作者簡(jiǎn)介：羅彪（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作，江北區(qū)骨干教師，曾獲“重慶市優(yōu)秀班主任”等榮譽(yù)稱號(hào).

[摘 要] 教師基于二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解法探究，解法辨析，同時(shí)對(duì)問題進(jìn)行發(fā)散和變式，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，解決問題. 充分關(guān)注課堂生成性問題，激發(fā)學(xué)生的興趣和積極性，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維和解題能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù)最值;一題多解;一題多變;課堂生成

問題的提出

二次函數(shù)作為初中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是初升高銜接的關(guān)鍵內(nèi)容，在全國(guó)近幾年的中考中頻繁出現(xiàn)，而且?guī)缀醵颊紦?jù)了壓軸題的位置，所以在教學(xué)中其重要性不言而喻.

全國(guó)中考對(duì)二次函數(shù)的考查不盡相同，但試題的考點(diǎn)幾乎都指向了“最值”，而且大部分題目都涉及了突出函數(shù)特點(diǎn)的代數(shù)最值. 求拋物線背景下的代數(shù)最值就是二次函數(shù)考查中的這類熱點(diǎn)題型. 它集函數(shù)、幾何于一體，考查方式靈活，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)常常要進(jìn)行比較復(fù)雜的代數(shù)式運(yùn)算、不等式分析和分類討論. 這類題目以能力立意，考查了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“數(shù)學(xué)分析”等核心素養(yǎng)，對(duì)考生的“閱讀”“理解”“推理”“解答”都存在著巨大的挑戰(zhàn). 同時(shí)，也給后面的教學(xué)帶來一定的困難.

怎樣教學(xué)生“分析”？怎樣教學(xué)生“辨析”？怎樣教學(xué)生“理解”？怎樣教學(xué)生“表達(dá)”？怎樣教學(xué)生“應(yīng)用”？帶著這些問題，本文談?wù)勗诮虒W(xué)中處理這類問題的一些教學(xué)策略和教學(xué)反思.

教學(xué)實(shí)踐

1. 試題呈現(xiàn)

如圖1所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3， 0），B（1，0），C（0，3）.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得△PAC的面積最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAC的最大面積.

2. 解法探求

思路1 化動(dòng)為靜，將三角形進(jìn)行割補(bǔ)，探求三角形的面積與動(dòng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系，建立二次函數(shù)，利用函數(shù)的值域求出最大值.

解法1 （1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過A（-3， 0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）（a≠0），將C（0，3）代入上式，得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

（2）如圖2所示，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2-2t+3）（-3<t<0）. 過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AC于點(diǎn)Q，由題意可求得直線AC的解析式為：y=x+3，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，t+3），所以PQ=y-y=-t2-3t，S=PQ·（x-x）=-t2-t= -

t+2+，所以當(dāng)t=-時(shí)，△PAC的面積最大為，此時(shí)P

-，

. 這種求三角形面積的方法也稱為“鉛垂線法”.

解法2 如圖3所示，與解法1相同，先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2-2t+3）·（-3<t<0），連接OP，則S=S+S-S=-

t+2+，所以面積最大為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

-，

.

思路2 要使△PAC的面積最大，觀察知AC是定值，所以只需要P到邊AC的高最大即可. 平移直線AC，直到與拋物線相切，切點(diǎn)P即為所求.

解法3 如圖4所示，易知直線AC的解析式為y=x+3，故設(shè)直線l的解析式為y=x+b，聯(lián)立直線l和拋物線得 -x2-2x+3=x+b①. 由于直線l和拋物線相切，所以Δ=9-4（b-3）=0，解得b=. 再代回方程①解得x=-，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

-，

，此時(shí)A，C，P三點(diǎn)坐標(biāo)已知，易求得面積最大為.

3. 解法反思

解法1和解法2都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，因?yàn)椤鱌AC是兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形，又三邊都不平行于坐標(biāo)軸，直接求解難度較大，故考慮“改斜為直”，轉(zhuǎn)化成若干三角形的面積的和與差. 在教學(xué)的時(shí)候還可以鼓勵(lì)學(xué)生從解法本質(zhì)和多解歸一的角度提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維. 比如，我們可以嘗試提出以下問題供學(xué)生思考：

（1）由解法1可知△PAC的面積本質(zhì)上由什么決定（線段PQ）？

（2）解法1中的“鉛垂線法”為什么要選擇動(dòng)點(diǎn)P作y軸的平行線？

（3）解法1、解法2、解法3它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在哪里？

（4）哪一種解法才算通性通法？

（5）你能否設(shè)計(jì)類似的問題？

4. 課堂生成

在分析完三種解法之后，有學(xué)生提出這樣一個(gè)問題：當(dāng)△PAC最大時(shí)，求出來的點(diǎn)P剛好處于AC“中間”，即x=，這是否是一種巧合？

為了回答這個(gè)問題，筆者馬上找了一個(gè)類似的題目來進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積最大時(shí)，拋物線上的動(dòng)點(diǎn)確實(shí)處于兩個(gè)定點(diǎn)的“中間”. 筆者很快意識(shí)到，這個(gè)猜想有可能是對(duì)的，那么，對(duì)于這個(gè)很有價(jià)值的問題，我們更應(yīng)該從特殊到一般，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法予以證明. 此時(shí)，課堂進(jìn)入了思維的高潮，很多學(xué)生都躍躍欲試，環(huán)境變得安靜了，思維卻流動(dòng)了起來. 在師生的共同努力下，得到了以下證明：

如圖5所示，拋物線y=ax2+bx+c（不妨設(shè)a<0）與直線y=kx+n（k≠0）相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求證：x=.

證明：參考解法3，過點(diǎn)P作直線l∥AB，當(dāng)l與拋物線相切時(shí)，點(diǎn)P即為所求. 設(shè)l的解析式為：y=kx+m，聯(lián)立拋物線和直線l，得y=ax2+bx+c，

y=kx+m，消去y整理，得ax2+（b-k）x+c-m=0. 因?yàn)橹本€l和拋物線相切，所以Δ=0，利用求根公式可得x==. 另一方面，聯(lián)立直線AB和拋物線得y=ax2+bx+c，

y=kx+n，消去y整理，得ax2+（b-k）x+c-n=0. 利用韋達(dá)定理，得x+x=，所以x=，得證.

這個(gè)課堂偶然所得的結(jié)論，一方面可以用來簡(jiǎn)化這類題目的運(yùn)算，另一方面可以用來檢驗(yàn)結(jié)果. 這次發(fā)現(xiàn)讓所有學(xué)生都驚嘆不已，而參與證明的學(xué)生更是終生難忘，這是主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與主動(dòng)學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性. 高效的課堂一定是關(guān)注課堂生成的課堂，這就需要教師擁有一雙慧眼，敏銳地發(fā)現(xiàn)、捕捉、利用這些資源. 當(dāng)課堂上出現(xiàn)動(dòng)態(tài)教學(xué)資源信息時(shí)，教師的第一反應(yīng)應(yīng)該是辨識(shí)其價(jià)值，去偽存真，并做出教學(xué)決策. 只要教師在課堂教學(xué)中，能夠關(guān)注“生成性”， 讓“生成”打破自己的教學(xué)預(yù)設(shè)，那么課堂教學(xué)將會(huì)綻放異樣的光彩.

5. 問題變式

變式教學(xué)是教師通過變換問題中的條件與結(jié)論，改變問題的內(nèi)容或者形式，更換問題的非本質(zhì)特征，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種教學(xué)方式. 這種教學(xué)策略能增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的深刻性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，具有低起點(diǎn)，高思維，大容量的特點(diǎn). 以下是二次函數(shù)面積最值問題的一些變式，供大家參考.

【變式類型一： 變化問題設(shè)置】

變式1：如圖6所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是拋物線在第二象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，如果四邊形PABC的面積最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形PABC的最大面積.

變式2：如圖7所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是拋物線在第二象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)B作BD∥AC交拋物線于點(diǎn)D，連接AD，CD. 如果四邊形PADC的面積最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形PADC的最大面積.

