蘭孝健，國 凱，孫 杰

（山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061）

1 引言

隨著制造產(chǎn)業(yè)升級與相關(guān)領(lǐng)域技術(shù)研究拓展，工業(yè)機(jī)器人在切削加工方向地位日益重要，其應(yīng)用也成為新的熱點(diǎn)。雖然工業(yè)機(jī)器人具有高靈活性、低成本、智能化等優(yōu)勢，其串聯(lián)式結(jié)構(gòu)剛度低的特點(diǎn)導(dǎo)致的加工誤差與顫振問題，給機(jī)器人在多種加工方式中的使用推廣帶來不可忽視的阻礙。目前，各大科研機(jī)構(gòu)及企業(yè)也將機(jī)器人銑削系統(tǒng)剛度作為降低機(jī)器人誤差、提高加工質(zhì)量及穩(wěn)定性等問題研究中的重點(diǎn)研究對象。

在認(rèn)定連桿不可變形的前提上，由Salisbury提出的傳統(tǒng)剛度模型分析，于機(jī)器人末端位置，其笛卡爾剛度矩陣的相關(guān)因素為機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度與該位置的雅可比矩陣［1］。由此可得，為獲得真實(shí)的機(jī)器人剛度矩陣結(jié)果，解決機(jī)器人加工過程中的誤差與顫振問題，必須有效實(shí)現(xiàn)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的剛度辨識(shí)［2］。

近些年來，相關(guān)科研人員關(guān)于機(jī)器人剛度分析也進(jìn)行了大量工作，除傳統(tǒng)剛度模型外也提出了增強(qiáng)型剛度模型、柔度矩陣式剛度模型等多種建?；A(chǔ)手段［1-4］。針對剛度參數(shù)的辨識(shí)也提出了靜載荷試驗(yàn)辨識(shí)與動(dòng)載荷試驗(yàn)辨識(shí)兩類方法［5］。在剛度辨識(shí)試驗(yàn)研究中也取得了相當(dāng)?shù)某晒?，辨識(shí)方法流程也趨于完善。但是在目前已有研究工作中，試驗(yàn)多于空載或小負(fù)載條件下進(jìn)行，難以反映實(shí)際大負(fù)載加工條件下的真實(shí)剛度結(jié)果，另外，剛度辨識(shí)試驗(yàn)中多通過變換機(jī)器人位姿施加負(fù)載的手段進(jìn)行變形數(shù)據(jù)測量與剛度結(jié)果計(jì)算，對其他試驗(yàn)方案的探索不足?；谝陨喜蛔悖捎貌煌谝酝芯康脑囼?yàn)方式，通過綜合優(yōu)化施力機(jī)構(gòu)安放位置與機(jī)器人位姿的方法，實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)中負(fù)載力施加方向的優(yōu)化。同時(shí)選用較大負(fù)載，使計(jì)算所獲剛度結(jié)果更加符合實(shí)際加工工況。在獲得計(jì)算剛度結(jié)果后對其進(jìn)行驗(yàn)證比較，以證明計(jì)算剛度的精確。

以COMAU SMART5 NJ 165-3.0 機(jī)器人為例，確定其DH 參數(shù)模型的確立原則，基于傳統(tǒng)剛度模型進(jìn)行分析，并通過安裝于末端法蘭的ATI六維力傳感器獲取承受負(fù)載分力數(shù)據(jù)，對應(yīng)的變形位移數(shù)據(jù)由FARO激光跟蹤儀檢測記錄，計(jì)算機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度值并設(shè)計(jì)驗(yàn)證試驗(yàn)以證明所求剛度的準(zhǔn)確性，最終獲得一種標(biāo)準(zhǔn)化且精確的機(jī)器人系統(tǒng)剛度識(shí)別求解手段。

2 機(jī)器人DH參數(shù)模型與靜剛度模型

針對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)方向的建模分析是對其進(jìn)行研究尤其是剛度辨識(shí)研究的必要條件。采用標(biāo)準(zhǔn)D-H法建立機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系［6］，坐標(biāo)系建立于結(jié)構(gòu)中各桿后端的關(guān)節(jié)處，且與該連桿固連，即前一坐標(biāo)系i-1與對應(yīng)的關(guān)節(jié)i對齊，同時(shí)規(guī)定該坐標(biāo)系i-1的z軸即為機(jī)器人關(guān)節(jié)i的軸線，但其轉(zhuǎn)向不完全跟該關(guān)節(jié)軸轉(zhuǎn)向相同，限定坐標(biāo)系x正向?yàn)橄噜弮蓏軸間的公共垂線方向，y軸方向則通過右手定則判斷［7］。最終可得到的機(jī)器人各關(guān)節(jié)連桿坐標(biāo)系，如圖1所示。并把整個(gè)機(jī)器人加工系統(tǒng)的基坐標(biāo)系標(biāo)記為0。另外，機(jī)器人各連桿長度尺寸數(shù)據(jù)，如圖2所示。

