作圖共13處（習題除外），分布較為平均，除一年級外各年級均涉及作圖要求，其中二年級2處，三年級2處，四年級4處，五年級3處，六年級2處（詳見表1）。

由表1可以看出，啟林館版教材中的幾何作圖起步較早，整體內容較多，分布于二年級到六年級，從作線、三角形、長方形與正方形、圓、角、平行四邊形與菱形等到作全等圖形、縮放圖形，可以說涵蓋了我國小學階段的所有平面圖形，且涉及了初中幾何的知識，足見對幾何作圖的重視。對于作Pf+SbKeIOWHSkW77TNFrerRWaRK6lxHfjklRrAmTzQc=圖工具，并不局限于直尺與圓規(guī)，刻度尺、量角器、方格紙等都是學生進行幾何作圖時可以使用的工具。

（二）內容選取與呈現(xiàn)特征。

1.注重介紹工具的功能和使用方法。

對于操作性知識，工具的使用方法很重要，啟林館版教材重視工具的功能與使用方法的介紹。例如，三年級下冊“圓與球”單元中，對于圓規(guī)的使用方法，教材上分步驟進行了詳細介紹（如圖1）。學習畫圓之后，專門有一節(jié)圓規(guī)的使用課，即講授利用圓規(guī)除了可以畫圓，還可以記錄線段的長度，并給出情境，讓學生在情境中使用圓規(guī)記錄長度、比較長度。最后的學習總結中，還有提示“當我知道圓規(guī)不僅可以畫圓，還可以測量長度時，我覺得它是一個很方便的工具”（如圖2）。

除此之外，對于圓規(guī)的使用方法，教材上還在這部分內容的旁邊附加了二維碼，掃二維碼就可以看到使用視頻，視頻和教材中都給出了左手和右手使用圓規(guī)的情形，體現(xiàn)了教材設計者的人文關懷。關于其他基本工具的使用、基本圖形如線段的畫法等，啟林館版教材都有相應的電子資源，供學生學習時參考。

2.注重利用多種方法完成幾何作圖。

很多幾何作圖任務的完成不止一種方法，啟林館版教材非常注重利用多種途徑、多種方法完成幾何作圖。

例如，四年級上冊第5單元“垂直、平行與四邊形”中，在第6節(jié)給出任務：在作出一角及角的兩邊，即確定了三個頂點的基礎上，如何確定第四個頂點，從而作出平行四邊形？教材上呈現(xiàn)了兩種方法：其一，使用一對三角板分別作已知角的兩邊的平行線，這兩條線的交點就是第四個頂點，依次連接四個頂點即可得平行四邊形；其二，使用圓規(guī)截取已知兩邊的邊長，以相應定點為圓心分別作弧，找到交點，即找到第四個頂點，依次連接四個頂點即可得平行四邊形。這兩種方法使用了不同的工具，呈現(xiàn)出兩種思路：一是利用平行四邊形的對邊平行，二是利用平行四邊形的對邊相等，這也是引導學生學習的平行四邊形的性質（特征）。

再如，三年級下冊第17單元“三角形”中呈現(xiàn)出兩種得到等腰三角形的方法：其一，用圓規(guī)截取定長的腰，分別以底邊的兩個端點為圓心作弧，找到兩條弧的交點，連接交點與底邊的兩個端點可得等腰三角形；其二，在圓的內部以兩條半徑為兩腰，連接半徑與圓周的兩個交點可得等腰三角形（如圖3）。這兩種方法顯示了不同的思路：一是利用交軌法，二是利用圓的半徑相等，這也是引導學生學習的圓的基本性質。

教材中將作圖與圖形的性質相關聯(lián)，不同的作圖思路體現(xiàn)了學生對圖形性質的理解和應用的不同方面，學生調動已有知識，選擇工具，在動腦、動手的過程中完成任務，不僅提高了發(fā)散思維能力，也加深了對作圖工具的認識。

