基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)策略研究”（D/2020/02/349），江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期立項(xiàng)課題“移動互聯(lián)時代提高初中生自主學(xué)習(xí)能力的實(shí)踐研究”（2019JK13-L314）.

作者簡介：林松（1974—），本科學(xué)歷，正高級教師，多次參加揚(yáng)州市義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測命題和中考命題工作，主持江蘇省第三、四、五屆鄉(xiāng)村骨干教師培育站工作.

[摘 要] 數(shù)學(xué)探究是一個學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生獲取新知的一條有效途徑. 文章通過“定弦定角”模型的探究教學(xué)片段實(shí)錄和分析，說明在探究教學(xué)中教師一定要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，用問題引發(fā)學(xué)生積極思考;要加強(qiáng)師生共同合作，激發(fā)思維的碰撞，讓探究不斷深入;要促進(jìn)知識建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維生長，讓思維之花競相綻放.

[關(guān)鍵詞] 問題;探究;猜想;推理;思維;變式;思維;最小值

數(shù)學(xué)探究就是“學(xué)生遇到某個數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)情境時，通過觀察、分析、推測數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，并尋找、驗(yàn)證數(shù)學(xué)事實(shí)及結(jié)論，給出相關(guān)規(guī)律或結(jié)論的解釋或證明，同時反思所得結(jié)論以期形成新問題”[1]. 因此，教師在探究教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，用問題激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)、反思、建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維意識和能力的發(fā)展，讓思維之花在課堂綻放. 下面以一節(jié)“定弦定角”模型的習(xí)題教學(xué)為例，談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考.

教學(xué)片段實(shí)錄

習(xí)題呈現(xiàn) 如圖1所示，正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，小亮以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中F，G兩點(diǎn)都在直線AE上，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，F(xiàn)，G，H三點(diǎn)與點(diǎn)B重合. 則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為____，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為____.

教學(xué)過程

師：請大家閱讀題目，思考如何解決此問題.

學(xué)生讀題并動手畫出點(diǎn)E在不同位置的圖形（如圖2所示）. 學(xué)生直觀感覺到點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧.

生1：我認(rèn)為點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧.

師：為什么點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑是圓弧？

生1：因?yàn)椤螲為定角90°，BC為定弦，根據(jù)“定弦定角”模型可知，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑是以BC為直徑的四分之一圓.

生2：生1說得不對！我們不知道C，G，H三點(diǎn)是否共線，所以不能確定圓周角∠CHB就是∠GHB.

師：有道理！那大家能證明C，G，H三點(diǎn)共線嗎？

生1：連接CG，證∠CGA=90°.

師：大家試試看！

學(xué)生嘗試證明，沒有人能證出∠CGA=90°.

生3：老師，能不能連接CH，證明∠CHB=90°？

師：你當(dāng)然可以試試！

生3嘗試證明，發(fā)現(xiàn)不能證明∠CHB=90°.

教學(xué)分析 學(xué)生動手畫圖是一種實(shí)踐操作，它讓學(xué)生以實(shí)驗(yàn)者的身份進(jìn)行操作探究. 學(xué)生通過畫圖、觀察、歸納，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)經(jīng)過的路徑可能是圓弧. 這種從“實(shí)驗(yàn)操作”到“歸納猜想”的經(jīng)驗(yàn)獲得非常重要，是科學(xué)探究的重要方法. 但僅有猜想還不夠，還需要科學(xué)的論證. 在以上教學(xué)活動中，“點(diǎn)經(jīng)過的路徑是什么”是學(xué)生必須思考的問題，這一問題必然會引發(fā)學(xué)生思考，而當(dāng)學(xué)生猜想可能是圓弧時，又必須面對如何進(jìn)行科學(xué)論證這一問題.

一段時間后，生4舉手發(fā)言.

生4：剛才的兩種思路都不太好證明，我有一個新的思路. 延長HG交BC于點(diǎn)C′，利用“ASA”可證△ABF≌△C′BH，所以C′B=AB. 所以點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合. 所以C，G，H三點(diǎn)共線（如圖3所示）.

師：非常好！這樣我們就可以判斷點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑是以BC為直徑的四分之一圓了. 那么，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑為什么是圓弧呢？

生5：如圖2所示，因?yàn)樵邳c(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，∠AGC一直為90°，而∠AGC所對的線段為定線段AC，所以點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑是以AC為直徑的四分之一圓.

師：非常好！

教學(xué)分析 數(shù)學(xué)菲爾茨獎獲得者、著名數(shù)學(xué)家托姆提出：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要應(yīng)是一個自發(fā)探究的過程. ”生4用“同一法”證明了“C，G，H三點(diǎn)共線”，生5在生4結(jié)論的基礎(chǔ)上，根據(jù)“定弦定角”模型判斷出“點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑是以AC為直徑的四分之一圓”，這兩個學(xué)生在實(shí)踐操作的基礎(chǔ)上，通過自發(fā)探究，從理性上論證了猜想的正確性.

