陳 瑞，任春光，何 俊

（1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院基礎(chǔ)部，河南 鄭州 451191；2.鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002）

1 引言

作為一種典型的工業(yè)機(jī)器人，機(jī)械臂具備了普通機(jī)器人的多變量、時(shí)變性、耦合和高非線性等特點(diǎn)。由于不確定性干擾的存在，對(duì)機(jī)械臂的控制性能也有很大的影響，導(dǎo)致機(jī)械臂控制中出現(xiàn)軌跡偏離的情況。目前，軌跡偏離控制已經(jīng)成為一個(gè)亟需解決的問(wèn)題。在這個(gè)背景下，有較多學(xué)者研究了軌跡偏離控制方法，其中，文獻(xiàn)［1］研究了基于偽逆的導(dǎo)軌機(jī)械臂關(guān)節(jié)速度糾偏運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法，該方法預(yù)先分析機(jī)械臂的鉸鏈角度和末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)狀況，利用偽逆算法分析速度層面上的冗余度，設(shè)計(jì)時(shí)變函數(shù)來(lái)約束關(guān)節(jié)速度，使得偏差的關(guān)節(jié)速度與期望值相一致，實(shí)現(xiàn)軌跡偏離控制；文獻(xiàn)［2］研究了基于深度學(xué)習(xí)的混聯(lián)機(jī)械臂軌跡運(yùn)動(dòng)容錯(cuò)方法，該研究預(yù)先判斷關(guān)節(jié)矢量之間的關(guān)系，提高了跟蹤誤差校正的收斂性。然后在DBNs模型的基礎(chǔ)上，對(duì)混合機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)分析，并對(duì)其進(jìn)行了全局優(yōu)化，基于各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)，結(jié)合深度學(xué)習(xí)的容錯(cuò)性，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡偏離控制。

當(dāng)前研究的方法雖然能夠?qū)崿F(xiàn)軌跡偏離控制，但是會(huì)受到擾動(dòng)情況的影響，導(dǎo)致糾偏效果較差，已經(jīng)逐漸不能適應(yīng)機(jī)械臂的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤需求，需要建立更精準(zhǔn)的控制模型。

隨著智能控制理論的不斷發(fā)展，RBF法已經(jīng)成為一種有效的復(fù)雜模型求解方法。該方法是一種基于函數(shù)逼近原理的前饋型網(wǎng)絡(luò)，其學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)是尋找最優(yōu)的數(shù)據(jù)擬合平面，以適應(yīng)多維空間的數(shù)據(jù)訓(xùn)練需求。由于其自身的自組織和自學(xué)習(xí)特性，使得它可以很好地解決非線性映射問(wèn)題，這使得RBF法在自動(dòng)控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在系統(tǒng)辨識(shí)、非線性控制、故障診斷和容錯(cuò)控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。

基于上述分析，設(shè)計(jì)一個(gè)應(yīng)用RBF 法的機(jī)械臂軌跡偏離控制數(shù)學(xué)模型，期望提高對(duì)機(jī)械臂軌跡偏離的控制效果。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在控制機(jī)械臂軌跡偏離情況前，首先對(duì)三軸工業(yè)機(jī)械臂展開運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并分析其相關(guān)參數(shù)。然后在求解機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的基礎(chǔ)上，判斷關(guān)節(jié)角狀態(tài)，為后續(xù)的偏離測(cè)量奠定基礎(chǔ)。

以三軸工業(yè)機(jī)械臂為例展開研究，如圖1所示。

圖1 三軸工業(yè)機(jī)械臂Fig.1 Three Axis Industrial Manipulator

該機(jī)械臂的相關(guān)參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)械臂參數(shù)Tab.1 Manipulator Parameters

利用D-H參數(shù)法對(duì)該三軸工業(yè)機(jī)械臂展開運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，如圖2所示。

圖2 三軸工業(yè)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)建模Fig.2 Kinematics Modeling of Three-Axis Industrial Manipulato

圖2中，連桿可以被視為是一個(gè)剛體結(jié)構(gòu)，{}

i坐標(biāo)系固接于連桿i的末端。3個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂具有3+1個(gè)連桿。關(guān)節(jié)I的軸線即為坐標(biāo)系的z軸，關(guān)節(jié)I與連桿i-1相連接。連桿包括長(zhǎng)度l和扭轉(zhuǎn)角β兩個(gè)參數(shù)，通過(guò)連桿的偏移量s和關(guān)節(jié)角θ可以描述關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)量。相關(guān)參數(shù)的說(shuō)明，如表2所示。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模相關(guān)參數(shù)Tab.2 Kinematic Modeling Related Parameters

