肖建平

摘要：在考試環(huán)節(jié)引入數(shù)學(xué)建模，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的主要途徑之一.本文結(jié)合應(yīng)用題的實(shí)際意義與最近發(fā)展區(qū)理論，給出一道聯(lián)考試題的分析并提出優(yōu)化建議.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)建模；試題優(yōu)化

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0030-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》［1］提出，數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型.在考試環(huán)節(jié)引入數(shù)學(xué)建模是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的主要途徑之一.引導(dǎo)學(xué)生理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)建模，從而解決問題，發(fā)展到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界建立映射關(guān)系，成長為思維嚴(yán)謹(jǐn)、勇于創(chuàng)新的新時(shí)代青年.

某市2023年高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第22題的命制中依據(jù)現(xiàn)實(shí)情境，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，以能力立意，核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從而在考查中落實(shí)“立德樹人”的根本目標(biāo).

1 試卷原題

某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時(shí)間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等.為了更合理地設(shè)置窗口布局，增加學(xué)生的用餐滿意度，學(xué)校學(xué)生會在用餐的學(xué)生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時(shí)長以及可接受等待時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，并得到以下統(tǒng)計(jì)圖表（表1和圖1）.

已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個(gè)，就餐高峰期時(shí)有200名學(xué)生在等待就餐.

（1）根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，如果設(shè)置12個(gè)選餐窗口，4個(gè)套餐窗口，4個(gè)面食窗口，就餐高峰期時(shí)，假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學(xué)最長等待時(shí)間是多少？這能否讓80%的同學(xué)感到滿意（即在接受等待時(shí)長內(nèi)取到餐）？

（2）根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，從等待時(shí)長和公平的角度上考慮，如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程.

2 原題解答

（1）依題意，就餐高峰期時(shí)，選擇選餐的總?cè)藬?shù)為200×5050+30+20=100人， 這100人平均分布在12 個(gè)選餐窗口，平均每個(gè)窗口等待就餐的人數(shù)約為10012≈9人，所以選擇選餐的同學(xué)最長等待時(shí)間是2×9=18分鐘.由可接受等待時(shí)長的頻率分布直方圖可知，分組為[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]的頻率分別為0.15，0.45，0.35，0.05，所以可接受等待時(shí)長在15分鐘以上的同學(xué)有0.05+0.35=40%<80%，故設(shè)置12個(gè)選餐窗口，4個(gè)套餐窗口，4個(gè)面食窗口，不能讓80%的同學(xué)感到滿意.

（2）設(shè)設(shè)置m個(gè)選餐窗口，n個(gè)套餐窗口，k個(gè)面食窗口，則各隊(duì)伍的同學(xué)最長等待時(shí)間如下表2：

依題意，從等待時(shí)長和公平的角度考慮，則要求每個(gè)隊(duì)伍的同學(xué)的最長等待時(shí)間大致相同，即得：

2×100m=0.5×60n=1×40k，于是有：m∶n∶k=20∶3∶4，而m+n+k=20，得：m≈15，n≈2，k≈3，因此建議飯?zhí)迷O(shè)置選餐、套餐、面食三個(gè)類別窗口數(shù)分別為15、2、3.

3 命題優(yōu)化

筆者通過限時(shí)做題，覺得這個(gè)題目命題意圖很好，能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，而且非常契合數(shù)學(xué)建模的思想，可以通過數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算去解決現(xiàn)實(shí)問題.但筆者認(rèn)為原題的解答過程不夠準(zhǔn)確，題目的設(shè)計(jì)也有待商榷.筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，結(jié)合應(yīng)用題的實(shí)際意義和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)及儲備知識，對該題指出以下問題，以供參考.

3.1 表述不直接

問題的文字表述要合理易懂一些.“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同）”，學(xué)生在做題的時(shí)候可能會忽略括號內(nèi)的文字，尤其可能忽略掉“各類餐食”，是否可以把文字改寫成“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇同一類餐食較短的隊(duì)伍等待”更直接易懂.

3.2 解答不精準(zhǔn)

關(guān)于“就餐高峰期選擇選餐”這部分的解答過程應(yīng)進(jìn)一步解析精準(zhǔn).就餐高峰期選擇選餐的總?cè)藬?shù)為200×5050+30+20=100人，這100 人盡可能平均分布在12個(gè)選餐窗口，其中有8個(gè)窗口每個(gè)窗口等待就餐的人數(shù)應(yīng)為8人，其余4個(gè)窗口每個(gè)窗口等待就餐的人數(shù)應(yīng)為9人，所以選擇選餐的同學(xué)最長等待時(shí)間是2×9=18分鐘.