圖1 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系Fig.1 Robot Link Coordinate System

圖2 機(jī)器人連桿參數(shù)圖Fig.2 Robot Link Parameter Diagram

根據(jù)辨識(shí)的COMAU SMART5 NJ 165-3.0機(jī)器人數(shù)據(jù)，其DH模型參數(shù)，如表1所示。

表1 D-H模型參數(shù)Tab.1 D-H Parameters

表中：θ—對應(yīng)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角；α—相鄰軸線間所成角度；a—z軸間沿公法向的距離長度，即對應(yīng)連桿尺寸；d—相鄰x軸間距離，即相鄰桿之間的距離。

為使整體建模過程得到簡化，降低具體計(jì)算難度，采用傳統(tǒng)剛度模型完成對機(jī)器人加工系統(tǒng)剛度模型的建立。機(jī)器人關(guān)節(jié)多存在易彈性變形且剛度較低的傳動(dòng)部件，由于重載機(jī)器臂剛度大，在允許載荷范圍內(nèi)均可將各關(guān)節(jié)處的變形合量認(rèn)定為機(jī)器人的末端法蘭處變形［8］。同時(shí)，基于外載荷作用下引起的變形統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，驅(qū)動(dòng)、傳動(dòng)等部件引發(fā)變形于總變形中占絕大部分［9］，因此首先進(jìn)行變形假設(shè)：視機(jī)器人連桿為不可變形的剛性桿，而將關(guān)節(jié)視為扭簧，并以常量矩陣來表示關(guān)節(jié)剛度。因此由假設(shè)可將機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度矩陣表示為[Kθ]=diag [Kθ1Kθ2Kθ3Kθ4Kθ5Kθ6]的形式［10］，式中：Kθi—機(jī)器人第i個(gè)關(guān)節(jié)的剛度，且為常量也是待求量。機(jī)器人笛卡爾剛度矩陣K與其關(guān)節(jié)剛度矩陣Kθ的關(guān)系可表示為：

即為上文提到的傳統(tǒng)剛度模型，式中：J—雅克比矩陣。

3 基于MATLAB的實(shí)驗(yàn)條件參數(shù)優(yōu)化

針對剛度辨識(shí)試驗(yàn)設(shè)計(jì)加工了安裝于機(jī)器人法蘭處的專用加載測量裝置，作為負(fù)載力施加位置，并進(jìn)行變形測量。其中，裝置留有激光跟蹤儀靶球固定點(diǎn)，變形測量通過激光跟蹤儀設(shè)備主體實(shí)現(xiàn)。因此結(jié)合裝置形狀尺寸以及試驗(yàn)現(xiàn)場的環(huán)境限制，需要在施力機(jī)構(gòu)位置優(yōu)化建模過程中注意以下幾個(gè)問題：

（1）負(fù)載力矢量不能與末端裝置、機(jī)器人本體，現(xiàn)場其他物品和設(shè)備干涉。

（2）末端測量點(diǎn)需要易于測量，靶球反射不能偏離激光光軸。

（3）獲得施力機(jī)構(gòu)位置可以穩(wěn)定放置，不能超出場地范圍。

基于以上問題，分別在優(yōu)化計(jì)算中進(jìn)行了限制。

針對防止干涉的問題，從機(jī)器人末端法蘭面開始分別將安裝板、末端裝置、激光跟蹤儀靶球等各部分結(jié)構(gòu)建立為圓柱模型，并表示負(fù)載力矢量?；谒◣缀文Ｐ筒⑼ㄟ^函數(shù)求解力矢量與所有末端結(jié)構(gòu)模型間是否存在交點(diǎn)，最終保留無交點(diǎn)結(jié)果。另外限制施力裝置放置范圍，防止與機(jī)器人本體、現(xiàn)場其他物品和設(shè)備干涉。針對可測量性的問題，表示測量設(shè)備信號(hào)接收端點(diǎn)與機(jī)器人末端測量點(diǎn)間矢量，并求解各矢量與機(jī)器人第6軸軸線間的夾角，將所有夾角最大值限制于末端靶球可測量角度60°之內(nèi)，從而保證可測量性。