3.作圖步驟詳細。

對小學生來說，幾何作圖步驟非常重要，作圖步驟體現(xiàn)的是思維過程，步驟不同，則思維過程不同，呈現(xiàn)詳細的作圖步驟，體現(xiàn)了教材的嚴謹性。啟林館版教材中都呈現(xiàn)了詳細的作圖步驟，并用箭頭示意下一步。如圖4，要過直線外一點作已知直線的垂線和平行線，教材上分別通過四幅圖（對應四個步驟）呈現(xiàn)了如何利用一幅三角板來作出符合條件的直線。除此之外，為了作圖的清晰、條理，分別對兩個三角板標注了①號和②號，這樣學生就能比較清楚地看到哪個三角板不動，哪個三角板在運動及怎么運動。

詳細的作圖步驟不僅給學生示范了幾何作圖的規(guī)范性，而且引導學生一步步地思考其中的道理，這對于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，發(fā)展學生的推理能力、邏輯思維能力、空間想象能力都非常有意義。

4.通過深度任務，循序漸進發(fā)展學生思維。

啟林館版教材注重在小學中、高年級設置有深度的幾何作圖任務，發(fā)展學生的數學思維。例如，在三年級學習了作等腰三角形及等邊三角形后，教材上給出“用兩個半徑相等的圓構造一個等邊三角形，讓學生說說理由”的內容。再如，在五年級作全等三角形時，教材上給出多種方法，最后通過“用同樣的方法可以畫出全等的四邊形”引導學生進行深入思考（如圖5）。

再如，六年級“圖形的放大和縮小”單元一共兩節(jié)：第一節(jié)為擴大圖與縮小圖的概念；第二節(jié)為幾何作圖，共有四個模塊，其中有三個模塊讓學生進行幾何作圖，每個作圖模塊都包含四個任務。如表2，每部分都由淺入深地提出任務，讓學生作圖，最后教材上給出總結，這樣可以發(fā)展學生的思維，加深他們對幾何圖形之間全等關系的認識。

由表2可以看出，在這部分的幾何作圖中，從有方格紙到無方格紙，從三角形到四邊形，從兩個圖形沒有重合點到兩個圖形有重合點，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所有的正多邊形（邊數相同）都是放大或縮小的關系，進而提出問題：圓又是怎樣的？通過一個個任務，由淺入深，由易到難，由問題到總結，不斷發(fā)展學生的數學思維。最后呈現(xiàn)縮放圖在生活中的應用，使學生明白，為了便于觀察，人們需要將圖形放大或縮小，從而加深學生對縮放圖的理解，增強應用意識。

二、啟示

啟林館版教材中的幾何作圖內容的分析，對我國小學數學教材中幾何作圖內容的編寫與教學有以下幾點啟示。

（一）以尺規(guī)作圖為契機，在小學加強幾何作圖。

提到幾何作圖，大家自然會想到尺規(guī)作圖，從古希臘歐幾里得的《幾何原本》開始，尺規(guī)作圖就彰顯了它的獨特價值與魅力。多位學者論述過在小學階段增加尺規(guī)作圖內容的重要價值。例如，馬云鵬等學者認為尺規(guī)作圖可以“讓學生感悟數學的嚴謹性，還有助于學生形成幾何直觀”[1]。但是小學階段的尺規(guī)作圖數量有限，稍微復雜的尺規(guī)作圖需要學生的邏輯思維發(fā)展到一定階段且具備相關的幾何知識，這也是尺規(guī)作圖以前均放在初中的主要原因。吳正憲老師認為小學數學中的尺規(guī)作圖“重點不是把尺規(guī)作圖當作一個知識點教會學生作圖，而是要引導學生親身經歷動手操作的過程……”[1]故當前可以以尺規(guī)作圖為契機，加強小學數學教材中的幾何作圖，多一點幾何作圖，讓學生多作多思，在動手、動腦中學習幾何，看到數學豐富多彩的一面，在作圖中培養(yǎng)學生數學學習的興趣，進而發(fā)展推理能力、幾何直觀與空間想象能力。