師：大家還有什么考慮嗎？

生6：老師！我不需要證C，G，H三點(diǎn)共線，就可以判斷點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑是弧. 連接BG，則∠AGB=45°，在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，∠AGB保持不變，所對的線段AB保持不變，根據(jù)“定弦定角”模型可以判斷點(diǎn)G在過A，B，C三點(diǎn)的圓上，且在從點(diǎn)C到點(diǎn)B這一段劣弧上（如圖4所示）.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（12期）＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（12期） c＼12-136.tif>[圖4][B][D][C][E][A][F][G][H]

師：太棒了！過A，B，C三點(diǎn)的圓的直徑是不是就是線段AC？由此是不是可以判斷直徑AC所對的圓周角∠AGC為90°了？

生（齊）：是的！

師：這說明了什么？

生（齊）：C，G，H三點(diǎn)共線！

師：是的！這樣就用另一種方法說明了C，G，H三點(diǎn)共線.

教學(xué)分析 生6另辟蹊徑，用自己的方法判斷出點(diǎn)G在過A，B，C三點(diǎn)的圓上. 通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了另一種證明“C，G，H三點(diǎn)共線”的方法. 這些結(jié)論的探究會讓整個課堂充滿生機(jī)，活力四射，會讓學(xué)生的獲得感油然而生，會讓數(shù)學(xué)方法和結(jié)論不斷呈現(xiàn).

師：大家還有什么思考嗎？（稍停）既然點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑是以BC為直徑的弧，那么BC的中點(diǎn)Q到點(diǎn)H的線段是不是半徑？

生（齊）：是！

師：那反過來，如果我們能證明BC的中點(diǎn)Q到點(diǎn)H的距離恒為BC，是不是也能說明點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑在以BC為直徑的☉Q上？

生（齊）：是！

師：請大家嘗試證明！

學(xué)生嘗試證明，生7板演如下：取AB的中點(diǎn)P，連接FP，QH. 易得PB=QB，∠PBF=∠QBH，F(xiàn)B=HB，所以△PBF≌△QBH. 所以QH=PF. 而在Rt△AFB中，因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，所以PF=AB. 所以QH=BC. 所以點(diǎn)H在以BC的中點(diǎn)Q為圓心、BC的長為半徑的圓上（如圖5所示）.

師：完全正確！我們是否也可以同樣地思考點(diǎn)G的運(yùn)動路徑問題？

生8：在Rt△ACG中，斜邊AC的中點(diǎn)O到點(diǎn)G的線段的長為AC，所以點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心、AC的長為半徑的圓上（如圖6所示）.

師：回答正確！根據(jù)以上探究我們可以明確“點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧”. 這就能很方便地求出相應(yīng)的弧長了.

教學(xué)分析 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.[2]”數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、探究、再創(chuàng)造的過程. 從“猜想”到“論證”是一個順向的過程，通過這個過程，師生共同探究，根據(jù)“定弦定角”模型確定點(diǎn)運(yùn)動的路徑是圓弧. 作為教師，不能止步于此，既然已經(jīng)能夠證明運(yùn)動路徑是圓弧，那是不是可以根據(jù)圓的定義來證明呢？因此，教師就此展開引導(dǎo)，拋出新的問題讓學(xué)生去思考并解決，讓探究在課堂中更加深入.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（12期）＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（12期） c＼aa-1.jpg> 教學(xué)思考

1. 培養(yǎng)問題意識，引發(fā)積極思考

探究始于問題，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的主動性和積極性主要源于一個個充滿疑問的問題. 亞里士多德說過：“思維是從疑問和驚奇開始的. ”因?yàn)橐蓡柲苁箤W(xué)生從心理上感到茫然，產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，從而激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促使學(xué)生積極思考. 因此，培養(yǎng)和強(qiáng)化學(xué)生的問題意識在探究教學(xué)中尤為重要，它是造就創(chuàng)新人才的關(guān)鍵. 在本案例教學(xué)中，學(xué)生閱讀題目后首先考慮的問題是“點(diǎn)經(jīng)過的路徑是什么”，學(xué)生通過動手操作，猜想“點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧”. 為什么是圓??？為什么點(diǎn)C，G，H三點(diǎn)共線？不證明三點(diǎn)共線是否可以判斷“點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧”？……這一系列問題的出現(xiàn)讓學(xué)生的思維一下子活躍了起來，學(xué)生的探索熱情隨之迸發(fā)，于是他們立刻圍繞問題自主尋求或自主建構(gòu)答案與理由.