因此，可將該位置優(yōu)化問題視為有約束優(yōu)化問題，并基于以上限制，在MATLAB程序中分別設(shè)置對應(yīng)條件與取值范圍，進(jìn)行坐標(biāo)與位姿角度計(jì)算，選用MATLAB中優(yōu)化功能函數(shù)fmincon進(jìn)行計(jì)算。其中，計(jì)算所用的坐標(biāo)數(shù)據(jù)均設(shè)置或轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)基坐標(biāo)系下結(jié)果?？紤]計(jì)算結(jié)果精度與時(shí)間合理性，對函數(shù)選項(xiàng)進(jìn)行設(shè)置，算法選用序列二次規(guī)劃法，并設(shè)置函數(shù)及變量的終止限度均為10-16，函數(shù)最大評價(jià)次數(shù)為20000。在優(yōu)化過程中，進(jìn)行了多次不同初值選取，多個(gè)最終優(yōu)化結(jié)果對比表明其結(jié)果與該因素?zé)o緊密聯(lián)系。獲取初始優(yōu)化位置結(jié)果后，將施力結(jié)構(gòu)擺放到對應(yīng)位置以驗(yàn)證是否可用，從而保證了最終位置結(jié)果的可用性。多次迭代計(jì)算后，得到的最佳位置結(jié)果與機(jī)器人位姿組合，如表2、表3所示。

表2 迭代計(jì)算生成負(fù)載位置坐標(biāo)結(jié)果Tab.2 Load Position Coordinate Results After Iterative Calculation

表3 迭代計(jì)算生成關(guān)節(jié)角度結(jié)果Tab.3 Joint Angle Results After Iterative Calculation

4 關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)試驗(yàn)

4.1 試驗(yàn)設(shè)備

試驗(yàn)設(shè)備包括COMAU機(jī)器人，F(xiàn)ARO三維激光跟蹤儀，負(fù)載施力機(jī)構(gòu)，ATI六維力傳感器及專用末端測量裝置。施力機(jī)構(gòu)通過鋼絲繩將負(fù)載力施加到機(jī)器人末端，激光跟蹤儀通過設(shè)備與靶球測量機(jī)器人末端x、y、z三向位移變化，ATI力傳感器連接法蘭與專用測量裝置并實(shí)時(shí)測量六自由度負(fù)載力信號(hào)與轉(zhuǎn)矩信號(hào)。機(jī)器人型號(hào)為COMAU SMART5 NJ 165-3.0，其設(shè)計(jì)負(fù)載為165kg。

4.2 試驗(yàn)方案

基于胡克定律分析機(jī)器人剛度計(jì)算中力與變形關(guān)系設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，其試驗(yàn)原理圖，如圖3所示。將測量裝置安裝于末端，調(diào)整機(jī)器人關(guān)節(jié)角度至預(yù)定位姿并將施力裝置安放于優(yōu)化后坐標(biāo)，保證負(fù)載力的方向。向施力機(jī)構(gòu)吊盤中添加負(fù)載，滑輪改變力的方向，實(shí)現(xiàn)將拉力施加到機(jī)器人末端。

圖3 剛度辨識(shí)試驗(yàn)原理圖Fig.3 Principle Diagram of Stiffness Identification Test

試驗(yàn)時(shí)每次添加10kg重物負(fù)載，逐步添加至100kg?？蛰d狀態(tài)及每次添加負(fù)載后分別測量4個(gè)測量點(diǎn)對應(yīng)變化的坐標(biāo)5次，取其平均值作為當(dāng)前位置坐標(biāo)。在測量靶球坐標(biāo)的同時(shí)，記錄力傳感器示數(shù)并取平均值，改為基坐標(biāo)系下實(shí)際負(fù)載分力，作為計(jì)算負(fù)載力的分力數(shù)據(jù)。坐標(biāo)值與分力值分別減去空載狀態(tài)的值則可獲得每組負(fù)載下的變形量與負(fù)載分力?；跈C(jī)器人笛卡爾剛度模型中的力與變形規(guī)律，并根據(jù)已建立的機(jī)器人剛度模型，計(jì)算求出機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度［11］，試驗(yàn)現(xiàn)場，如圖4所示。

圖4 剛度辨識(shí)試驗(yàn)現(xiàn)場圖Fig.4 Diagram of Stiffness Identification Test

4.3 試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算及分析

試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)基于機(jī)器人基坐標(biāo)系，機(jī)器人笛卡爾剛度矩陣、負(fù)載力與變形量滿足胡克定律F=KΔX，其中力矢量表示為：

變形矢量表示為：

式中：K—（6×6）機(jī)器人笛卡爾剛度矩陣。

將式（1）代入胡克定律可得式（2）：

優(yōu)化后的加載位置共有6個(gè)，且4個(gè)測量點(diǎn)位置均進(jìn)行10組測量，并忽略轉(zhuǎn)角和扭矩的影響，因此A矩陣最終維數(shù)為（720 × 6），記作A0。變形矢量最終為（720 × 1），記作ΔX0。由于矩陣與變形向量的規(guī)格問題，不能用正常矩陣求解手段，因此通過近似誤差最小的近似解表示最終結(jié)果［13］，即為式（5）：

