提高教育質(zhì)量需要事先制訂教育質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)是教育質(zhì)量要求的集中體現(xiàn)[1]。以行為表現(xiàn)來闡述學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，才能真正發(fā)揮其“規(guī)范課程教學(xué)與評(píng)價(jià)”的功能。雖然《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》的一個(gè)主要變化是研制了學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)和幫助教師把握教學(xué)深度與廣度，為教材編寫、教學(xué)實(shí)施和考試評(píng)價(jià)等提供依據(jù)，但在2022年版課標(biāo)中沒有明確寫出核心素養(yǎng)11個(gè)主要表現(xiàn)的具體行為標(biāo)準(zhǔn)。這就需要研究者、教材編寫者與一線教師等在研讀2022年版課標(biāo)的基礎(chǔ)上，將其行為化、指標(biāo)化。本文將研究運(yùn)算能力在小學(xué)階段的不同進(jìn)階表現(xiàn)。

基于學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)，既包括知識(shí)和技能目標(biāo)，也包括素養(yǎng)尤其是關(guān)鍵能力目標(biāo)。運(yùn)算能力是2022年版課標(biāo)中唯一一個(gè)在小學(xué)和初中階段都以“能力”命名的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)。在2022年版課標(biāo)中，只給出了計(jì)算技能的標(biāo)準(zhǔn)，如“能熟練口算20以內(nèi)數(shù)的加減法”“能計(jì)算兩位數(shù)乘除三位數(shù)”“會(huì)進(jìn)行……一位小數(shù)的加減運(yùn)算”等，而沒有明確給出運(yùn)算能力的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，將運(yùn)算能力在不同學(xué)段的要求籠統(tǒng)、寬泛地表述為“形成初步的運(yùn)算能力”“形成運(yùn)算能力”“發(fā)展運(yùn)算能力”。那么運(yùn)算能力在不同學(xué)段或不同單元的具體評(píng)價(jià)指標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)到底是什么？為此，我們需要進(jìn)一步厘清運(yùn)算能力的內(nèi)涵、在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)進(jìn)階，以及結(jié)合各內(nèi)容單元研制出具體的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)或表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。

下面以“十進(jìn)制數(shù)”（指計(jì)數(shù)單位之間具有十進(jìn)關(guān)系的數(shù)，包括整數(shù)和小數(shù)）加減法為例，對(duì)這些問題進(jìn)行闡述。

一、結(jié)合2022年版課標(biāo)要求及相關(guān)文獻(xiàn)，明確運(yùn)算能力的內(nèi)涵

運(yùn)算教學(xué)貫穿整個(gè)小學(xué)階段。運(yùn)算能力一直是中國(guó)小學(xué)生舉世公認(rèn)的強(qiáng)項(xiàng)[2]。以往小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)中一般稱為計(jì)算能力，1950年《小學(xué)算術(shù)課程暫行標(biāo)準(zhǔn)（草案）》中就提出“指導(dǎo)兒童具有正確和敏捷的計(jì)算技術(shù)和能力”[3]的要求，在中學(xué)階段則稱為運(yùn)算能力。之所以如此，是由于運(yùn)算能力內(nèi)涵豐富，“不僅包括數(shù)值計(jì)算，以及代數(shù)式、方程的變形，還包括集合、向量、邏輯等的演算和數(shù)據(jù)的某些處理”[2]。小學(xué)階段側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)的計(jì)算能力，中學(xué)階段則側(cè)重對(duì)象更為豐富的代數(shù)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。早在1988年初中教學(xué)大綱中，就已經(jīng)有了對(duì)運(yùn)算能力內(nèi)涵的界定，小學(xué)階段則一直沒有專門定義計(jì)算（運(yùn)算）能力。2001年版課標(biāo)中提出的6個(gè)數(shù)學(xué)核心概念不包括運(yùn)算能力，但提出了“重視口算，加強(qiáng)估算，提倡（鼓勵(lì)）算法多樣化”“減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計(jì)算和程式化地?cái)⑹觥憷怼钡纫?，似乎是為了反?duì)機(jī)械計(jì)算而刻意回避“運(yùn)算能力”這一說法。直至2011年版課標(biāo)中，才在整個(gè)義務(wù)教育階段明確了運(yùn)算能力的內(nèi)涵。