問題意識是學(xué)生認(rèn)識活動中意識到一些解決的、疑惑的問題時產(chǎn)生的一種懷疑、困惑、焦慮的心理狀態(tài). 這種心理狀態(tài)使學(xué)生積極思維，不斷地提出問題和解決問題[3]. 教學(xué)中學(xué)生時刻會在心里產(chǎn)生新問題，也會思考不同的解決問題的方法. 教學(xué)中，因時間關(guān)系不可能一一讓學(xué)生進(jìn)行展示，這時教師就要相機(jī)誘導(dǎo)，讓學(xué)生去探索和思考最有價(jià)值的問題. 例如，用證明BC的中點(diǎn)Q到點(diǎn)H的距離恒為BC來說明點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑在☉Q上. 這個問題學(xué)生可能一時想不到，但經(jīng)過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生會覺得這個問題很有意義，而且經(jīng)過大家的共同努力，也確實(shí)證明了這一結(jié)論的正確性. 這樣的教學(xué)能有效地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，能讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)來源于問題，問題是數(shù)學(xué)的心臟.

2. 加強(qiáng)師生合作，激發(fā)思維碰撞

“水本無華，相蕩乃生漣漪;石本無火，相擊而生靈光. ”要想全面認(rèn)識問題，僅憑個人的力量一時難以解決或不夠全面，此時需要師生合作探究，發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，思考問題并解決問題. 在上述教學(xué)中，核心問題是研究點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑是什么，師生通過“實(shí)驗(yàn)操作—?dú)w納猜想—驗(yàn)證或證明”這一過程進(jìn)行探索. 生1根據(jù)“定弦定角”判斷點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑是圓弧，生2立刻提出反對意見，理由是“不知道C，G，H三點(diǎn)是否共線”. 在生4和生5的積極參與下，大家終于形成一致意見——點(diǎn)H和點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑都是圓弧. 生6則另辟蹊徑，用自己的方式判斷出點(diǎn)G在過A，B，C三點(diǎn)的圓上，同時也讓大家發(fā)現(xiàn)了另一種證明“C，G，H三點(diǎn)共線”的方法，讓探究進(jìn)入高潮. 最后，作為課堂的組織者，教師又從另一個視角進(jìn)行了引導(dǎo)——根據(jù)路徑是圓弧這一結(jié)論，讓學(xué)生從圓的定義角度去思考. 這種從“結(jié)論”找“方法”的思考，讓學(xué)生耳目一新，取得了非常好的探究效果. 在整個教學(xué)過程中，師生合作，并在教師的點(diǎn)撥和引導(dǎo)下，在學(xué)生獨(dú)立思考和互動的共同作用下，學(xué)生之間相互影響，探究不斷深入和拓展，學(xué)生的思維品質(zhì)得到了提升. 課堂因師生的合作而生彩，思維之花競相綻放.

3. 促進(jìn)知識建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維生長

知識不能急于拿給學(xué)生，而要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的探究與發(fā)現(xiàn)過程. 學(xué)生在知識建構(gòu)過程中，可以經(jīng)歷“特例→猜想→歸納→猜想一般結(jié)論→驗(yàn)證或者證明一般結(jié)論”的過程，這些直接體驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)直觀，建構(gòu)真正的數(shù)學(xué)理解. “定弦定角”問題是一類有固定解題思路和方法的數(shù)學(xué)問題，這類問題的解決建立在學(xué)生認(rèn)真分析，通過“定弦定角”找“隱圓”的基礎(chǔ)之上. 當(dāng)然，也可以反向思考，即想得出答案，就必須具備怎樣的條件，在猜想的基礎(chǔ)上一步步找出隱含條件，以解決問題. 所以我們探究教學(xué)的目的不僅要教探究活動的結(jié)果（答案），而且要呈現(xiàn)探究活動的必要過程——暴露數(shù)學(xué)探究的思維活動. 只有這樣，才能讓探究教學(xué)成為師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程，才能讓學(xué)生在知識的建構(gòu)中實(shí)現(xiàn)思維的不斷成長.

結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教學(xué)生學(xué)會思考”. 數(shù)學(xué)探究教學(xué)要積極培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，要讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并利用觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、驗(yàn)證等方法分析問題和解決問題;要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生主動探索，放飛思維;在師生合作中，教師要點(diǎn)而不破，道而弗牽，讓學(xué)生用心去感悟，用自己的方式去思考. 數(shù)學(xué)教學(xué)要站在數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值高地，以數(shù)學(xué)學(xué)科的情懷去構(gòu)筑數(shù)學(xué)思想方法及學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主探尋解決問題的路徑和方法，讓學(xué)生的思維之花競相綻放.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐斌艷. 高中數(shù)學(xué)教材探究內(nèi)容的分析指標(biāo)體系及比較研究[J]. 課程·教材·教法，2012，32（10）：35-49.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]任恩剛，張衛(wèi)蘋. 問題探究教學(xué)能力的培養(yǎng)[M]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)出版社，2009.