（二）提倡小學生使用多種工具作圖。

作圖的方法決定于作圖工具的選擇[2]。章飛認為，在初中數學幾何作圖教學中應倡導靈活選用工具作圖，限用尺規(guī)不符合教學實際[3]。所以，對小學生而言，除了有限的尺規(guī)作圖，還可以設計更多的幾何作圖。在幾何作圖中，提倡學生使用三角板、量角器等作圖工具。工具的選擇在作圖中體現(xiàn)了學生對幾何知識的理解，在信息化社會體現(xiàn)的也是一種非常重要的素養(yǎng)，所以除了直尺和圓規(guī)，教材或教學中應提倡小學生選擇或使用多種工具，設計開放的幾何作圖問題，發(fā)展學生的多種素養(yǎng)。

工具的操作方法、使用場合等都會對幾何作圖產生一定的影響。例如，當學生不會用圓規(guī)時，就會出現(xiàn)通過旋轉身體、旋轉紙張畫圓等現(xiàn)象[4]，畫出來的圖形自然不規(guī)范、不標準。這在某種程度上會造成學生操作之后缺乏成就感，所以教材或教師要在適當的時機給小學生呈現(xiàn)工具的操作方法，讓學生正確認識工具、操作工具，從而創(chuàng)造出美麗的圖形。

（三）注重作圖方法多樣化。

幾何作圖過程中的不同方法和途徑，其本質都體現(xiàn)了對幾何圖形不同特征的認識。教材上給學生提供多種作圖方法，有利于學生從多個角度認識圖形，滲透幾何學的思想方法，從多個方面鞏固對幾何核心知識的掌握。

不僅在教材中可以向學生展示多種作圖方法，在教學中也應注重作圖方法多樣化。教學實踐表明，對于明確的幾何作圖問題，如果僅僅給出作圖的要求，不同的學生從多角度出發(fā)可能有不一樣的解決方法，形成豐富多樣的作圖方法，這樣有利于增強思維的發(fā)散性[5]。學生選用多樣的方法，運用不同的定理解決問題，更具開放性，也更能考查知識運用能力[3]。

在多種方法的基礎上，教師可以引導學生對作圖方法進行分析和比較，找尋作圖的最佳途徑，提高運用所學知識解決其他相同或相似問題的能力，激發(fā)學生探究的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力與批判意識。

（四）注重作圖步驟，培養(yǎng)學生推理能力。

幾何作圖在推理能力培養(yǎng)方面的價值顯而易見，幾何作圖是發(fā)展學生推理能力的良好載體[5]，“學生作圖的過程實質上是對圖形的性質、基本事實、幾何定理的理解和應用的過程，增強了嚴謹的推理意識”[6]。小學階段，不要求學生進行嚴格的邏輯證明，但是2022年版課標中提到“通過對平面圖形性質的認識，感知數學說理的過程”。說理能力體現(xiàn)的是思維的邏輯性與條理性，所以在幾何作圖中應該為小學生創(chuàng)造說理的基礎條件，促進學生推理意識的形成，提高學生思維的邏輯性，使其養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣。

創(chuàng)造說理環(huán)境即讓學生通過詳細展示作圖步驟或操作方法來呈現(xiàn)清晰的作圖思路，在一步步遞進的作圖步驟之間，教師可以引導學生回答怎么做及為什么這樣做，讓學生思考滿足什么條件就可以作圖，應該先確定哪條邊或哪個角，甚至怎么做是不對的……這樣的分析體現(xiàn)的是嚴謹的推理過程，也是作圖前的說理。另外，作圖完成后要讓學生說理（證明），以確保作出的圖形是正確的，無論是作法的思路探析還是正向或反向的說理，都需要學生調用所學核心知識、活動經驗進行推理，這些過程凸顯了作法背后理與法之間的關系，充分發(fā)展了學生的推理能力[7]。