從計(jì)算能力到運(yùn)算能力，凸顯的是計(jì)算和運(yùn)算對(duì)象的不同與變化。自1988年初中教學(xué)大綱中首次對(duì)運(yùn)算能力進(jìn)行界定，到2011年版課標(biāo)中，運(yùn)算能力的內(nèi)涵均未發(fā)生太大變化，主要包括正確運(yùn)算、理解算理、尋求合理運(yùn)算途徑三個(gè)方面，但2017年版高中課標(biāo)中首次在數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵中明確提出“理解運(yùn)算對(duì)象”。因此，2022年版課標(biāo)中也將“明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義”作為運(yùn)算能力的主要表現(xiàn)之一，相應(yīng)地，再次將“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”這兩項(xiàng)內(nèi)容合并為“數(shù)與運(yùn)算”這個(gè)主題（實(shí)際上，1988年初中教學(xué)大綱中就已經(jīng)將以往零散的教學(xué)內(nèi)容整合為“數(shù)與計(jì)算”“量與計(jì)量”等幾個(gè)主題，2001年版課標(biāo)中將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容細(xì)分為“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”等幾個(gè)主題）。

2022年版課標(biāo)中將運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，并明確給出了它的內(nèi)涵及行為表現(xiàn)。概括來說，運(yùn)算能力主要包括四個(gè)方面：明晰運(yùn)算對(duì)象的意義，正確運(yùn)算，理解算理與算法之間的關(guān)系，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問題。

二、根據(jù)運(yùn)算能力的內(nèi)涵與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，確定學(xué)習(xí)進(jìn)階

根據(jù)2022年版課標(biāo)中對(duì)運(yùn)算能力內(nèi)涵的描述及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以從以下三個(gè)方面劃定運(yùn)算能力在整個(gè)小學(xué)階段的發(fā)展進(jìn)階：運(yùn)算對(duì)象復(fù)雜度、運(yùn)算過程清晰度（算理、算法）與運(yùn)用運(yùn)算結(jié)果的靈活度。這三個(gè)方面以對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解為基礎(chǔ)。小學(xué)階段的運(yùn)算對(duì)象主要是數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)），中學(xué)階段則拓展到代數(shù)式、方程、集合等。小學(xué)階段的數(shù)分為兩類：一類是“十進(jìn)制數(shù)”，包括整數(shù)和小數(shù)；另一類是“非十進(jìn)制數(shù)”，即分?jǐn)?shù)。例如，《美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》就將小學(xué)階段的運(yùn)算劃分為“十進(jìn)制數(shù)”及其運(yùn)算和分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算這兩類。其中“十進(jìn)制數(shù)”相鄰計(jì)數(shù)單位之間存在十進(jìn)關(guān)系，該類數(shù)計(jì)算的主要依據(jù)是十進(jìn)位值制體系及運(yùn)算的性質(zhì)和定律。因此，整數(shù)和小數(shù)在算法與算理上具有高度的一致性和可遷移性，其中自然數(shù)的加減法是基礎(chǔ)，20以內(nèi)數(shù)的加減運(yùn)算是根本，百以內(nèi)數(shù)的加減運(yùn)算是關(guān)鍵，學(xué)生必須熟練掌握。

基于此，我們構(gòu)建了運(yùn)算能力在“十進(jìn)制數(shù)”（整數(shù)和小數(shù)）加減運(yùn)算內(nèi)容中的評(píng)價(jià)指標(biāo)（如表1）。

