宋召靜 金晶

摘要：以學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)行為為載體，對(duì)H市某高中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行測(cè)評(píng)研究.結(jié)果表明：高中生數(shù)學(xué)抽象能力處于中等水平且學(xué)生之間差異較大；數(shù)學(xué)抽象能力水平受性別因素影響較??；學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與數(shù)學(xué)抽象能力水平之間具有正向相關(guān)性.最后，針對(duì)調(diào)查結(jié)果，提出培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象能力的函數(shù)教學(xué)策略.

關(guān)鍵詞：高中生；函數(shù)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)抽象能力；測(cè)評(píng)研究

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).作為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的基礎(chǔ).文獻(xiàn)[3]中指出，在眾多數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力中，數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)性的關(guān)鍵能力，是形成數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、提升數(shù)學(xué)思想、完成命題推演的必備能力.函數(shù)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的重要環(huán)節(jié).因此，在函數(shù)相關(guān)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的、關(guān)聯(lián)的和綜合的問(wèn)題情境中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，從函數(shù)圖象中抽象出符號(hào)化的語(yǔ)言，利用通性通法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效提升.

為客觀了解現(xiàn)階段高中生數(shù)學(xué)抽象能力情況，筆者對(duì)H市某高中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行了調(diào)查研究，并針對(duì)學(xué)生現(xiàn)狀提出了一些具體的函數(shù)教學(xué)策略.

一、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

本研究選擇H市某高中的高二學(xué)生作為研究對(duì)象，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修部分“函數(shù)”相關(guān)的內(nèi)容.本次調(diào)查以問(wèn)卷的形式展開(kāi)，共在四個(gè)班級(jí)（兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班、兩個(gè)普通班）發(fā)放160份問(wèn)卷，回收有效測(cè)評(píng)問(wèn)卷148份，占比92.5%，調(diào)查結(jié)果有效.

2.研究工具

本研究借鑒文獻(xiàn)[3]對(duì)于數(shù)學(xué)抽象能力的三級(jí)水平的劃分（歸納與釋義水平、關(guān)聯(lián)與建構(gòu)水平、拓展與普適水平），將其作為數(shù)學(xué)抽象能力測(cè)量框架.問(wèn)卷中的測(cè)試題主要選自《〈普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）〉解讀》中的案例和云南師范大學(xué)凡丹設(shè)計(jì)的關(guān)于數(shù)學(xué)抽象水平研究的測(cè)試卷，測(cè)試題的選取既考慮了學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性和順序性，又考慮了教師教學(xué)的任務(wù)安排進(jìn)度，共計(jì)4道題目，滿(mǎn)分51分.規(guī)定學(xué)生得分率在10% ～ 40%之間達(dá)到歸納與釋義水平、40% ～ 70%之間達(dá)到關(guān)聯(lián)與建構(gòu)水平、70%以上達(dá)到拓展與普適水平.調(diào)查問(wèn)卷主要借鑒文獻(xiàn)[5]中編制的量表，共計(jì)15道題目.其中，第1題和第2題為學(xué)生的基本信息統(tǒng)計(jì)，包括性別和平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)；第3 ～ 8題調(diào)查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；第9 ～ 15題調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)策略.

二、研究結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

本調(diào)查旨在分析當(dāng)前高中生數(shù)學(xué)抽象能力的整體情況，主要包括性別對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力有無(wú)影響，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與抽象能力水平的相關(guān)關(guān)系.在研究這些問(wèn)題之前，從以下方面對(duì)問(wèn)卷內(nèi)容的可靠性進(jìn)行分析.

1.信度和效度分析

除去基本信息，對(duì)148份調(diào)查問(wèn)卷中學(xué)生所得分?jǐn)?shù)進(jìn)行信度分析，利用SPSS軟件可靠性分析，采用信度系數(shù)的一致性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Cronbachs Alpha為0.866 > 0.70，屬于可以接受的范圍，具有良好的信度，說(shuō)明問(wèn)卷結(jié)果具有較強(qiáng)的可靠性.

對(duì)問(wèn)卷中四道測(cè)試題的效度進(jìn)行分析，采用KMO和Bartlett檢驗(yàn)，得到KMO值為0.772 > 0.60，顯著性為0.000 < 0.05，表明該數(shù)據(jù)適合做因子分析，說(shuō)明題目之間具有一定的關(guān)聯(lián)性，題目的效度良好，能夠較好地反映高中生數(shù)學(xué)抽象能力的現(xiàn)狀.

