作者簡(jiǎn)介：陳秀娟（1977—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

[摘 要] 基于一次函數(shù)視角看二元一次方程（組）、一元一次方程、一元一次不等式是函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 教學(xué)時(shí)教師可利用PPT將系列問(wèn)題漸次呈現(xiàn)，通過(guò)對(duì)話、追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從舊知過(guò)渡到新知，并學(xué)會(huì)自主歸納、概括新知. 此外，教師要特別重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，可以安排不同的學(xué)生上臺(tái)，結(jié)合圖形演示講解，以便診評(píng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解和掌握情況.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù);一元一次方程;一元一次不等式;數(shù)形結(jié)合

寫在前面

蘇科版教材把“一次函數(shù)”安排在八年級(jí)上冊(cè)，而且是先安排一個(gè)課時(shí)單獨(dú)學(xué)習(xí)一次函數(shù)與二元一次方程之間的關(guān)系，后續(xù)課時(shí)才學(xué)習(xí)“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”（本文簡(jiǎn)稱“三個(gè)一次”）， 所以教師教學(xué)“三個(gè)一次”時(shí)，要充分考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要盡量從上一課已學(xué)內(nèi)容出發(fā)，設(shè)計(jì)開課情境問(wèn)題，然后引出本課要研究的內(nèi)容.

“三個(gè)一次”新授課教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)舊知，引出新知

問(wèn)題1：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn).

（1）自主設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，并在小組內(nèi)說(shuō)說(shuō)你的設(shè)計(jì)意圖;

（2）畫出正比例函數(shù)y=2x的圖象，設(shè)其與直線y=-x+3交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）如圖2所示，設(shè)正比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象與直線y=-x+3交于點(diǎn)P（1，2），那么關(guān)于x的二元一次方程組kx-y=0，

x+y=3 的解是_______.

教學(xué)預(yù)設(shè)：“問(wèn)題1”的各個(gè)小問(wèn)以PPT形式漸次呈現(xiàn). 實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師還可以讓學(xué)生先畫出直線y=-x+3，再畫一個(gè)正比例函數(shù)的圖象，然后提出一個(gè)與一次函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在小組內(nèi)交流. 這個(gè)環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，因?yàn)榕f知中蘊(yùn)含著即將要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 特別地，如果學(xué)生提到了一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，那么就為后續(xù)研究一元一次方程提供了引出情境.

這一環(huán)節(jié)，學(xué)生應(yīng)該會(huì)想到很多問(wèn)題. 當(dāng)然，如果學(xué)生沒有想到一次函數(shù)與二元一次方程（組）相聯(lián)系的問(wèn)題，教師可出示PPT展示一個(gè)相關(guān)問(wèn)題.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：探究新知，歸納概括

問(wèn)題2：以一次函數(shù)y=-x+3為例，剛剛有同學(xué)研究了該函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的問(wèn)題，那如果不畫圖，能否心算出這個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)？你是怎么算的？

教學(xué)預(yù)設(shè)：研究完這個(gè)特例問(wèn)題后，教師可安排學(xué)生繼續(xù)思考一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)與方程2x+4=0的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而推廣到研究一次函數(shù)y=kx+b與一元一次方程kx+b=0的關(guān)系. 最后，讓學(xué)生小結(jié)出一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)一元一次方程的解之間的一般規(guī)律.

小結(jié)之后，教師可安排教材上一道體現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程的例、習(xí)題，從而體現(xiàn)以課本為主線推進(jìn)學(xué)程：一根彈簧的長(zhǎng)度為y，所掛物體的質(zhì)量為x，y與x之間的函數(shù)圖象如圖3所示，則當(dāng)y=35時(shí)，該彈簧所掛物體的質(zhì)量是多少？

教學(xué)環(huán)節(jié)3：繼續(xù)探究，成果擴(kuò)大

問(wèn)題3：繼續(xù)研究直線y=2x+4，根據(jù)圖象，你能否直接說(shuō)出不等式2x+4>0，2x+4<0的解集？

教學(xué)預(yù)設(shè)：安排學(xué)生結(jié)合圖4，以方程2x+4=0的解x=-2為基礎(chǔ)，得到結(jié)論“當(dāng)x>-2時(shí)，y>0，即不等式2x+4>0的解集為x>-2;反之，2x+4<0的解集為x<-2”.

拓展追問(wèn)1：從函數(shù)圖象的視角分析不等式2x+4≥6的解集.

拓展追問(wèn)2：從函數(shù)圖象的視角分析不等式組-2≤2x+4≤6的解集.