學(xué)生的運(yùn)算能力水平主要由運(yùn)算對(duì)象的特點(diǎn)決定。“十進(jìn)制數(shù)”位數(shù)越多，涉及的計(jì)數(shù)單位就越多，數(shù)的結(jié)構(gòu)也越復(fù)雜，如果學(xué)生仍然能正確算出結(jié)果并解釋算理，則表明學(xué)生的運(yùn)算能力越強(qiáng)。在加減運(yùn)算中，整數(shù)或小數(shù)的位數(shù)、計(jì)數(shù)單位之間是否需要轉(zhuǎn)化（進(jìn)位或退位）、數(shù)的中間或末尾是否帶0等都是培養(yǎng)運(yùn)算能力的“升階點(diǎn)、拐點(diǎn)”。

學(xué)生對(duì)計(jì)算方法和算理的理解起初需要借助具體、直觀的學(xué)具進(jìn)行，隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提高、運(yùn)算對(duì)象愈加復(fù)雜，學(xué)生需要逐漸擺脫直觀學(xué)具，根據(jù)抽象的法則或運(yùn)算律進(jìn)行正確的程序性計(jì)算甚至靈活的簡(jiǎn)便計(jì)算，在此過程中發(fā)展推理意識(shí)。運(yùn)算與推理密不可分，正如張景中院士所言：推理是抽象的運(yùn)算，運(yùn)算是具體的推理[4]?；谝鉀Q的情境問題選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略，并正確運(yùn)用計(jì)算結(jié)果，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。對(duì)情境的熟悉程度、情境本身的復(fù)雜程度，都是決定學(xué)生策略選擇的重要變量，是評(píng)價(jià)運(yùn)算能力高低的重要指標(biāo)。

按照上面的評(píng)價(jià)維度，我們將運(yùn)算能力在“十進(jìn)制數(shù)”加減法中的學(xué)習(xí)進(jìn)階整體劃分為五個(gè)發(fā)展階段，相應(yīng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)及教材中的典型內(nèi)容見表2。

由上述學(xué)習(xí)進(jìn)階可知，20以內(nèi)數(shù)的加減法口算是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的根本，其他“十進(jìn)制數(shù)”的計(jì)算都可轉(zhuǎn)化為20以內(nèi)數(shù)的加減法口算，只不過計(jì)數(shù)單位不同，運(yùn)算后所得到的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果。加減法計(jì)算的進(jìn)階點(diǎn)主要體現(xiàn)在運(yùn)算對(duì)象的位數(shù)不同及小數(shù)的末尾需要補(bǔ)0、根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的特點(diǎn)及運(yùn)算律靈活選擇運(yùn)算順序。各版本教材在編排自然數(shù)加減法時(shí)都關(guān)注到這些進(jìn)階點(diǎn)（難點(diǎn)），其算法、算理可以自然地遷移到小數(shù)加減法，在編排小數(shù)加減法單元時(shí)可以直接突破難點(diǎn)，計(jì)算時(shí)甚至可以用計(jì)算器，但并不是所有版本教材都是這樣處理的，各版本教材的學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)及要求并不相同。

三、分析教材內(nèi)容，明晰運(yùn)算能力的單元目標(biāo)表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

2022年版課標(biāo)的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求中給出的都是關(guān)于知識(shí)和技能方面的要求，即“學(xué)生應(yīng)知和應(yīng)會(huì)什么”，而沒有給出能力的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，即“怎樣的好才是足夠的好”。表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)是評(píng)價(jià)的依據(jù)，只有研制出素養(yǎng)（能力）在具體單元的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，才有助于在教學(xué)中落實(shí)“‘教—學(xué)—評(píng)’一致性”。

由上述“十進(jìn)制數(shù)”運(yùn)算的學(xué)習(xí)進(jìn)階可知，小數(shù)加減法單元的內(nèi)容進(jìn)階是：簡(jiǎn)單情境下，相同位數(shù)的小數(shù)不進(jìn)位、不退位加減法，相同位數(shù)的小數(shù)進(jìn)位、退位加減法，不同位數(shù)的小數(shù)加減法（含進(jìn)位、退位），可選擇多種計(jì)算策略的小數(shù)加減混合運(yùn)算（含簡(jiǎn)便計(jì)算）；不熟悉情境下的小數(shù)（包括位數(shù)相同、不同的進(jìn)位與退位）加減法。解釋算理的手段包括：利用直觀學(xué)具；不用直觀學(xué)具，而根據(jù)數(shù)與運(yùn)算的性質(zhì)、運(yùn)算律等進(jìn)行推理。