3 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角狀態(tài)分析

在設(shè)計(jì)軌跡偏離控制前，預(yù)先對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解進(jìn)行求解。逆解是根據(jù)末端位置和姿態(tài)判斷關(guān)節(jié)位置［3］。首先，利用DH參數(shù)法構(gòu)建機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。連桿間的變換矩陣可以表示為如下形式：

為方便分析，在每根連桿處各建立一套坐標(biāo)系用于分析連桿間的相互關(guān)系，并采用齊次坐標(biāo)變換法［4］，描述各個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)之間的相對(duì)位置及姿態(tài)。以式（1）為基礎(chǔ)，得到連桿間的逆變換矩陣為：

在上述逆解分析的基礎(chǔ)上，為了將機(jī)器人的姿態(tài)調(diào)整到一個(gè)預(yù)定的位置，需精確判斷機(jī)械臂關(guān)節(jié)角狀態(tài)。為此，建立執(zhí)行機(jī)構(gòu)向量坐標(biāo)圖，如圖3所示。

圖3 末端執(zhí)行器矢量坐標(biāo)圖Fig.3 End-Effector Vector Coordinate Diagram

圖中：d—原點(diǎn)；f—接近的矢量值；g—方向矢量；h—法線矢量。令A(yù)i→i+1=SiSi+1表示連桿坐標(biāo)系間的相對(duì)平移和轉(zhuǎn)動(dòng)情況，其中的Si表示第i個(gè)連桿的位置，Si+1表示第i+1個(gè)連桿的位置。結(jié)合圖3中的矢量，通過(guò)相乘計(jì)算判斷關(guān)節(jié)角狀態(tài)：

式中：n—連桿坐標(biāo)系之間的變換次數(shù)。根據(jù)式（5）可以得到機(jī)械臂在任意想要的位置時(shí)所需要的關(guān)節(jié)數(shù)值。

4 偏離測(cè)量

根據(jù)上述求得的關(guān)節(jié)角相關(guān)數(shù)值，測(cè)量機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡偏差。在機(jī)械臂位置可變空間中，首先建立位移測(cè)量方位角，并分析關(guān)節(jié)軸夾角的轉(zhuǎn)換過(guò)程。然后定義各個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)的可允許偏移分量，再結(jié)合機(jī)械臂主軸高度誤差和副高度誤差，計(jì)算其軌跡偏移量。

位移測(cè)量方位所成角度，如圖4所示。

圖4 空間可變機(jī)械臂位移測(cè)量方位所成角度Fig.4 Space Variable Manipulator Displacement Measurement Azimuth Angle

圖中：c、c1、c2、c3—各關(guān)節(jié)軸的夾角；o—坐標(biāo)原點(diǎn)；x、y、z—方向角，在測(cè)量中可實(shí)時(shí)調(diào)整方位角［6-7］。

定義X、Y、Z為各關(guān)節(jié)軸的夾角，角度轉(zhuǎn)換方法為：

式中：m—機(jī)械臂的水平移動(dòng)角度；n—機(jī)械臂的垂直移動(dòng)角度；l—測(cè)量斜距；K—平距參數(shù)。然后基于誤差慣性系數(shù)，定義各個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)的可允許偏移分量［8］如下：

式中：?—測(cè)量中的偏離系數(shù)；φ—誤差慣性系數(shù)；θ—偏離的斜角值；L—臂節(jié)變量差。

機(jī)械臂在實(shí)際工作中，由于受到風(fēng)力、外力等影響，會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂變幅角度發(fā)生變化［9］，從而產(chǎn)生軌跡偏離。為此，根據(jù)機(jī)械臂主軸高度誤差和副高度誤差計(jì)算其軌跡偏移量，過(guò)程如下：

式中：σ—基準(zhǔn)誤差；σ1—主軸高度誤差；σ2—副高度誤差；b—承載力變化參數(shù)。

用以上方法測(cè)定了機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡偏差，依據(jù)該結(jié)果為后續(xù)偏離控制提供基礎(chǔ)，以保證機(jī)械臂回歸正軌。

5 基于RBF的機(jī)械臂軌跡糾偏

將偏離量代入到RBF方法中，訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)，預(yù)先設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。即確定網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出的數(shù)量和隱藏層的數(shù)量，根據(jù)給定的采樣數(shù)據(jù)確定輸入和輸出的數(shù)量。隱節(jié)點(diǎn)基函數(shù)的中心賦初始值還有待進(jìn)一步的計(jì)算，利用熵聚類算法來(lái)確定隱節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，并利用聚類算法對(duì)隱節(jié)點(diǎn)基函數(shù)的初始值進(jìn)行聚類［10］。將聚類公式表示如下：