3.3 排隊(duì)不合心理

如果這個(gè)問題“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同）”刪掉括號內(nèi)的內(nèi)容（即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同），是否更符合就餐學(xué)生急于吃午飯的心理？那么“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待”的解法就不一樣了，學(xué)生等餐的時(shí)間會減少.分析：設(shè)每2分鐘完成一輪1×12+4×4+2×4=36人，200=36×5+20，那么需要5輪，余20人，每人一個(gè)窗口，所以選餐的同學(xué)最長等待時(shí)間是2×5+2=12分鐘.

3.4 窗口設(shè)置比例不合理

如果2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時(shí)間約40分鐘，售飯窗口設(shè)置m個(gè)選餐窗口， n個(gè)套餐窗口，k個(gè)面食窗口，且m∶n∶k=20∶3∶4，那么至少需要設(shè)置多少個(gè)售飯窗口？分析：每2分鐘需要提供2 00040×2=100份，則1×m+4×n+2×k≥100，得m=50，n≈8，k=10，因此食堂需要設(shè)置約68個(gè)窗口，這樣會給學(xué)校食堂帶來比較大的成本，不太符合實(shí)際.因此假設(shè)選餐用時(shí)2分鐘太夸張，實(shí)際食堂運(yùn)行用不了這么久.

3.5 窗口配置優(yōu)化

如果2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時(shí)間約40分鐘，至少需要設(shè)置多少個(gè)售飯窗口？分析：以取餐時(shí)長最短0.5分鐘計(jì)算，需要設(shè)置25個(gè)套餐窗口，但是不能滿足學(xué)生的用餐喜好，所以需要增加選餐和面食餐口.那么如何配置選餐、套餐、面食的窗口數(shù)就需要在食堂的成本和滿足學(xué)生的用餐喜好之間做出一個(gè)最優(yōu)的方案，而且需要根據(jù)學(xué)生變化的用餐喜好不斷地調(diào)整窗口配置.

4 題目（2022年高一期末聯(lián)考試題）

某市沙田柚根據(jù)色澤、果面、風(fēng)味等評分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間（0，25］，（25，50］，（50，75］，（75，100］內(nèi)分別評定為三級柚、二級柚、一級柚和特級柚.某經(jīng)銷商從我市柚農(nóng)手中收購一批沙田柚，共M袋（每袋50 kg），并隨機(jī)抽取20袋分別進(jìn)行檢測評級，得分?jǐn)?shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2所示：

（1）求a的值，并用樣本估計(jì)該經(jīng)銷商采購的這批沙田柚的平均得分.

（2）該經(jīng)銷商計(jì)劃在下面兩個(gè)方案中選擇一個(gè)作為銷售方案：

方案1：將采購的這批沙田柚不經(jīng)檢測，統(tǒng)一按每袋350元直接售出；

方案2：將采購的這批沙田柚逐袋檢測分級，并將每袋沙田柚重新包裝成5小袋（每小袋10 kg），檢測分級所需費(fèi)用和人工費(fèi)平均每袋20元，各等級沙田柚每小袋的售價(jià)和包裝材料成本如表3所示：

假設(shè)這批沙田柚各級比例按前面隨機(jī)抽取的20袋的樣本結(jié)果估計(jì)，并可以全部銷售出去，那么該經(jīng)銷商采用哪種銷售方案所得利潤更大？請通過計(jì)算說明理由．

4.1? 存在問題

通過計(jì)算估計(jì)該經(jīng)銷商采購的這批沙田柚的平均得分是56.25分，因此區(qū)間設(shè)置不合理，得分75分和100分是同一等級，極差25分，懸殊比較大，不能突出當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性.

4.2? 優(yōu)化建議

這道題目的關(guān)鍵是這批沙田柚的平均得分太低，修改數(shù)據(jù)最好的辦法是去市場買一批沙田柚并進(jìn)行評分，這樣才貼合實(shí)際，然后要論證所得的數(shù)據(jù)是否具有代表性和普遍性.這樣才能在考題中無形地達(dá)到宣傳當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性，潤物細(xì)無聲地增進(jìn)學(xué)生的家鄉(xiāng)情結(jié)和自豪感.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中要滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).李大潛院士指出“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育”“貫徹素質(zhì)教育最有效、最直接的途徑就是通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)或者舉辦建模競賽”[2].因此，要發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］?中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].中國大學(xué)教學(xué)，2002（10）：41-43.

［責(zé)任編輯：李璟］