下面在對(duì)比分析人教版、北師大版、蘇教版教材內(nèi)容基礎(chǔ)上，描畫出運(yùn)算能力在小數(shù)加減法單元的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。這三個(gè)版本教材設(shè)計(jì)的內(nèi)容在本單元的差異較大，我們?cè)趯ふ夜残曰A(chǔ)上所給出的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)僅供參考，括號(hào)中的百分比是學(xué)完本單元后能夠達(dá)到該水平的學(xué)生人數(shù)百分比，該百分比是根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)確定的。

水平1：能夠運(yùn)用計(jì)算法則正確筆算位數(shù)相同的小數(shù)加減法（包括進(jìn)位、退位），并用小數(shù)的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)清晰描述算理，解決常見的、簡(jiǎn)單的購(gòu)物問題（小數(shù)的人民幣模型）。（100%）樣例略。

水平2：能夠運(yùn)用計(jì)算法則正確筆算位數(shù)不同的小數(shù)加減法，并用小數(shù)的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)清晰描述算理，解決常見的、較復(fù)雜的購(gòu)物問題。（90%）

樣例：蘇教版教材中的例2（如圖1）。

水平3：能夠根據(jù)運(yùn)算法則正確計(jì)算一個(gè)加數(shù)是整數(shù)、另一個(gè)加數(shù)是兩位小數(shù)的加法，和被減數(shù)是整數(shù)、減數(shù)是兩位小數(shù)且需要連續(xù)兩次退位的小數(shù)減法。（80%）

樣例：蘇教版教材中例2后面的“試一試”（如圖2）。

水平4：通過計(jì)算能夠解決常見的質(zhì)量問題、“時(shí)間、速度、路程”問題等。（70%）

樣例：人教版教材中的習(xí)題（如圖3。蘇教版教材中沒有右側(cè)的圖示，難度更高）。

水平5：根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的特點(diǎn)及運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律較為靈活地改變運(yùn)算順序進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，并清晰解釋每步操作的算理。運(yùn)用加減法關(guān)系、算式中的規(guī)律正確計(jì)算求得結(jié)果，發(fā)展推理意識(shí)。（60%）

樣例1：人教版教材中的例4（如圖4）。

樣例2：北師大版教材中的練習(xí)題（如圖5）。

樣例3：蘇教版教材中的練習(xí)題（如圖6）。

值得注意的是，蘇教版教材將“小數(shù)的意義和性質(zhì)”“小數(shù)加法和減法”“小數(shù)乘法和除法”單元都編排在五年級(jí)上冊(cè)中，“小數(shù)加法和減法”單元只有三道例題：兩位小數(shù)加一位小數(shù)的進(jìn)位加法、一位小數(shù)減兩位小數(shù)的退位減法、用計(jì)算器計(jì)算多步的小數(shù)加減法。我們認(rèn)為這樣編排非常好，重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)階清楚，淡化非重點(diǎn)內(nèi)容，允許學(xué)生使用計(jì)算器計(jì)算符合現(xiàn)實(shí)需求，也符合課程改革強(qiáng)調(diào)的“素養(yǎng)導(dǎo)向”，讓學(xué)生有更多的時(shí)間探索計(jì)算中的規(guī)律，培養(yǎng)推理意識(shí)，淡化筆算，具體案例見前述樣例。

參考文獻(xiàn)：

[1]邵朝友.基于學(xué)科素養(yǎng)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編：數(shù)學(xué)卷[M].北京：人民教育出版社，2001.

[4]張景中.感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量[J].人民教育，2007（18）.

【本文系基金項(xiàng)目——北京教育學(xué)院院級(jí)課題“學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下小學(xué)數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)研究”（課題號(hào)：YB2023-11）的階段性成果】

（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院）