作者簡介：殷成葉（1981—），本科學(xué)歷，一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.

[摘 要] 中考幾何最值問題是各地熱點考題，學(xué)校備課組在復(fù)習備考期間都會加強對這類問題的復(fù)習研究.如果能將一些同類的最值問題“集中”在一起，根據(jù)由易到難、由特殊到一般的邏輯順序展開教學(xué)，并注重預(yù)設(shè)“啟發(fā)式問題”促進學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)思路，這樣做不但能讓學(xué)生掌握一類最值問題的解答策略，還可以促進學(xué)生明辨形異質(zhì)同的同類問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] 幾何最值問題;微專題教學(xué);形異質(zhì)同;啟發(fā)式問題

中考幾何最值問題是各地中考試卷中的熱點問題，如何開展這類問題專題訓(xùn)練與復(fù)習備課，成為不少學(xué)校備課組集體備課的一個重要課題. 在最近一次集體備課活動中，筆者承擔了一節(jié)中考幾何最值微專題的主備任務(wù)，經(jīng)過全組教師的交流討論，最后打磨成一節(jié)具有特例引路、變式鞏固、拓展挑戰(zhàn)的幾何最值微專題課例. 本文整理該課教學(xué)設(shè)計，并給出教學(xué)立意的闡釋，提供研討.

教學(xué)環(huán)節(jié)1：特例出發(fā)，積累模型

問題1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點D在BC上，且BD=AC，連接AD，分析AD的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 由∠ACB=90°聯(lián)想到點C在直徑AB的圓上運動，如圖2所示，取AB的中點O，連接OC，過點B作BQ⊥AB，使BQ=OA，連接QD，可證△QBD≌△OAC，得QD=OC=QB，即點D在以Q為圓心，QB為半徑的圓弧上運動，連接AQ，則AD≥AQ-DQ=-1. 即AD的最小值為-1.

同類再練 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=AC，連接AD，當AB=4時，求AD的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 圖3與圖1相比，只是圖形位置發(fā)生了變化，本質(zhì)仍然是同類問題，如果學(xué)生解答有困難，可提示他們將圖形“適當旋轉(zhuǎn)”，就可轉(zhuǎn)化為“問題1”. AD的最小值為2-2.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：變式呈現(xiàn)，運用模型

問題2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC上，且BD=AC，連接AD. 分析的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 與“問題1”相比，本題沒有提供三角形的邊長，待求中，分子、分母都是“變量”，讓我們先“控制”其中一個變量AB. 取AB中點O，連接OC，過B點作BQ⊥AB，使QB=AO，連接DQ，由“問題1”的分析經(jīng)驗，不妨設(shè)AB=2c，AO=BQ=DQ=c，ADS7gZyTGyvAlSkBR/cgX8lNHZj4zeAytupS26tBLnAsg=≥AQ-DQ=（-1）c. 于是AD的最值為（-1）c. 即的最小值為.

同類再練 如圖6所示，四邊形ABCD是正方形，點P在直線AD上，連接BP，CP. 分析的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 如果學(xué)生感覺有困難，預(yù)設(shè)如圖7所示的圖形位置，用虛線隱去正方形，補出垂線段PH，可發(fā)現(xiàn)PH=BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為圖4、圖5的“結(jié)構(gòu)”，分析的最小值仍然是.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：走向一般，成果擴大

問題3 如圖8所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在AC上有一點D，且CD=AB，連接BD，分析BD最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 首先聯(lián)想到△ABC的外接圓，如圖9所示，設(shè)它的圓心為P，連接AP，BP，CP，可得∠BPC=2∠BAC=120°，所以BP=PC=2，過C作CO⊥BC，使OC=PB，連接OD，導(dǎo)角得到∠OCD=∠PBA，這樣可證△OCD≌△PBA（SAS），于是OD=PA=PB=PC=2，在Rt△BCO中，BO=4，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值為2.

變式 如圖10所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在邊AC上有一點D，且CD=AB，連接BD，分析BD的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè) 思路與“問題3”類似，只是構(gòu)造出的△OCD∽△PBA，相似比為，這樣在Rt△BCO中，BO=，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值為-1.

成果擴大 如圖11所示，在△ABC中，BC=a，∠BAC=θ，在邊AC上有一點D，且BD=k·AB，連接BD，分析BD的最小值（用含a，k，θ的式子表示）.

教學(xué)預(yù)設(shè) 與前面“特例圖形”的思路類似，構(gòu)造如圖12所示分析，BP=，OC=k·BP，OB2=BC2+OC2=BC2

+1，進一步可求出BD=OB-OD=（-k）.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)問題1 本課研究的系列問題中，前后都有一定的關(guān)聯(lián)，你是如何理解它們之間的聯(lián)系的？舉例說說.

小結(jié)問題2 你對本課中哪道問題印象較深？你能否對它做一些變式，提出一個同類問題，并讓你的同桌說說解題的思路？

布置作業(yè) 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，在邊BC上有一點P，且BP=AC，連接AP，分析AP的最小值.

解法預(yù)設(shè) 構(gòu)造如圖13所示，△PBO∽△CAK，則∠CAB=30°+∠CAK，∠ABC=90°-∠CAB，OP=OB=AK=2，∠ABO=∠ABC+∠PBO=90°，AO=2，AP≥AO-PO=2-2.

對于微專題教學(xué)，教師要重視同類問題的研究，要促進學(xué)生辨明“形異質(zhì)同”，要善于預(yù)設(shè)“啟發(fā)式問題”.