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選編“形異質(zhì)同”題

2023-12-29 00:00:00李井凡

作者簡介:李井凡(1979—),本科學(xué)歷,中學(xué)一級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.

[摘 要] 傳統(tǒng)的幾何專題課有開放式專題課、數(shù)學(xué)思想方法的專題課、閱讀理解專題課等,近年來以“一圖一課”“微專題課”等為代表的專題教學(xué)漸漸得到很多教師的實踐與研究. 這類課型主題聚焦,求深、求透,能有效提升解題教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞] “形異質(zhì)同”;幾何專題課;一圖一課;回顧反思

近年來幾何專題課得到不少教師的關(guān)注和研究,這類專題課常常聚焦某一個基本圖形或某一類設(shè)問方式,切口較小,有教師將其描述為“微專題課”“一圖一課”等. 下面是筆者整理的最近在備課組內(nèi)開設(shè)的一節(jié)“探究兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系”專題研討課的教學(xué)流程,并跟進(jìn)了一些教學(xué)思考,供大家研討.

“探究兩條線段之間的數(shù)量

關(guān)系”專題課教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1:從經(jīng)典問題出發(fā)

問題1:如圖1所示,四邊形ABCD是正方形,連接對角線BD,作∠CBD的平分線交CD于點E.

(1)求證:DE=CE.

(2)過點D作DH⊥BE,交BC的延長線于點G,垂足為H.

①求證:H是DG的中點;

②若BH上有一點P,滿足PB=PD,探究PD與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

<D:\數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬\2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬(12期)\2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬(12期) c\12-165.tif>[圖1][B][D][C][E][A]

解法預(yù)設(shè)與教學(xué)組織:教師出示正方形ABCD之后,不要急于出示小問,可以先讓學(xué)生回顧基礎(chǔ)問題“若正方形ABCD的邊長為1,求其對角線BD的長”,然后依次研究第(1)(2)問. 對于第(1)問,學(xué)生可以有不同的解法,比如面積法、角平分線的性質(zhì)等,教師可以通過追問讓學(xué)生分享他們的不同思路. 對于第(2)①問,需要學(xué)生補(bǔ)全圖形后,證明△BDH≌△BGH,從而得H是DG的中點;對于第(2)②問,當(dāng)點P滿足PB=PD時,可知△PDH是等腰直角三角形,從而得PD=DH,結(jié)合△BCE≌△DCG,可得BE=DG=2DH,于是BE=PD.

教學(xué)環(huán)節(jié)2:以正方形為背景的題組

問題2:如圖2所示,正方形ABCD的對角線BD所在直線可以看成正方形ABCD的一條對稱軸.

(1)畫出正方形ABCD的所有對稱軸.

(2)如圖3所示,以點B為圓心、BC的長為半徑的圓弧交其中一條對稱軸于點E,連接OE,DE.

①求∠DCE的度數(shù);

②分析OE與DE之間的數(shù)量關(guān)系.

解法預(yù)設(shè)與教學(xué)組織:第(1)問比較基礎(chǔ),讓學(xué)生從軸對稱的角度思考正方形問題,這為第(2)①問構(gòu)造并發(fā)現(xiàn)等邊三角形BCE做鋪墊,于是可得∠DCE=30°. 解決第(2)②問的關(guān)鍵是將解題目光聚焦在△DEO中,分析出該三角形有兩個特殊的銳角30°,45°,從而想到過點E作EH⊥DO,垂足為H,得到DE=OE.

教學(xué)環(huán)節(jié)3:以等腰直角三角形為背景的綜合題

問題3:如圖4所示,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點,∠ACB=90°,AC=BC,連接AP,BP,CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段CP′,連接PP′,AP′.

(1)求證:∠CAP′=∠CBP.

(2)當(dāng)∠APB=135°時,

①求∠PAP′的度數(shù);

②若Q為AB的中點,連接PQ,分析PQ與PP′的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

解法預(yù)設(shè)與教學(xué)組織:第(1)問只需證明△ACP′≌△BCP即可. 第(2)①問可運用第(1)問得到的結(jié)論,將求∠PAP′的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求∠PAC+∠PBC,再借助△ABC中一個重要的“二級結(jié)論”——∠APB=∠PAC+∠PBC+∠ACB得到∠PAP′的度數(shù)為45°. 對于第(2)②問,有不同的構(gòu)造思路,如圖5所示,延長PQ到點M,使MQ=PQ,連接BM,接下來重點攻克△APP′≌△BMP,條件可找“BM=AP,BP=AP′,∠PAP′=∠MBP=45°”. 順便指出,如果延長PQ到點M,使MQ=PQ,連接AM,則可證△APP′≌△APM,條件類似. 以上方法可看成“倍長中線”法. 還可以延長AP到點G,使PG=AP,連接GB,則GB=2PQ,再證△APP′≌△PGB,得GB=PP′,代換即可得到結(jié)論.