式中：Vi—第i次迭代時(shí)隱節(jié)點(diǎn)基函數(shù)的中心；xj—第j類數(shù)據(jù)的聚類中心；I—距離衡量參數(shù)；g2—聚類中心的初始值。

這些被篩選出來(lái)的基函數(shù)并不是一成不變，其不再局限于一個(gè)輸入的樣本，而是在網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練下不斷地修正，直至其正確性與基函數(shù)的中心相一致。將網(wǎng)絡(luò)的輸入/輸出映射模式，如式（10）所示。

式中：W—基函數(shù)中心；φ—誤差慣性系數(shù)；F—隱含層的數(shù)量；Ri—激活函數(shù)。

通過(guò)上述過(guò)程訓(xùn)練RBF 網(wǎng)絡(luò)，為實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡偏離有效控制，充分考慮非線性摩擦、外界擾動(dòng)以及動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)等不確定性，附加設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制率對(duì)不確定性補(bǔ)償，補(bǔ)償控制率表示為：

式中：M0(q)—節(jié)點(diǎn)q的補(bǔ)償參數(shù)；G0(q)—不確定性參數(shù)—神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)值；K—魯棒項(xiàng)—補(bǔ)償參數(shù)。

為提高重構(gòu)后的信息處理能力以及抗干擾的能力，引入自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子，如式（12）所示。

式中：Ut—對(duì)稱正定矩陣；P—任意正定矩陣—調(diào)節(jié)頻率。

基于上述過(guò)程對(duì)相關(guān)參數(shù)引入，保證機(jī)械臂糾偏過(guò)程中的穩(wěn)定性，并保證跟蹤誤差不斷收斂，完成機(jī)械臂軌跡偏離控制。

6 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)的應(yīng)用RBF法的機(jī)械臂軌跡偏離控制數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用性能，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。

6.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)仍以圖1中的工業(yè)機(jī)械臂為對(duì)象展開研究。

在正式實(shí)驗(yàn)之前，訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)。為了得到RBF的訓(xùn)練樣本，在四個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的自由旋轉(zhuǎn)角度范圍中，隨機(jī)選擇5000組數(shù)據(jù)作為輸入?yún)?shù)。

本次實(shí)驗(yàn)的機(jī)械臂核心控制板—S3C2410-ARM開發(fā)板，通過(guò)TI 仿真器XDS510 將軟件下載到核心控制芯片中。ARM 的PWM 控制信號(hào)送入該模塊，控制IPM 內(nèi)部的功率IGBT 切換導(dǎo)通，輸出U、V、W 三相電壓驅(qū)動(dòng)的三相感應(yīng)電機(jī)，功率驅(qū)動(dòng)模塊的兩個(gè)電流傳感器測(cè)得的兩相電流，經(jīng)設(shè)計(jì)的相電流處理電路獲得相電流送回ARM，通過(guò)軟件模型實(shí)時(shí)控制，相電流相電壓采集電路部分的電源由驅(qū)動(dòng)模塊電源提供。利用第2章節(jié)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)變換公式，計(jì)算出機(jī)械臂關(guān)鍵點(diǎn)的空間位置，并利用上面所述的方法進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，得到的均方誤差曲線，如圖5所示。

圖5 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的均方誤差曲線Fig.5 Mean Square Error Curve of Network Training

基于圖5能夠看出，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的逐漸增加，RBF網(wǎng)絡(luò)的均方誤差指標(biāo)在短暫的上升之后要逐漸減小，直到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，符合網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)目標(biāo)與訓(xùn)練目標(biāo)。

經(jīng)過(guò)RBF 訓(xùn)練后得到的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解結(jié)果的部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表3所示。

表3 部分逆解結(jié)果（rad）Tab.3 Partial Inverse Solution Results（rad）

6.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

預(yù)先采用所提出模型對(duì)三個(gè)關(guān)節(jié)所處的位置實(shí)施在線辨識(shí)，得到位置誤差結(jié)果，如圖6～圖8所示。

