作者簡(jiǎn)介：胡君妍（1992—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

[摘 要] 以等邊三角形為背景的補(bǔ)圖綜合題是一類高頻考題，文章選取一些相關(guān)考題并將其改編成3組“問題串”，開展專題教學(xué)，使得聚焦專題開展訓(xùn)練. 教學(xué)過程中，教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考、補(bǔ)全圖形，因?yàn)椤把a(bǔ)圖不準(zhǔn)”，后續(xù)繼續(xù)求解則無意義.

[關(guān)鍵詞] 專題教學(xué);等邊三角形;補(bǔ)圖問題;關(guān)鍵步驟

最近一次中考模擬練習(xí)時(shí)，學(xué)生對(duì)一道以等邊三角形為背景的補(bǔ)圖綜合題適應(yīng)性不好. 為了做好講評(píng)工作，筆者選取等邊三角形為背景的多道綜合題，將其改編成3組“問題串”，研發(fā)成一節(jié)專題課，在學(xué)校備課組內(nèi)集中開展了聽評(píng)課活動(dòng)，取得較好的教學(xué)效果. 本文整理該課主要教學(xué)活動(dòng)和設(shè)計(jì)意圖，提供課例研討.

活動(dòng)1：在等邊三角形的內(nèi)部

補(bǔ)圖探究

問題1 如圖1所示，在等邊三角形ABC中，D，E是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，且AD=AE.

（1）請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)問題并解決，然后小組內(nèi)交流;

（2）設(shè)點(diǎn)F在邊AC上，且CF=CE，點(diǎn)M為AE的中點(diǎn)，連接FM并延長交AB于點(diǎn)G，連接DF，DG. 依題意將圖1補(bǔ)全，猜想△DFG的形狀，并證明.

設(shè)計(jì)意圖 第（1）問是開放式問題，學(xué)生可能會(huì)提出“求證BD=CE”“求證∠BAD=∠CAE”之類具有對(duì)稱性的問題，其能促進(jìn)學(xué)生對(duì)題干條件下的問題進(jìn)行準(zhǔn)確的理解. 解決第（2）問時(shí)，先讓學(xué)生獨(dú)立補(bǔ)圖，得到圖2后，再證明△DFG為等邊三角形. 如果學(xué)生沒有思路，教師要啟發(fā)學(xué)生由條件“CF=CE”想到輔助線“連接EF”，得到等邊三角形CEF，這對(duì)于后續(xù)證明“△AGM≌△EFM”起到了重要的作用. 接著，當(dāng)?shù)玫紸G=EF=FC=CE=BD之后，再證△DFG為等邊三角形就是之前教材上曾經(jīng)練習(xí)過的一道基礎(chǔ)題了.

活動(dòng)2：基于等邊三角形的補(bǔ)圖

與對(duì)稱最值探究

問題2 如圖3所示，△ABC是等邊三角形，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在中線AD上運(yùn)動(dòng)（E不可取A點(diǎn)，可取D點(diǎn)），點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F. 連接AF，EF，BF.

（1）在圖3中補(bǔ)全圖形，并證明△AEF是等邊三角形;

（2）當(dāng)BF為最大值時(shí)，先找出點(diǎn)F，并連接AF，BF，BF與AC交于點(diǎn)P. 在AF上存在一點(diǎn)Q，使PQ+QC的值最小，比較該最小值與線段BP的大小;

（3）在邊AC上存在一點(diǎn)M，同時(shí)滿足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，請(qǐng)指出此時(shí)MC與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 第（1）問是基礎(chǔ)題，學(xué)生容易補(bǔ)圖成圖4，能初步感知題干條件. 對(duì)于第（2）問，學(xué)生需要先分析出∠BAF是直角，△ABF是直角三角形，當(dāng)斜邊BF最大時(shí)，AB為定長，則只需AF最大即可，而根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，AF=AE，故當(dāng)AE=AD時(shí)AF取得最大值，于是可構(gòu)造出圖5. 再運(yùn)用“光線的鏡面反射性質(zhì)”（也稱“將軍飲馬”），在圖5的基礎(chǔ)上構(gòu)造出圖6進(jìn)行分析，PQ+QC的值最小時(shí)即PC′的長，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)可得到圖6中△ACC′也是等邊三角形，從而PC′=BP. 第（3）問需要分步理解，先構(gòu)造圖7分析，滿足BM-ME的值最大時(shí)，應(yīng)該延長BE交AC于點(diǎn)M;而滿足BM+ME的值最小時(shí)點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F. 連接BF交AC于點(diǎn)P，當(dāng)P，M重合時(shí)同時(shí)滿足上述條件，即圖8的情形，此時(shí)點(diǎn)B，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)在同一直線上，容易看出MC與AC的數(shù)量關(guān)系是AC=2MC.

活動(dòng)3：圍繞等邊三角形的不同

位置關(guān)系補(bǔ)圖與求值問題

問題3 如圖9所示，△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)A作AB的垂線l，點(diǎn)D在該垂線l上，連接CD，以CD為邊在其右側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE，BD.

（1）在圖9中找出與△ACE全等的三角形，并說明理由;

（2）設(shè)AB=a，求△CDE的面積的最小值（用含a的式子表示）;

（3）若AD=，AE=. ①求△ABC的周長;②求△CDE的邊長.

設(shè)計(jì)意圖 第（1）問，在圖9中容易看出△BCD與△ACE全等. 第（2）問求△CDE的面積的最小值，想CD取得最小時(shí)，符合要求. 即過點(diǎn)C作CD⊥l，垂足為D. 此時(shí)CD=AC=a，相應(yīng)地S的最小值為a2. 第（3）問需要考慮點(diǎn)D不同位置的圖形（如圖10、圖11所示）. 根據(jù)（1）中兩個(gè)三角形全等的解題進(jìn)展，可得BD=AE=. 在Rt△ABD中（如圖10、圖11所示），都有BD2=AB2+AD2，可解得AB=2，即△ABC的周長為6. 如圖10所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A右邊時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥l于點(diǎn)H，由∠HAC=30°，可得CH=AC=，AH=AC=3，則DH=AH-AD=，在Rt△CDH中運(yùn)用勾股定理可解出△CDE的邊長CD=;如圖11所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A左邊時(shí)，類似地可得CD=.

活動(dòng)4：課堂小結(jié)

小結(jié)問題1：本課關(guān)注的等邊三角形綜合題探究，不少問題都需要先補(bǔ)全圖形，你在補(bǔ)圖過程中積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

小結(jié)問題2：以等邊三角形為背景的綜合題探究過程中，有時(shí)準(zhǔn)確、快速識(shí)別出繁雜圖形中的特殊三角形，往往能快速打開思路. 你在本課學(xué)習(xí)時(shí)，哪道習(xí)題中的哪個(gè)特殊三角形形給你留下了較深的印象？說說你是如何理解的.

小結(jié)問題3：有些補(bǔ)圖問題如果忽略分類討論，則會(huì)漏解. 你覺得本課“問題3”中要想嚴(yán)謹(jǐn)解題，在閱讀題干條件時(shí)要重視哪些關(guān)鍵詞句？