作者簡介：孫鍇（1989—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

[摘 要] “全等三角形”這一章節(jié)的內(nèi)容是幾何知識體系的重要組成部分，教學(xué)中，教師需要準(zhǔn)確定位核心知識，圍繞知識重點(diǎn)合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐步感知、探索體驗(yàn)，歸納總結(jié)，自然而然地完成知識生成，掌握定理. 文章圍繞“全等三角形”開展教學(xué)探討，針對學(xué)生的能力提升與素質(zhì)培養(yǎng)提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 全等三角形;概念;生成

“全等三角形”是蘇教版八年級上冊的內(nèi)容，是幾何知識體系構(gòu)建的關(guān)鍵，教師需要引導(dǎo)學(xué)生掌握全等三角形的定義、性質(zhì)、判定條件等內(nèi)容. 本章節(jié)內(nèi)容的探究性極強(qiáng)，教學(xué)中教師需要準(zhǔn)確定位知識核心，合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生的知識與能力獲得同步提升，下面進(jìn)行深入探討.

章節(jié)梳理中定位核心知識

“全等三角形”編排在教材的第十八章，課標(biāo)從知識內(nèi)容與情感能力上均對學(xué)生提出了要求. 教師需要在探究中引導(dǎo)學(xué)生梳理章節(jié)內(nèi)容，開展知識定位，讓學(xué)生把握知識重點(diǎn). 對于“全等三角形”，教學(xué)中教師要把握兩條主線，如圖1所示. “橫向主線”是關(guān)于全等三角形的“概念生成”到“實(shí)際應(yīng)用”，而“縱向主線”是全等三角形的性質(zhì)、定理串聯(lián)，是探究應(yīng)用的重要思路. 教材采用主線交錯構(gòu)建的方式，實(shí)現(xiàn)了概念與性質(zhì)定理的融合. 這種編排方式是基于“教學(xué)生成”與“學(xué)生學(xué)情”的雙重考慮，同時為后續(xù)的探究教學(xué)提供了參考.

“橫向主線”以“全等形→全等三角形→解決問題”來展開，概念教學(xué)是重點(diǎn)，學(xué)生已經(jīng)掌握了線段、角、相交線、平行線等與三角形相關(guān)的知識，這就為全等三角形的學(xué)習(xí)儲備了知識基礎(chǔ). 教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的全等，以全等圖形作為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注全等圖形的特征，并逐步過渡到全等三角形的概念，完成概念的生成，掌握全等三角形的相關(guān)知識，達(dá)到知識應(yīng)用的效果，故“從生活中來，到生活中去”是該知識主線的核心.

“縱向主線”圍繞全等三角形的概念，將性質(zhì)定理和判定定理串聯(lián)在一起，這是常見圖形關(guān)系探究的核心知識，對后續(xù)幾何知識的學(xué)習(xí)有借鑒作用. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要立足概念，開展性質(zhì)探究和判定定理探究，使學(xué)生掌握定理的基本證明過程，指導(dǎo)學(xué)生掌握基本的推理證明方法，提升學(xué)生的推理思維. 同時，其中隱含的“全等證明→性質(zhì)推導(dǎo)”思路，對學(xué)生后續(xù)的探究解題有重要的參考意義.

基于上述章節(jié)知識剖析，教學(xué)中教師要將全等三角形的要素、性質(zhì)特征作為重點(diǎn)，圍繞判定定理開展知識探究. 同時，探究過程要注重提升學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，要讓學(xué)生養(yǎng)成主動探究、勤于思考的習(xí)慣.

探究活動中生成知識

“全等三角形”的概念、性質(zhì)、定理是教學(xué)的重、難點(diǎn)，教學(xué)中建議教師采用活動探究、知識生成的方式，即引導(dǎo)學(xué)生參與探究活動，體驗(yàn)探究過程，自然而然地領(lǐng)悟知識，掌握性質(zhì)定理.

對于概念與性質(zhì)教學(xué)，建議教師分“實(shí)踐觀察”和“變換探究”兩個階段，從生活中提取全等素材，讓學(xué)生觀察圖形，辨析特征，直觀感知全等，以此為基礎(chǔ)給出“全等”的概念. 同時利用圖形變換活動來引導(dǎo)學(xué)生深入體會全等三角形的性質(zhì).

1. 實(shí)踐觀察——感知概念

教學(xué)中教師可給出如圖2所示的生活圖案，讓學(xué)生指出圖案中形狀和大小相同的圖形，并進(jìn)一步列舉生活中相似的圖形，從而引導(dǎo)學(xué)生感知生活中的“全等”. 在此基礎(chǔ)上，教師設(shè)置實(shí)踐活動，讓學(xué)生準(zhǔn)備一張紙，先對折，再在紙上畫一個三角形，用剪刀將三角形剪下來，觀察兩個三角形的形狀和大小有何關(guān)系. 教學(xué)中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)圖形的形狀、大小，從而引出圖形全等的概念，給出三角形全等的概念.

2. 變換探究——體會性質(zhì)

在“變換探究”中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等視角直觀感知全等的性質(zhì)，可設(shè)計側(cè)重圖形動態(tài)變換的活動. 教學(xué)時，教師可先從平移入手，演示三角形平移，即如圖3所示，平移△ABC，得到△DEF;再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三角形翻折，即如圖4所示，在圖紙上任意作△ABC，將△ABC沿著直線AB翻折后得到△ABD;最后，可結(jié)合多媒體，動態(tài)展示△ABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程，如圖5所示.

