孫丹丹

摘要：數(shù)學(xué)具有抽象概括性，因此數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循這一特點(diǎn)；APOS理論基于數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)概括為操作或活動(dòng)、過程、對(duì)象、概型四個(gè)階段.本文中以初中數(shù)學(xué)“實(shí)數(shù)”的教學(xué)為例，得到基于APOS理論為框架數(shù)學(xué)概念教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；實(shí)數(shù)教學(xué)；APOS理論

數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，因此概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).但是，目前初中生還不能深入理解某些數(shù)學(xué)概念，基于此運(yùn)用APOS理論模型通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生初步理解數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行思維內(nèi)化，抽象出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，再將其精確化為具體的數(shù)學(xué)對(duì)象，最后形成關(guān)于該數(shù)學(xué)概念的綜合心理圖式[1].APOS理論給出了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體步驟，為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)，降低了初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的難度.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 操作或活動(dòng)階段：實(shí)例直觀，激發(fā)興趣

問題1 為了美化校園，學(xué)校打算建一些正方形花壇，如果每個(gè)花壇面積為1 m2，那么正方形的邊長應(yīng)為多少？如果把每個(gè)正方形的面積改為2 m2，此時(shí)應(yīng)該怎樣確定正方形的邊長？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生生活中的實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的作用，問題設(shè)計(jì)層層深入，激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

1.2 過程階段：思維內(nèi)化，抽象概念

環(huán)小數(shù)，并給出“無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù)”的定義.

1.3 對(duì)象階段：合作探究，領(lǐng)悟概念

問題3 你能列舉出一些無理數(shù)嗎？

如圖2，將直徑為1的圓從原點(diǎn)O出發(fā)沿著數(shù)軸正方向滾動(dòng)一周，O′的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)就是π.

來嗎？

在學(xué)生深刻理解無理數(shù)的概念后，教師給出實(shí)數(shù)的概念，即有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

問題6 類比有理數(shù)m與其相反數(shù)和絕對(duì)值的關(guān)系，你能總結(jié)歸納出實(shí)數(shù)t與-t和|t|的關(guān)系嗎？

小組合作探討，得到：

問題7 數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)之間有什么關(guān)系？

學(xué)生4：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：類比有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，總結(jié)出無理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)中集合的概念作鋪墊.

1.4 概型階段：建立聯(lián)系，綜合概念

問題8 實(shí)數(shù)由哪些數(shù)組成？你能分類嗎？

問題9 還有其他分類方式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：把新知識(shí)實(shí)數(shù)、無理數(shù)與已學(xué)的知識(shí)建立聯(lián)系，讓學(xué)生形成關(guān)于實(shí)數(shù)的綜合心理圖式.同時(shí)，將零散的知識(shí)系統(tǒng)化則有助于學(xué)生記憶該概念，并能夠有效地加以運(yùn)用.

2 教學(xué)反思

2.1 注重實(shí)例直觀，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)源于生活，生活中的實(shí)例能使學(xué)生更容易理解題目，激發(fā)探究熱情.通過實(shí)例直觀，從具體到抽象幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念.同時(shí)，在問題探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.在基于APOS理論的“實(shí)數(shù)”的教學(xué)中，從學(xué)校修建花壇的實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)生在身邊的數(shù)學(xué)問題，通過利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，感悟數(shù)學(xué)的魅力;用計(jì)算器計(jì)算2，讓學(xué)生親眼看見運(yùn)算過程，記憶深刻;用PPT動(dòng)態(tài)演示“π”的形成過程，使學(xué)生看到“思維的過程”，加深學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.但教學(xué)過程中要避免“為了直觀而直觀”的現(xiàn)象，要注重實(shí)例直觀的真實(shí)可靠性.

2.2 重視動(dòng)手操作，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力

2.3 提倡合作交流，提升數(shù)學(xué)抽象能力

基于APOS理論的“實(shí)數(shù)”教學(xué)中，“過程”和“對(duì)象”階段都需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力，所以通過小組合作探究，組內(nèi)成員相互啟發(fā)引導(dǎo)，有助于學(xué)生更好地抽象和理解數(shù)學(xué)概念.在學(xué)生“抽象概念”的過程中，教師要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維.同時(shí)合作交流符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，是我國人才培養(yǎng)的需要.

2.4 鼓勵(lì)知識(shí)整合，建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在基于APOS理論的“實(shí)數(shù)”的教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)已學(xué)習(xí)過的數(shù)系進(jìn)行分類與整合，有助于學(xué)生區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)的概念，理解實(shí)數(shù)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)分類思想，提高數(shù)學(xué)抽象能力，使數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化；同時(shí)，為高中數(shù)學(xué)繼續(xù)擴(kuò)充數(shù)系打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也為高中數(shù)學(xué)中集合的學(xué)習(xí)做了鋪墊.但是，分類思想的運(yùn)用，要遵循數(shù)學(xué)概念分類的原則，避免分類重復(fù)或者遺漏的情況，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔之美、科學(xué)之美.

參考文獻(xiàn)：

[1]曹一鳴.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理，2017（1）：35-37.

[3]史寧中.讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].中國基礎(chǔ)教育，2023（8）：34-35.