圖6 關(guān)節(jié)1在線辨識(shí)誤差Fig.6 On-Line Identification Error of Joint 1

圖7 關(guān)節(jié)2在線辨識(shí)誤差Fig.7 On-Line Identification Error of Joint 2

圖8 關(guān)節(jié)3在線辨識(shí)誤差Fig.8 On-Line Identification Error of Joint 3

通過(guò)圖6～圖8能夠看出，所提出的模型能夠?qū)?duì)三個(gè)關(guān)節(jié)所處的位置的辨識(shí)誤差控制在（-1～3）cm以內(nèi)。在初始辨識(shí)時(shí)誤差較大，原因在于訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù)中不包含在線運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)給定的輸入數(shù)據(jù)，在運(yùn)行中需要一個(gè)適應(yīng)過(guò)程。在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后，這種影響逐漸消失，使得辨識(shí)的誤差達(dá)到可接受的范圍之內(nèi)，說(shuō)明此次提出的數(shù)學(xué)模型具有較好的泛化能力。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的應(yīng)用RBF法的機(jī)械臂軌跡偏離控制數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用效果，將傳統(tǒng)的基于偽逆方法的控制模型、基于深度學(xué)習(xí)的控制模型與所提出模型展開對(duì)比，對(duì)比三種模型的機(jī)械臂軌跡偏離控制效果。在對(duì)比中，主要對(duì)比在沒(méi)有擾動(dòng)情況下的控制效果與存在擾動(dòng)時(shí)的控制效果。

不存在擾動(dòng)時(shí)的控制誤差結(jié)果，如圖9所示。

根據(jù)圖9可知，在不存在擾動(dòng)時(shí)，3種模型對(duì)機(jī)械臂位置跟蹤控制的偏差相差較小。但相比之下，模型控制下的位置工作曲線與期望軌跡的擬合度更高，說(shuō)明其具有較好的糾偏能力。

在5s時(shí)，添加擾動(dòng)情況，并統(tǒng)計(jì)三種糾偏方法的軌跡偏離控制效果。添加的擾動(dòng)信息為關(guān)節(jié)摩擦擾動(dòng)。摩擦擾動(dòng)均值比的計(jì)算過(guò)程如下：

式中：γ—關(guān)節(jié)剛度；ε—摩擦誤差數(shù)率；σ—摩擦響應(yīng)系數(shù)。

在摩擦擾動(dòng)均值比為0.0995的情況下，不同方法的軌跡偏離控制效果對(duì)比情況，如圖10所示。

圖10 存在擾動(dòng)時(shí)軌跡偏離控制效果Fig.10 Trajectory Deviation Control Effect in the Presence of Disturbance

通過(guò)圖10能夠看出，在存在擾動(dòng)時(shí)，基于偽逆方法的控制模型出現(xiàn)大幅度波動(dòng)情況，與期望軌跡偏離較大；基于深度學(xué)習(xí)的控制模型也出現(xiàn)較大波動(dòng)情況；模型雖然受到突然擾動(dòng)情況的影響，在（5～10）s范圍內(nèi)軌跡偏離控制結(jié)果與期望軌跡有小幅度的偏差，但是能夠在短時(shí)間內(nèi)快速收斂，控制效果較好，在短暫的偏離后，機(jī)械臂位置軌跡與期望軌跡的重合度仍然較高。

7 結(jié)語(yǔ)

這里將RBF 方法應(yīng)用到了機(jī)械臂軌跡偏離控制數(shù)學(xué)模型中，所做的具體工作：（1）分析了機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本控制方法；（2）采用多機(jī)聯(lián)合系統(tǒng)測(cè)量各個(gè)關(guān)節(jié)角的運(yùn)行偏差，將偏離量代入到RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，考慮非線性摩擦、外界擾動(dòng)以及動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)等不確定性，提出了一種基于RBF的自適應(yīng)控制方案；（3）在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證部分發(fā)現(xiàn)，模型能夠?qū)?duì)三個(gè)關(guān)節(jié)所處的位置辨識(shí)誤差控制在（-1～3）cm以內(nèi)。盡管因數(shù)據(jù)訓(xùn)練需要一個(gè)適應(yīng)過(guò)程而導(dǎo)致初始辨識(shí)誤差較大，但這種影響很快消失。在存在擾動(dòng)的情況下，模型雖然在（5～10）s范圍內(nèi)的軌跡偏離控制結(jié)果與期望軌跡有小幅度的偏差，但之后快速與期望軌跡的重合，實(shí)現(xiàn)了對(duì)軌跡偏離情況的有效控制。此次研究取得了良好的結(jié)果，但仍存在一些不足之處，在后續(xù)研究中嘗試軌道偏差法與其它控制方法相結(jié)合，以達(dá)到不同的控制要求。