教學(xué)環(huán)節(jié)4:回顧反思,布置作業(yè)

小結(jié)問題1:在本課學(xué)習(xí)中,你積累了哪些基本圖形及性質(zhì)?請舉例.

小結(jié)問題2:請結(jié)合本課所學(xué)習(xí)的“問題1~3”,挑選其中某個你認(rèn)為比較有挑戰(zhàn)的問題,將其稍作改編,提出一個不同的問題,先在組內(nèi)交流,組內(nèi)討論后選一個問題在全班展示.

布置作業(yè):

1. 如圖6所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧,交BA的延長線于點E,過點A作AD∥BC,交于點D,連接CD,分析AD,CD之間的數(shù)量關(guān)系.【對應(yīng)“問題2”的第(2)問】

2. 如圖7所示,P為等邊三角形ABC內(nèi)一點,且∠BPC=120°,連接AP,BP,CP,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到AP′,連接PP′,BP′. 設(shè)Q為邊BC的中點,連接PQ,分析PQ與AP之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【對應(yīng)“問題3”的第(2)問】

對幾何專題課的教學(xué)思考

1. 幾何專題課的備課素材重在平時歸類收集

教師在平時的解題研究中要注重對同類問題(同類方法、同類設(shè)問等)進(jìn)行歸類收集,待到要開設(shè)幾何專題課時,這些學(xué)材就能很快找齊. 對于專題課來說,最有價值的是將一些“形異質(zhì)同”問題關(guān)聯(lián)在一起開展教學(xué),這樣能提高學(xué)生的解題能力,能促進(jìn)學(xué)生識別具有相同或相近深層結(jié)構(gòu)問題的能力.

2. 幾何專題課的教學(xué)流程應(yīng)該由易到難展開

開展幾何專題課教學(xué)時,教師宜先從學(xué)生熟悉的經(jīng)典問題出發(fā),讓更多的學(xué)生在開課階段便能理解、參與,然后進(jìn)行一些變式、提升與拓展,把學(xué)生的思維卷入有挑戰(zhàn)的課堂問題中. 教師在課前預(yù)設(shè)的一些鋪墊問題有時可以“密集”一些,但是在實際教學(xué)時要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情相機(jī)呈現(xiàn),比如學(xué)生的學(xué)情較好時,有些鋪墊問題就不急于給出,而是要讓學(xué)生獨立面對挑戰(zhàn),如果有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能貫通思路,則教師可以通過追問暴露其思維過程,讓那些理解稍慢的學(xué)生也能跟上班級節(jié)奏. 這里可提及印發(fā)給學(xué)生的“學(xué)案”的設(shè)計技巧. 一般來說,像上文課例中的“問題”的“題干”和“基礎(chǔ)圖形”均可以印制在“學(xué)案”上,但是后續(xù)設(shè)問一般不“和盤托出”,而是借助課件漸次呈現(xiàn)或相機(jī)出示,這樣的學(xué)案就是所謂的“留白式學(xué)案”.

3. 幾何專題課的小結(jié)與作業(yè)布置要精心預(yù)設(shè)

曹才翰、章建躍兩位先生在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論(第二版)》一書中關(guān)于解題教學(xué)曾指出:“在解題過程中,關(guān)鍵是能靈活地將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的表述方式,而轉(zhuǎn)化的過程就是尋找問題的條件、結(jié)論的等值語言表示,連接相關(guān)通道的過程. 因此,加強(qiáng)‘多元聯(lián)系表示’思想的運用是提高解題能力的基本途徑”. 從上文課例中可以看出,幾何專題課同樣需要教師精心預(yù)設(shè)課堂小結(jié). 上文課例運用兩個小結(jié)問題,促進(jìn)學(xué)生全面回顧、反思本課所學(xué),特別是“小結(jié)問題2”,更是讓學(xué)生參與問題的設(shè)計與改編. 想來,這也是在積極實踐“多元聯(lián)系表示”思想吧!

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