2.高中生數(shù)學(xué)抽象能力的整體情況分析

本文選擇柯?tīng)柲缏宸?斯米諾夫（KolmogorovSmimiov）檢驗(yàn)來(lái)確定學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力總體表現(xiàn)得分是否滿(mǎn)足一致性.由表1可知，Sig. = 0.059 > 0.05，表明學(xué)生抽象能力整體表現(xiàn)得分呈正態(tài)分布，并在如圖1所示的Q-Q圖中看到大多數(shù)點(diǎn)分布在直線(xiàn)附近，表明學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力表現(xiàn)得分服從正態(tài)分布.

對(duì)于測(cè)試卷中的四道題目，被試的最高得分為48分，最低得分為12分，相差36分，說(shuō)明學(xué)生之間數(shù)學(xué)抽象能力整體得分差距比較明顯；被試總體平均分為30.18分，得分率為59.18%，說(shuō)明高中生數(shù)學(xué)抽象能力整體處于中等水平.

按照數(shù)學(xué)抽象能力評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)處于歸納與釋義水平、關(guān)聯(lián)與建構(gòu)水平、拓展與普適水平的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)有29.73%的學(xué)生（44人）數(shù)學(xué)抽象能力處于歸納與釋義水平，這部分學(xué)生存在對(duì)公式符號(hào)混亂使用的情況，教師要因材施教，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.有60.81%的學(xué)生（90人）達(dá)到關(guān)聯(lián)與建構(gòu)水平，這部分學(xué)生能選擇適切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵并建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系.高中函數(shù)知識(shí)具有完整的邏輯體系，對(duì)于這部分學(xué)生而言，在理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)函數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)命題推廣到一般形式，并選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵.僅有9.46%的學(xué)生（14人）達(dá)到了拓展與普適水平，這些學(xué)生能夠創(chuàng)造性表征問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用通性通法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.通過(guò)測(cè)試發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生不能較好地處理難度較大的綜合性問(wèn)題，較為典型的是學(xué)生難以解決數(shù)學(xué)建模類(lèi)問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生的創(chuàng)新能力不足.

3.差異性分析

在本次調(diào)查的148名被試中，包含71名男生和77名女生，采用獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)來(lái)分析性別對(duì)于數(shù)學(xué)抽象能力是否有顯著影響，數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.可以直觀地看到，男生和女生在數(shù)學(xué)抽象能力三個(gè)水平上的整體差異較小.

綜上所述，高中生的數(shù)學(xué)抽象能力水平幾乎不受性別因素影響，即學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)抽象能力的高低與性別的相關(guān)性不顯著.

4.相關(guān)性分析

在了解學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力水平的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探討影響學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的因素，分別將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行相關(guān)性分析，得到結(jié)果如表3所示.

表3的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果表明，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)與數(shù)學(xué)抽象能力的相關(guān)系數(shù)r = 0.395** > 0，P = 0.000 < 0.01，說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)與數(shù)學(xué)抽象能力之間存在顯性的正相關(guān)關(guān)系，即數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)胶?，?shù)學(xué)抽象能力越強(qiáng)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)抽象能力的相關(guān)系數(shù)r = 0.408** > 0，P = 0.000 < 0.01，說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)抽象能力之間存在顯性的正相關(guān)關(guān)系，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣越高，數(shù)學(xué)抽象能力越強(qiáng)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與數(shù)學(xué)抽象能力的相關(guān)系數(shù)r = 0.405** > 0，P = 0.000 < 0.01，說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與數(shù)學(xué)抽象能力之間存在顯性的正相關(guān)關(guān)系，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略越優(yōu)化，數(shù)學(xué)抽象能力越強(qiáng).

三、研究結(jié)論

通過(guò)數(shù)據(jù)分析，總結(jié)高中生數(shù)學(xué)抽象能力現(xiàn)狀如下.

（1）高中生的數(shù)學(xué)抽象能力整體處于中等水平，且學(xué)生個(gè)體間的數(shù)學(xué)抽象能力差異較大，教師在教學(xué)過(guò)程中還需要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

（2）高中生的數(shù)學(xué)抽象能力水平幾乎不受性別因素影響，即男生和女生之間的數(shù)學(xué)抽象能力并無(wú)明顯差異.

（3）高中生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與數(shù)學(xué)抽象能力之間均呈現(xiàn)較強(qiáng)的正相關(guān).

四、函數(shù)教學(xué)中生成數(shù)學(xué)抽象能力的路徑

數(shù)學(xué)抽象能力對(duì)學(xué)生理論知識(shí)的掌握和應(yīng)用能力的發(fā)展都有著不可忽視的影響，而函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵.對(duì)此，筆者基于調(diào)查結(jié)果，從教師的教和學(xué)生的學(xué)兩個(gè)方面，提出關(guān)于函數(shù)教學(xué)的一些建議，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

1.引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，鍛煉學(xué)生的抽象思維

由調(diào)查結(jié)果可知，當(dāng)前高中生的數(shù)學(xué)抽象能力整體處于中等水平.對(duì)此，在有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，教師要有目的地引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，不斷尋找新、舊知識(shí)的連接點(diǎn)，使教學(xué)建立在學(xué)生通過(guò)一定的努力和思考可以達(dá)到要求的知識(shí)水平，從而全面發(fā)展學(xué)生的抽象思維.此外，針對(duì)學(xué)生個(gè)體之間數(shù)學(xué)抽象能力差異較大的現(xiàn)狀，教師要針對(duì)不同層次的學(xué)生精心設(shè)計(jì)不同形式的教學(xué)活動(dòng)，以促進(jìn)學(xué)生抽象能力的提高.例如，在“函數(shù)的單調(diào)性的概念”的教學(xué)中，若直接給出教材中的定義，學(xué)生會(huì)感覺(jué)很抽象，難以理解.對(duì)此，教師要讓知識(shí)生動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，熟悉符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)方法，進(jìn)而給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)，鍛煉學(xué)生的抽象思維.

2.創(chuàng)設(shè)新穎的教學(xué)情境，直擊函數(shù)知識(shí)本質(zhì)

調(diào)查結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣越高的學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力越強(qiáng).因此，教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)新穎、有趣的教學(xué)情境，提升學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的研究興趣，進(jìn)而更容易接受并內(nèi)化所學(xué)知識(shí).教師在創(chuàng)設(shè)概念教學(xué)情境時(shí)，需要考慮學(xué)生已有的認(rèn)知水平、知識(shí)背景，以及所創(chuàng)設(shè)的情境與函數(shù)知識(shí)本質(zhì)之間聯(lián)系的緊密性，從而有效激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望，進(jìn)而主動(dòng)去探索、去發(fā)現(xiàn)，并在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力.

3.夯實(shí)理論學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，形成系統(tǒng)知識(shí)框架

學(xué)會(huì)構(gòu)建知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，有序構(gòu)建函數(shù)知識(shí)體系是提升學(xué)生抽象能力的一個(gè)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略.學(xué)生理論基礎(chǔ)越扎實(shí)、知識(shí)框架越清晰，其數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程就會(huì)越順利.高中函數(shù)知識(shí)具有高度的邏輯性和順序性，知識(shí)之間又相互聯(lián)系.在函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，教師要注重學(xué)生對(duì)基本概念的掌握，不僅要幫助學(xué)生理解有關(guān)的概念、定理和法則，還要促使學(xué)生理解有關(guān)概念的內(nèi)涵和外延，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)整體把握.因此，在保證學(xué)生了解、掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，教師要更加注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)融會(huì)貫通的能力，幫助學(xué)生建立自身的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，歸納解決同類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，為抽象綜合性問(wèn)題打好思維基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成與提升.

4.融合信息技術(shù)，助力學(xué)生抽象過(guò)程

高中階段主要以動(dòng)態(tài)的方式刻畫(huà)函數(shù)，這對(duì)學(xué)生的抽象能力提出了更高的要求.對(duì)此，教師要仔細(xì)鉆研教材，采用多種教學(xué)形式，恰當(dāng)?shù)貙⑿畔⒓夹g(shù)融入函數(shù)教學(xué)中，以直觀、動(dòng)態(tài)的形式生成知識(shí)，化抽象為具體，讓學(xué)生有效參與知識(shí)抽象的全過(guò)程.例如，在“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)活動(dòng)中，教師可以利用信息技術(shù)精準(zhǔn)地呈現(xiàn)多個(gè)函數(shù)圖象，以便于學(xué)生的直觀觀察，進(jìn)而歸納出指數(shù)函數(shù)圖象的兩種變化趨勢(shì)，并在此基礎(chǔ)上分類(lèi)討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，歸納其共同特征，最終抽象出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的抽象性是客觀存在的，并且隨著知識(shí)的拓展其抽象程度也在不斷提高.在函數(shù)教學(xué)中，教師要把握內(nèi)容特點(diǎn)，找到數(shù)學(xué)抽象、函數(shù)知識(shí)和學(xué)生學(xué)習(xí)能力之間的契合點(diǎn)，以有效促進(jìn)學(xué)生抽象能力的提高.

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