教學(xué)預(yù)設(shè)：讓不同的學(xué)生結(jié)合圖5，數(shù)形結(jié)合地演示講解他們的理解. 如果課堂教學(xué)時(shí)間允許，教師還可以安排學(xué)生自主列舉一些不等式，畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合地演示不等式的解集.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)問(wèn)題1：本課學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)視角看一元一次方程，可舉例說(shuō)說(shuō)你是如何理解的嗎？

小結(jié)問(wèn)題2：從函數(shù)圖象的角度分析一元一次不等式x-3>1的解集.

小結(jié)問(wèn)題3：從函數(shù)圖象的角度分析方程x-3=1-x的解，以及不等式x-3>1-x的解集.

設(shè)計(jì)意圖 “小結(jié)問(wèn)題1”主要是從知識(shí)層面組織學(xué)生進(jìn)行回顧，學(xué)生可以通過(guò)舉例說(shuō)出自己的理解;隨后兩個(gè)小結(jié)問(wèn)題則明確要求學(xué)生結(jié)合具體的例子數(shù)形結(jié)合地分析、理解，以反饋學(xué)生對(duì)本課所學(xué)內(nèi)容的掌握情況. 也就是說(shuō)，小結(jié)問(wèn)題的設(shè)計(jì)針對(duì)具體課型應(yīng)有所區(qū)別. 比如有些新授課知識(shí)點(diǎn)多、概念也多，此時(shí)可以側(cè)重于知識(shí)、概念的回顧與梳理，而像本課這樣突出數(shù)形結(jié)合眼光、分析策略的，重在實(shí)際操作與解題運(yùn)用，此時(shí)小結(jié)問(wèn)題可以相機(jī)地運(yùn)用具體習(xí)題來(lái)反饋學(xué)情.

教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1. 遵循教材順序，基于舊知引出新知

教材編寫組都是由數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教研專家、數(shù)學(xué)專家教師等組成的，對(duì)于教材內(nèi)容的編排順序是反復(fù)考量、精心設(shè)計(jì)的. 一般情況下，一線教師在沒有深刻理解的情況下，不宜本著所謂“學(xué)材重組”的理念變動(dòng)教材順序，而應(yīng)盡量遵循教材順序，想清教學(xué)出發(fā)點(diǎn)、學(xué)情生長(zhǎng)點(diǎn)，基于舊知引出新知.

2. 預(yù)設(shè)對(duì)話追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生概括新知

教師在備課時(shí)，除了要研究教材、精心選題而外，還要重視各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中問(wèn)題的呈現(xiàn)方式. 筆者以為，教師首先要加強(qiáng)對(duì)話追問(wèn)的過(guò)渡語(yǔ)的預(yù)設(shè). 比如，不必急于呈現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題的全貌（有些習(xí)題單式導(dǎo)學(xué)案常有類似現(xiàn)象），可以使用PPT出示一個(gè)問(wèn)題的題干，讓學(xué)生理解、讀懂題干之后，再安排學(xué)生想想能提出怎樣的問(wèn)題. 如果學(xué)生能想出貼近本課的問(wèn)題，教師可順勢(shì)引出本課要研究的問(wèn)題，這樣的對(duì)話追問(wèn)就起到了很好的問(wèn)題過(guò)渡作用. 另外，教師要重視啟發(fā)式教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生概括新知. 比如，對(duì)于一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，教師要讓學(xué)生從圖象中觀察一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與相應(yīng)的一元一次方程的根之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后讓學(xué)生變式舉例，從不同的角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納、概括規(guī)律，最后走向一般，概括本課所學(xué)的新知. 如果學(xué)生概括的語(yǔ)句不夠完整或有缺陷，教師可組織活動(dòng)進(jìn)一步完善或修正，體現(xiàn)新知生成的“曲折”——數(shù)學(xué)概念的生成常常有“由粗糙到精致”的過(guò)程.

3. 重視數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生感悟方法

從函數(shù)觀點(diǎn)看方程、不等式的教學(xué)關(guān)鍵就是訓(xùn)練學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題的能力. 史寧中教授在一些報(bào)告中反復(fù)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是‘看’出來(lái)的”，大概也包含這樣的思想. 以本文關(guān)注的課例來(lái)說(shuō)，教師要重視學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題的能力的培養(yǎng). 比如，在復(fù)習(xí)舊知環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)照兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，說(shuō)出對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解;在引出新知環(huán)節(jié)，讓學(xué)生指著圖象，辨別一次函數(shù)圖象（直線）與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并指出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解;在變式拓展環(huán)節(jié)，讓學(xué)生畫圖分析一次函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍與對(duì)應(yīng)的一次不等式的解集之間的關(guān)系.