通過矩陣偽逆計(jì)算，可獲得誤差最小近似[Kθ]C為：

式中：A0l—A0的廣義逆。

根據(jù)測量數(shù)據(jù)計(jì)算得到的剛度結(jié)果為（單位：N·mm/rad）：

剛度計(jì)算過程中，由于獲取數(shù)據(jù)不包括三方向的扭轉(zhuǎn)分量，為確保結(jié)果的正確，廣義力矢量的取值考慮了扭矩產(chǎn)生的影響，其數(shù)據(jù)進(jìn)行了補(bǔ)償。

4.4 關(guān)節(jié)剛度的驗(yàn)證

在進(jìn)行剛度辨識(shí)試驗(yàn)并求解獲得關(guān)節(jié)剛度矩陣后，設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證試驗(yàn)并記錄數(shù)據(jù)，用以證明所求剛度矩陣可靠有效。根據(jù)所獲剛度矩陣求解理論變形量，并計(jì)算所有實(shí)際變形量與理論變形量的差值。

選取4組可用位姿，在原有試驗(yàn)方案條件的基礎(chǔ)上，分別添加50kg與100kg負(fù)載，同時(shí)4個(gè)測量點(diǎn)均記錄變形量與力傳感器示數(shù)，將驗(yàn)證試驗(yàn)獲得的負(fù)載力利用所求剛度矩陣計(jì)算其對應(yīng)變形量。同時(shí)，還選用了六組未優(yōu)化位姿進(jìn)行同樣的剛度矩陣計(jì)算，并代入驗(yàn)證試驗(yàn)負(fù)載力獲得對應(yīng)理論變形量。在計(jì)算獲得兩組剛度對應(yīng)理論變形后，分別求解其與驗(yàn)證試驗(yàn)測量得到的實(shí)際變形的偏差，并將差值統(tǒng)一取正可得兩組偏差絕對值，如圖5所示。

圖5 實(shí)際變形量與理論變形量的偏差絕對值分布Fig.5 The Absolute Value Distribution of the Deviation Between Actual and Theoretical Deformation

驗(yàn)證試驗(yàn)及數(shù)據(jù)對比結(jié)果證明通過該剛度辨識(shí)方法所得結(jié)果的準(zhǔn)確性，表明提出方法切實(shí)可行，能夠精確辨識(shí)的機(jī)器人系統(tǒng)的關(guān)節(jié)剛度矩陣，且相較任意位姿求解結(jié)果精確度有較大提升。

5 結(jié)論

通過綜合優(yōu)化施力裝置的位置與機(jī)器人位姿的試驗(yàn)方式，而不是采用以往常用的簡單挑選變換機(jī)器人位姿的手段，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人剛度辨識(shí)。該方法相對以往試驗(yàn)方式，考慮因素更全面，其流程更為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)，為試驗(yàn)優(yōu)化方向提供新的選擇。同時(shí)，合理設(shè)置優(yōu)化過程中的位姿角度取值范圍，可有效避免位姿調(diào)整過程中的奇異位姿，也可保證了機(jī)器人靈巧性指標(biāo)。因此，通過提出的剛度辨識(shí)試驗(yàn)方式，在保證結(jié)果準(zhǔn)確的前提下也降低了風(fēng)險(xiǎn)，可獲得更為合理的試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果。

同時(shí)，在剛度辨識(shí)試驗(yàn)中除位姿優(yōu)化外，引入了負(fù)載施力裝置安放位置優(yōu)化?；贛ATLAB軟件為負(fù)載位置選擇提供了規(guī)范化的程序，通過幾何建模約束防止負(fù)載鋼絲繩與其他試驗(yàn)設(shè)備及現(xiàn)場環(huán)境干涉，在保證了可加載性的同時(shí)也考慮了變形可測量性，因此實(shí)現(xiàn)了試驗(yàn)方案及參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化選擇，其剛度辨識(shí)試驗(yàn)結(jié)果也更為接近實(shí)際結(jié)果。相對于常用的小負(fù)載辨識(shí)，在試驗(yàn)中選用了較大的負(fù)載，更加貼近實(shí)際加工工況，因此數(shù)據(jù)更加反映了真實(shí)結(jié)果。

提出的機(jī)器人剛度矩陣辨識(shí)方法，為機(jī)器人剛度分析提供了全新的研究手段，也為將來機(jī)器人加工研究提供了更為精確的剛度結(jié)果。