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐操作、觀察猜想，分析三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后圖形的位置變換，形狀和大小變化，感知全等三角形. 同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形變換前后對應(yīng)角和對應(yīng)邊的大小關(guān)系. 以圖5的幾何旋轉(zhuǎn)為例，△A′BC′可視為是△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)而來，教師要引導(dǎo)學(xué)生指出兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，同時可設(shè)置思考問題：如何證明∠A′BA=∠C′BC？

模型分析中訓(xùn)練思維

在“全等三角形”的判定定理教學(xué)中，教師需要訓(xùn)練學(xué)生的推理思維. 全等三角形的判定定理較多，主要有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，以及直角三角形的“HL”. 教學(xué)時教師需要關(guān)注兩點(diǎn)，一是使學(xué)生感知“S”與“A”的對應(yīng)內(nèi)容，二是掌握應(yīng)用技巧. 從實(shí)踐應(yīng)用、思維培養(yǎng)視角來看，立足幾何模型，開展思維訓(xùn)練，更有利于學(xué)生掌握判定定理. 在實(shí)際教學(xué)中，教師可借助以下幾類模型進(jìn)行探究指導(dǎo).

1. 基本模型

基本模型，即常規(guī)的全等三角形模型，兩三角形的位置排布較為一般，不存在邊或角的重疊關(guān)系：如圖6所示，C是AE的中點(diǎn)，∠A=∠ECD，AB=CD，求證∠B=∠D.

該模型直觀呈現(xiàn)了兩三角形的三邊三角，教學(xué)中教師只需要引導(dǎo)學(xué)生梳理三個基本條件，根據(jù)條件來選取對應(yīng)的判定定理，進(jìn)而做出推理證明即可. 教學(xué)時，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生建立“條件分析→全等證明→性質(zhì)推理”的思維，規(guī)范過程.

2. “共邊”模型

“共邊”模型，即兩個全等三角形含有一組公共邊：如圖7所示，對于△ABC和△BAD，AC和BD相交于點(diǎn)E，已知AD=BC，∠DAB=∠CBA，求證AC=BD.

上述模型直接給出的相等要素為兩個，顯然無法直接證明兩個三角形全等，此時需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩三角形的公共邊，即AB，這是隱含的關(guān)鍵條件. 進(jìn)行推理證明時，教師要指導(dǎo)學(xué)生將該條件呈現(xiàn)在推理過程中，直觀呈現(xiàn)證明全等三角形的三大條件，進(jìn)而由判定定理“SAS”完成推導(dǎo)過程.

3.“共角”模型

“共角”模型，即兩個三角形有一組公共角，所以這兩個三角形在位置上具有“疊放”的特點(diǎn)：如圖8所示，在△ADC和△ABE中，點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在AC和AE上，且AB=AD，AC=AE，求證∠C=∠E.

該模型同樣隱含了條件，即公共角∠A，與兩個等線段條件相結(jié)合可證明△ADC與△ABE全等. 教學(xué)時教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個三角形的共角特點(diǎn)，挖掘隱含條件，由判定定理“SAS”完成推導(dǎo)過程.

總之，利用常規(guī)的三角形全等模型開展思維訓(xùn)練，要立足“全等證明→性質(zhì)推導(dǎo)→應(yīng)用判斷”的解析思路. 全等證明環(huán)節(jié)要充分把握定理，由定理構(gòu)建全等，理清知識原理，逐步培養(yǎng)學(xué)生的解析思維.

圖形剖析中培養(yǎng)幾何直觀

幾何直觀在幾何問題解析中有著重要的作用，有利于學(xué)生理解圖形，發(fā)現(xiàn)特征，其也是幾何內(nèi)容教學(xué)需要重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng). “全等三角形”的章節(jié)教學(xué)同樣需要注重對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng). 教學(xué)中教師可從如下兩個方面來培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力：一是實(shí)踐操作聯(lián)想探究;二是利用輔助線分析問題.

在定理探究的實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力. 以三角形為基礎(chǔ)作平行四邊形為例，教學(xué)中教師先示范用圓規(guī)和直尺將三角形補(bǔ)成一個平行四邊形，接著引導(dǎo)學(xué)生辨析四邊形對角線所分割的兩個三角形的關(guān)系，把握“全等”這一特征. 在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考其他作法. 以圖9為例，已知△ABC，請?jiān)僬乙粋€點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. 教學(xué)時教師可按如下設(shè)問對學(xué)生進(jìn)行思維引導(dǎo).

設(shè)問1：請根據(jù)“對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”這一定理思考確定點(diǎn)D的方法.

設(shè)問2：你還有哪些可以確定點(diǎn)D的方法？請說明理由.

設(shè)問3：觀察圖中三角形的特點(diǎn)，思考平行四邊形對角線所分割的兩個三角形是什么關(guān)系.

解幾何圖形時，利用輔助線分析問題，同樣是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要方式. 所以教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用輔助線思考問題，從而逐步提升思維.

以圖10所示的六邊形為例，已知∠B=∠E，AB=DE，BC=EF，CD=AF，求證：CD∥AF.

教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生明確已知條件與待證結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其中隱含的條件. 首先，教師要讓學(xué)生通過添加輔助線將隱含條件直觀呈現(xiàn)，即連接AC，DF，構(gòu)建“證明△ABC≌△DEF→推導(dǎo)AC=DF→證明四邊形ACDF為平行四邊形→證明AC∥DF”的解析思路. 教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生深度挖掘題目，利用輔助線構(gòu)建已知與未知的聯(lián)系.

總之，“全等三角形”在幾何中有著重要的地位，相關(guān)知識、定理較多，教學(xué)時，教師要注意做到以下幾點(diǎn)：教學(xué)探究要梳理知識，準(zhǔn)確定位內(nèi)容;實(shí)踐探究要以知識生成的方式引導(dǎo)教學(xué);要利用幾何模型訓(xùn)練學(xué)生的思維，重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng).