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基于解題經(jīng)驗(yàn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

2023-12-29 00:00:00沈習(xí)輝

作者簡(jiǎn)介:沈習(xí)輝(1977—),本科學(xué)歷,中學(xué)高級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作,宿遷市數(shù)學(xué)骨干教師,宿城區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.

[摘 要] 建構(gòu)主義理論認(rèn)為問(wèn)題的解決需以原有的解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),在新舊問(wèn)題之間建立聯(lián)系是提升解題經(jīng)驗(yàn)的法寶. 本文以“梯形”的解題教學(xué)為例,認(rèn)為有效追問(wèn)能幫助學(xué)生進(jìn)一步理清解題思路,形成解題經(jīng)驗(yàn);引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷嘗試,可讓學(xué)生在自主探索中驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)的可靠性;及時(shí)總結(jié)提煉,可提升學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn),為形成觸類(lèi)旁通的解題能力奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 經(jīng)驗(yàn);追問(wèn);概括

實(shí)際教學(xué)中,有些教師將問(wèn)題的正確答案作為教學(xué)的終點(diǎn),教學(xué)過(guò)程因缺乏追問(wèn)、拓展與總結(jié),導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法形成良好的解題經(jīng)驗(yàn),難以達(dá)到舉一反三的解題能力. 為了改變這一現(xiàn)狀,筆者對(duì)如何幫助學(xué)生形成良好的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了大量的研究,發(fā)現(xiàn)解題教學(xué)從追問(wèn)、嘗試與總結(jié)三個(gè)方面出發(fā),能起到較好的成效.

借助追問(wèn),形成經(jīng)驗(yàn)

學(xué)貴有疑,追問(wèn)屬于創(chuàng)疑的一種方式. 適時(shí)追問(wèn)可引發(fā)學(xué)生思考已經(jīng)回答過(guò)的問(wèn)題,讓學(xué)生進(jìn)一步理清解題思路與方法,為形成解題經(jīng)驗(yàn)奠定基礎(chǔ). 但不少教師僅將目光鎖定在原式問(wèn)題的設(shè)計(jì)與處理上,忽略對(duì)問(wèn)題的拓展與延伸,課堂常因缺乏追問(wèn)導(dǎo)致無(wú)法達(dá)到深度學(xué)習(xí)的階層. 這部分教師在學(xué)生回答問(wèn)題后,直接給予肯定或否定,而不進(jìn)行具體的評(píng)價(jià),導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法在自身原有的基礎(chǔ)上得到更深層次的理解.

獲得結(jié)論并不是最重要的,重要的是獲得結(jié)論的過(guò)程. 追問(wèn)對(duì)促進(jìn)學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累具有重要意義,不論學(xué)生的回答是正確還是錯(cuò)誤,作為一名合格的教師都應(yīng)讓學(xué)生闡述自己的想法,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)結(jié)論形成的追憶暴露真實(shí)的思維過(guò)程,以覺(jué)察思維方法的正確性.

事實(shí)證明,一個(gè)充滿智慧的教師不僅能設(shè)計(jì)出精巧的問(wèn)題,還能根據(jù)學(xué)生的答題情況與思路歷程提出恰當(dāng)?shù)淖穯?wèn),達(dá)到促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)形成的作用.

例1 如圖1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,DA⊥AB,AB=1,CD=4,AD=2,求BC的長(zhǎng).

經(jīng)思考,學(xué)生呈現(xiàn)出如下解題過(guò)程:過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線與線段CD相交于點(diǎn)E,此時(shí)BE與DC垂直,由此可確定四邊形ADEB為一個(gè)矩形,根據(jù)矩形性質(zhì)可知BE=2,CE=3,根據(jù)勾股定理可得BC=.

追問(wèn)1:你是怎樣想到這樣作輔助線的?

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)追問(wèn)的目的在于讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)輔助線得來(lái)的依據(jù),在這個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)下,學(xué)生總結(jié)出:在直角梯形中構(gòu)造出矩形,可以獲得許多相等的量,將多個(gè)條件集中到一起,可以構(gòu)造出待求線段相關(guān)的直角三角形,有了直角三角形就能結(jié)合勾股定理獲得線段的值.

追問(wèn)2: 作出的輔助線和梯形中原有的線段存在聯(lián)系嗎?

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度來(lái)思考輔助線的作法,所作輔助線可從梯形的高出發(fā),也可從AD的平行線或平移AD的角度來(lái)思考. 多視角思考與分析輔助線,不僅豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),還為解題方法的析離奠定基礎(chǔ).

方法總結(jié):追問(wèn)的應(yīng)用,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)作輔助線是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵切入口,輔助線的目的在于集中分散的三邊,至于從什么視角(高、平行或平移)來(lái)作輔助線,可根據(jù)實(shí)際情況來(lái)決定. 在追問(wèn)下,學(xué)生獲得解決這一類(lèi)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)——擇取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)與方法作輔助線.

歷經(jīng)嘗試,驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生獲得一定的解題經(jīng)驗(yàn)后,往往會(huì)有種躍躍欲試的興奮感,教師可趁熱打鐵,結(jié)合學(xué)情與教情設(shè)置難度與梯度恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題,讓學(xué)生嘗試自主應(yīng)用這些經(jīng)驗(yàn),以更進(jìn)一步強(qiáng)化與鞏固學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心,提升學(xué)習(xí)能力. 值得注意的是學(xué)生在原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和新問(wèn)題之間必須有跨度,又有一定的聯(lián)系,切忌出現(xiàn)一步到位的問(wèn)題,要讓學(xué)生擁有經(jīng)驗(yàn)遷移的機(jī)會(huì).

例2 如圖2所示,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=8,BC=17,∠B=55°,∠C=70°,CD的長(zhǎng)是多少?

學(xué)生提出如下解題方法:過(guò)點(diǎn)D作DE與AB平行與BC邊相交于點(diǎn)E. 根據(jù)DE∥AB的條件可知AD=BE,∠CED=55°. 根據(jù)∠C=70°的條件,可知∠CDE=55°,由此可推導(dǎo)出EC=DC. 因?yàn)锳D=8,BC=17,可確定DC=9.

本題與例1有一定關(guān)聯(lián),解題的關(guān)鍵也是作輔助線,但本題通過(guò)矩形的構(gòu)造解決問(wèn)題顯然不行,但從本題所給定角的度數(shù)出發(fā),易聯(lián)想到作平行線構(gòu)造角的方法,過(guò)點(diǎn)D作DE與AB平行與BC邊相交于點(diǎn)E后就構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形,那么AD=BE則自然生成;從∠C=70°的條件,易聯(lián)想到∠CDE=55°,問(wèn)題隨之解決.

從本題作輔助線的方法來(lái)看,除了構(gòu)造出平行四邊形之外,還與例1相似,將盡量多的條件集中到了一個(gè)三角形里面. 借助已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),在解決完本題后,同樣要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)解決問(wèn)題的切入點(diǎn)與所作輔助線和梯形原有線段之間的關(guān)系. 學(xué)生在表述的過(guò)程中發(fā)散思維,認(rèn)為既可以理解為作AB邊的平行線,也可以理解為平移AB邊獲得結(jié)論.

例3 如圖3所示,已知梯形ABCD中的AD平行于BC,AC與BD垂直于點(diǎn)O,AD,BD,BC的長(zhǎng)度分別為3,12,10,求AC的長(zhǎng)度.

過(guò)點(diǎn)A作AE∥DB,與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E. 此時(shí)可獲得以下結(jié)論:∠EAC=90°,AD=EB,AE=BD,由此可推導(dǎo)出CE=BE+BC=13,根據(jù)勾股定理可得AC的長(zhǎng). 同理,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DF,與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,獲得BD的長(zhǎng).

本題與前兩題相比發(fā)生了一些變化,前兩題的輔助線都位于梯形內(nèi)部,而本題的輔助線卻處于梯形外部,這與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)形成矛盾. 認(rèn)知沖突的形成為進(jìn)一步發(fā)展思維奠定了基礎(chǔ),此處需引導(dǎo)學(xué)生分析“本題與前兩題相比,哪里不一樣?解題關(guān)鍵是什么?有什么收獲等”.

學(xué)生將初步形成的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中,不僅進(jìn)一步夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ),還獲得了解題技巧,驗(yàn)證了經(jīng)驗(yàn)的可靠性.

總結(jié)提煉,提升經(jīng)驗(yàn)

解決梯形相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在于作輔助線,學(xué)生一旦經(jīng)歷且積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),形成獨(dú)特的解題技巧后,教師可帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行概括性總結(jié),幫助學(xué)生形成觸類(lèi)旁通的解題能力. 鑒于這些經(jīng)驗(yàn)是零散、無(wú)條理的,教師可帶領(lǐng)學(xué)生將這些零散的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行概括與提煉,形成有序思維.

提煉過(guò)程如下:①帶領(lǐng)學(xué)生思考每一種情況下所作輔助線的共同點(diǎn),將輔助線與原有線段建立關(guān)聯(lián);②從平移的視角來(lái)觀察梯形固有線段,分析其平移后的狀況;③觀察隱含的線段,如梯形的對(duì)角線、高、角平分線等是否可以平移,平移之后會(huì)發(fā)生什么情況?④思考梯形中的線段除了可以進(jìn)行平移處理之外,能否延長(zhǎng)、縮短等;⑤思考線段之外條件的變化,如角的變大或縮小等;⑥熔煉上述思考;⑦甄別已經(jīng)遇到的問(wèn)題,探索輔助線的幾類(lèi)作法,為后續(xù)解題建立路徑次序;⑧遇到復(fù)雜的梯形類(lèi)問(wèn)題,主動(dòng)應(yīng)用如上策略進(jìn)行驗(yàn)證,豐富自身的解題經(jīng)驗(yàn);⑨靈活應(yīng)用所獲得的解題經(jīng)驗(yàn),形成解題能力.

以上步驟的實(shí)施需結(jié)合具體問(wèn)題而定,并非要求完全按部就班地應(yīng)用在解決某一類(lèi)問(wèn)題中,可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行循序漸進(jìn)的逐步滲透,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的研究,總結(jié)提煉解題路徑與方法,再將這些方法遷移到另一類(lèi)問(wèn)題的解決中去,形成良好的循環(huán).

從本節(jié)課梯形問(wèn)題的研究來(lái)看,解決幾何問(wèn)題需依托對(duì)基本元素的變換,如線段的平移旋轉(zhuǎn)或角度的變化等,再結(jié)合嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硇纬山Y(jié)論. 結(jié)合已知條件與待求結(jié)論,通過(guò)對(duì)線或角等基本元素的變化就能突破一些解題障礙,尤其是恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的重中之重.

總之,想要從真正意義上突破“遇到做過(guò)的題目就會(huì),遇到?jīng)]做過(guò)的題目就懵”的狀態(tài),就需從解題經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)著手,讓學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的形成、驗(yàn)證與提升中獲得舉一反三的能力.

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