盧偉山

新高考注重考查學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)等多重功能，筆者研讀近年真題時，發(fā)現(xiàn)對函數(shù)最值的考查頻率非常之高，函數(shù)最值問題需要學(xué)生較好掌握三角函數(shù)、二次函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，基本不等式等知識，而且需要一定的數(shù)學(xué)思維，能夠全面考查學(xué)生關(guān)鍵能力。

一、指向數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的函數(shù)最值高考真題賞析

1.利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值問題

利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題在這近年高考試題中開始慢慢的滲透到其他知識考點的考查中。

例1.已知函數(shù)f（x）=2sinx+ sin2x，則f（x）的最小值是????????? ．

例2.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

例1和例2分別是2018年全國卷I的填空題第16題和第20題概率題，這是兩道極具創(chuàng)新的試題，學(xué)生熟悉又陌生。學(xué)生會主觀上會認(rèn)為這是考查三角函數(shù)，從而選擇利用三角函數(shù)的方法來求最值（輔助角公式化成單一三角函數(shù)），其實不然，注意例1的函數(shù)解析式并非同角的兩個三角函數(shù)的形式。因此，學(xué)生在嘗試后會發(fā)現(xiàn)思路受阻，無法解答。例2則是將二項分布的概率和函數(shù)最值相結(jié)合，意料之外，情理之中，概率解析式是學(xué)生比較熟悉的，但這類“函數(shù)”的最值求法卻是“新穎”的。

若解析式中的三角函數(shù)不是同角的兩個三角函數(shù)的形式時，考慮到函數(shù)的連續(xù)性，就可以嘗試?yán)美脤?dǎo)數(shù)求最值的方法。例2中的函數(shù)f（p）=p2（1-p）18，將P視為自變量，函數(shù)的解析式可以看作是自變量P的高階函數(shù)，然后利用求導(dǎo)來求最值，在高中階段，對自變量的高階函數(shù)最值問題，最有效的方法就是通過求導(dǎo)求最值。2017年全國卷I填空題第16題也以屬于此類題型，此類題型屬于對連續(xù)型函數(shù)的通過求導(dǎo)求最值。此外，非連續(xù)型的函數(shù)（如數(shù)列）也可以通過導(dǎo)函數(shù)求最值。

2.利用基本函數(shù)的有界性求最值問題

高考試題中常見利用三角函數(shù)和二次函數(shù)的有界性來求函數(shù)最值。

（1）求E的方程；（2）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.

例7考查三角形周長最大值的問題，在余弦定理構(gòu)造的等式中，應(yīng)用基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值，例8是高考解題幾何中?？歼@類求最值的題型，基本思路是通過計算，最后轉(zhuǎn)成基本不等式求最值。選擇填空題也常見到利用基本不等式求最值。

基本不等式的本質(zhì)是揭示常量與變量之間的關(guān)系，利用基本不等求最值的第一個類型就是求幾個正數(shù)和的最小值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，通過添加常數(shù)、拆項等方式使其積為常量；當(dāng)積是常量時，就可以求變量的和的最值；第二個類型求幾個正數(shù)積的最大值，一般通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的因式）、平方等方式構(gòu)造條件使其和為常數(shù)，當(dāng)其和是常量時，就可以求變量的積的最值。利用基本不等式求最值時需要特別注意：一正、二定、三相等的原則，考題常從這三個角度設(shè)置考點。

二、基于函數(shù)最值問題的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的教學(xué)建議

教學(xué)中，像本文所探討的函數(shù)最值問題的幾種解法都需要在平時教學(xué)中著重講解的求解方法，我們教學(xué)要幫學(xué)生夯實幾種最值解法的解題思路，解題步驟，應(yīng)用場景等。另外，我們還需要重視教會學(xué)生牢牢掌握、理解好數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、模型的本質(zhì)。

從近五年的函數(shù)最值問題的高考真題來看，并不考查的單一知識點，往往都多個知識點的交匯，綜合性較強。我們教學(xué)中需要重視知識的整體性和關(guān)聯(lián)性，厘清各個知識點的要素，以及要素之間的關(guān)聯(lián)性。只有這樣，學(xué)生才能夠在復(fù)雜的題目中尋找到解決方法。

此外，高考題逐漸淡化特殊解題技巧，越來越重視通性通法的考查。在教學(xué)中我們也應(yīng)該更多注重解決相關(guān)問題的通性通法，盡量探索問題解決最本質(zhì)、最基本的方法。當(dāng)學(xué)生掌握好通性通法后，就有可以進一步提升、拓展的空間，提升數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

【注：本文系廣州市天河區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度小課題（2021X011）的研究成果】

責(zé)任編輯 韋英哲