（五）利用幾何作圖，做好小學和初中幾何課程的銜接。

我國小學數學中的幾何內容以傳統(tǒng)運算為主，作圖與說理（證明）相對較少，而進入初中，幾何內容在質與量方面都有很大的變化，幾何內容增多，幾何證明與作圖突然加強，這也導致部分學生到了初中學習幾何時出現(xiàn)困難。從小學幾何內容來看，適當加強幾何作圖，有利于做好小學和初中幾何學習的銜接。從啟林館版教材中可以發(fā)現(xiàn)很多小學和初中銜接的內容。例如，在圓內作出等腰三角形是初中與圓相關的證明中經常見到的；幾種平行四邊形的作法，需要調動頭腦中對平行四邊形特征的認識，這些內容對應在初中學習的平行四邊形的判定定理；五年級教材中三種作全等形的畫法，其實展示了三角形全等的三個判定定理（SSS、SAS、ASA）；六年級作圖形的縮放圖對應初中學習的相似圖形，其中提到的以圖形的頂點為中心進行縮放，則屬于古老的射影幾何內容，其在繪畫、攝影、航海中有廣泛的應用。這些內容并不是初中幾何（作圖）內容的下放，而是在小學利用幾何作圖培養(yǎng)學生對幾何知識的直觀感覺與認識，同時拓展了學生的思維，發(fā)展了學生的推理意識等核心素養(yǎng)，也為做好小學和初中幾何課程的銜接提供素材與機會。

除了以上幾點，教師平時還可以將幾何作圖與美育相結合，發(fā)展學生的創(chuàng)造性，例如，學習了畫圓、長方形、平行四邊形等基本圖形之后，教師可以布置作業(yè)，要求學生利用基本圖形的組合創(chuàng)造新的圖形，讓學生在作中玩、玩中學。幾何作圖最后呈現(xiàn)的作品應該是整潔、美觀的，這對于培養(yǎng)學生的整體美感具有不可忽視的價值。

小學階段學生所獲得的幾何作圖的感覺與意識、技能與基本幾何思想方法，不僅會為他們進入初中后學習幾何課程做鋪墊，也會為其他學科如物理學、建筑工程、藝術設計等中的作圖奠定堅實的基礎。因此在未來小學幾何教學的過程中，以尺規(guī)作圖為契機，教材與教學中可以盡量多為學生創(chuàng)造幾何作圖的環(huán)境，增加學生動手作圖的機會，以幾何作圖為抓手，從小培養(yǎng)學生的幾何直觀，發(fā)展學生的數學學習興趣，真正發(fā)揮幾何作圖促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展的價值。

參考文獻：

[1]位惠女.為什么要在小學增加“尺規(guī)作圖”內容：馬云鵬教授、吳正憲老師訪談錄（八）[J].小學教學（數學版），2022（12）.

[2]聶靈沼.幾何作圖[J].數學通報，1957（2）.

[3]章飛.初中數學幾何作圖的教學實施建議[J].中學數學教學參考（中旬），2021（2）.

[4]劉鵬，張丹，宋云鳳.發(fā)揮直觀想象，發(fā)展推理意識：尺規(guī)作圖教學的思考與實踐[J].小學教學（數學版），2022（5）.

[5]章飛.幾何作圖的教學功能分析[J].中學數學教學參考（中旬），2021（1）.

[6]唐彩斌，王羅那.小學數學增加“用直尺和圓規(guī)作圖”的意義和策略[J].小學數學教育，2022（6）.

[7]陶家友.關聯(lián)調用核心知識 理性構建基本圖形：一道尺規(guī)作圖題的解法探究賞析及教學價值導向[J].數學通報，2022，61（3）.

（作者單位：郭貝貝、楊新羽、楊慧娟，青島大學師范學院；仲曉倩，山東煙臺經濟技術開發(fā)區(qū)第十二小學）