分析 變式1可以將四邊形PABC的面積轉(zhuǎn)化成△PAC和△ABC的面積之和，由于△ABC的面積為定值，故四邊形PABC的面積最值本質(zhì)上就是求△PAC面積的最值. 變式2中，因?yàn)锽D∥AC，所以S=S，所以S=S+S，而△ABC的面積為定值，故四邊形PABC的面積最值本質(zhì)上還是求△PAC面積的最值.

【變式類型二：變化條件設(shè)置】

變式3：如圖8所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，交直線AC于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PQ的最大值.

變式4：如圖9所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M，當(dāng)PM最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PM的最大值.

變式5：如圖10所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC，PN∥y軸交直線AC于點(diǎn)N，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PMN周長(zhǎng)的最大值.

分析 如圖11所示，易知變式3中PQ=PN，變式4中PM=PN，變式5中△PMN的周長(zhǎng)=（1+）PN，所以三種情況的最值最終都由PN的最值決定.

【變式類型三：變化條件和問題】

為了發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，在學(xué)習(xí)完以上內(nèi)容后，筆者鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)類似的最值問題，經(jīng)過合作與討論，得到了以下讓人欣喜的問題.

變式6：如圖12所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）. 點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN∥y軸，交直線AC于點(diǎn)N，求PN+CN的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式7：如圖13所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）. 點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN∥y軸，PM∥BC交AC于點(diǎn)M，求PM-CM的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 變式6，易求得拋物線解析式為y=-x2-2x+3，直線AC的解析式為y=x+3. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2-2t+3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，t+3），所以PN=y-y=-t2-3t，CN=（0-t）= -t，所以PN+CN=-t2-5t= -

t+2+，所以當(dāng)t=-時(shí)，最大值為.

變式7的解答同變式6，可得PN=y-y=-t2-3t，解△PMN得PM=·PN，MN=PN，CM=CN-MN=t2-t，所以PM-·CM=-3t2-7t=-3

t+2+，當(dāng)t=-時(shí)，最大值為.

這兩個(gè)問題的演變從最基本的線段PN最值變成了復(fù)雜的線段和與差組合最值，并且深刻理解了問題的本質(zhì)，能夠合理設(shè)置問題，真正做到了知識(shí)的靈活應(yīng)用. 學(xué)生在原有問題的基礎(chǔ)上得到了思維的發(fā)展，由教師引導(dǎo)，學(xué)生自主提問和發(fā)現(xiàn)的方式，更能激發(fā)學(xué)生的探究熱情，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得到真正的培養(yǎng).

教學(xué)反思

1. 注重解法發(fā)散和解法辨析，促進(jìn)學(xué)生分析問題的能力

一個(gè)問題如果能做到多解，往往能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力，調(diào)用不同的知識(shí)模塊，對(duì)學(xué)生積極思考和總結(jié)歸納都大有裨益. 但是僅僅做到“一題多解”而沒有“多解歸一”或者“多解辨析”，往往就會(huì)停留在論而不深的層次. 在教學(xué)時(shí)既要注意從多解中教會(huì)學(xué)生通性通法，又要教學(xué)生欣賞“優(yōu)解特解”，前者突出本質(zhì)，重視基礎(chǔ)，接近最近發(fā)展區(qū)，后者更加靈活，更富有新意.

2. 巧設(shè)問題變式，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力

多元智能理論的主要?jiǎng)?chuàng)建者加德納認(rèn)為，課堂上真正地理解來自對(duì)少數(shù)主題的深入研討，而不是對(duì)許多內(nèi)容的“泛討論”，變式教學(xué)貴在不變，就是抓住“少”的本質(zhì)，才能衍生出“多”的變化. 變式教學(xué)也貴在變之有道，即變化應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯鏈條，體現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知鏈的合理延伸，變式不是簡(jiǎn)單重復(fù)，而要注重思維層面的提升，幫助學(xué)生尋找變化中不變的本質(zhì).

3. 設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力

愛因斯坦曾說過：提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要. 解決問題是被動(dòng)完成任務(wù)，而提出問題是主動(dòng)思考和創(chuàng)新思維. 盡管這里學(xué)生只是模仿性地編題，其思維價(jià)值也不能低估. 提出一個(gè)好的問題，需要學(xué)生在理解問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上多角度思考，有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而提升數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).