黃建松

［摘? 要］ 初三復(fù)習(xí)課教學(xué)是針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、解題方法進(jìn)行的總結(jié)和系統(tǒng)性的歸納，在復(fù)習(xí)課教學(xué)中教師要立足于學(xué)生的實(shí)際，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和鍛煉學(xué)生的思維能力為目標(biāo)，通過(guò)有效的教學(xué)活動(dòng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、深度學(xué)習(xí)，有效激活思維. 教師可以從建構(gòu)知識(shí)體系出發(fā)，以數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)變式練習(xí)促進(jìn)學(xué)生提升知識(shí)遷移能力，進(jìn)而全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)能力；復(fù)習(xí)課；數(shù)學(xué)思想

復(fù)習(xí)課教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)完新知的基礎(chǔ)上進(jìn)行的系統(tǒng)提煉和總結(jié)，其主要目的在于幫助學(xué)生鞏固知識(shí)體系、訓(xùn)練思維能力、深化知識(shí)理解. 常規(guī)復(fù)習(xí)課教學(xué)往往容易陷入知識(shí)重學(xué)、試題重做的誤區(qū)，忽視了學(xué)生思維的深度參與. 在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)著力幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從具體問(wèn)題中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，激活深度思維，使學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)課教學(xué)掌握數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想. 本文從常規(guī)復(fù)習(xí)課的解構(gòu)出發(fā)，以重構(gòu)復(fù)習(xí)課教學(xué)提升學(xué)習(xí)能力為目標(biāo)，探討復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略.

分析評(píng)價(jià)：常規(guī)復(fù)習(xí)課解構(gòu)

1. 先梳理基礎(chǔ)知識(shí)，再練習(xí)講評(píng)

常規(guī)復(fù)習(xí)課一般由教師帶領(lǐng)學(xué)生先進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的梳理和羅列，采用教師提問(wèn)、學(xué)生回答、學(xué)生補(bǔ)充、教師總結(jié)的方式.

案例1? 復(fù)習(xí)“平行四邊形”教學(xué)片段.

環(huán)節(jié)一：梳理知識(shí)

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出平行四邊形的概念、性質(zhì)，并回憶平行四邊形的判定方法.

學(xué)生回顧和梳理了平行四邊形的概念、性質(zhì)及判定方法，教師在此基礎(chǔ)上補(bǔ)充了平行四邊形具有的對(duì)稱性特點(diǎn).

環(huán)節(jié)二：練習(xí)講評(píng)（略）

分析評(píng)價(jià)? 通過(guò)一節(jié)課的復(fù)習(xí)，學(xué)生能夠鞏固所學(xué)知識(shí)，并將知識(shí)應(yīng)用到具體的問(wèn)題中，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，提升學(xué)習(xí)能力.

2. 先練習(xí)講評(píng)，再梳理基礎(chǔ)知識(shí)

教師在復(fù)習(xí)課之前布置適當(dāng)?shù)木毩?xí)題，學(xué)生完成后由教師批改. 對(duì)錯(cuò)誤率高的試題，師生共同講評(píng). 教師還會(huì)匯總學(xué)生的共性錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤原因，在課堂上進(jìn)行有針對(duì)性的講解. 在講評(píng)完學(xué)生的練習(xí)后，教師再梳理和復(fù)習(xí)知識(shí).

案例2? 復(fù)習(xí)“正方形”教學(xué)片段.

環(huán)節(jié)一：課堂交流

師：請(qǐng)同學(xué)們將課前的預(yù)習(xí)單拿出來(lái)，觀察自己出現(xiàn)的問(wèn)題，互相交流討論當(dāng)時(shí)的想法，然后我們一起總結(jié)在解決這些問(wèn)題時(shí)需要用到哪些知識(shí)和方法.

學(xué)生進(jìn)行交流討論，開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).

……

環(huán)節(jié)二：分析錯(cuò)例

學(xué)生交流討論之后，師生圍繞錯(cuò)誤率較高的兩道題進(jìn)行了進(jìn)一步的研討和交流.

錯(cuò)例1? 如圖1，四邊形ABCD中，AB和BC相等，∠ABC和∠CDA都是直角，BE和AD垂直，垂足為點(diǎn)E，并且四邊形ABCD的面積為8，求BE的長(zhǎng)度.

環(huán)節(jié)三：梳理基礎(chǔ)知識(shí)

依據(jù)習(xí)題中所用到的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和梳理，進(jìn)一步鞏固正方形的定義、性質(zhì)和判定定理等相關(guān)知識(shí)，教師對(duì)正方形對(duì)稱性的知識(shí)以及計(jì)算面積的不同方法進(jìn)行了補(bǔ)充和歸納，同時(shí)突出正方形對(duì)角線的性質(zhì).

分析評(píng)價(jià)? 常規(guī)復(fù)習(xí)課中無(wú)論是先復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)再講評(píng)試題，還是先分析錯(cuò)例再?gòu)?fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生都是被教師牽著走的，思維活動(dòng)局限在教師的預(yù)設(shè)當(dāng)中，學(xué)生的思維沒(méi)有被真正激活，僅僅通過(guò)認(rèn)識(shí)、記憶等低層次的思維活動(dòng)開(kāi)展學(xué)習(xí). 在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師要以學(xué)生為中心，給學(xué)生充分討論交流、自主展示的時(shí)間，幫助學(xué)生總結(jié)提煉解題方法，建構(gòu)知識(shí)體系，提升學(xué)習(xí)能力，使復(fù)習(xí)課教學(xué)發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值.

提高學(xué)力：創(chuàng)新復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)

1. 以小題引入，構(gòu)建知識(shí)體系

復(fù)習(xí)課教學(xué)要通過(guò)問(wèn)題的分析和思考喚起學(xué)生的知識(shí)記憶，激發(fā)學(xué)生的想象，激活學(xué)生思維，深化知識(shí)建構(gòu).

情境引入：呈現(xiàn)案例2中的錯(cuò)例1，求四邊形ABCD中BE的長(zhǎng)度.

學(xué)生首先會(huì)想到將BE放到Rt△ABE中，求出AE和AB的長(zhǎng)度，但是題干中的條件無(wú)法得出. 于是學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，連接BD，形成Rt△BDE，在此直角三角形中求BE的長(zhǎng)度. 針對(duì)這一問(wèn)題，學(xué)生能夠想到兩種處理方式.

方式1：將△BCD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，從而得到等腰直角三角形，BE成為三角形斜邊上的高，從而進(jìn)行求解.

方式2：旋轉(zhuǎn)Rt△ABE，使BA與BC重合，這樣可以得到一個(gè)正方形，BE即為正方形的邊. 根據(jù)題干中四邊形的面積為8進(jìn)行求解.

通過(guò)小題的引入喚起學(xué)生的知識(shí)記憶，方式1運(yùn)用了已經(jīng)復(fù)習(xí)的等腰三角形知識(shí)；方式2則引發(fā)學(xué)生回憶正方形的相關(guān)知識(shí)，完美契合主題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生主動(dòng)形成知識(shí)結(jié)構(gòu).

2. 以模型切入，完善方法結(jié)構(gòu)

學(xué)生往往在遇到情境創(chuàng)新、設(shè)問(wèn)新穎的問(wèn)題時(shí)便束手無(wú)策，一籌莫展，究其原因在于知識(shí)儲(chǔ)備不夠完整，知識(shí)運(yùn)用不夠靈活，模型積累不夠豐富，解題切入角度不夠精準(zhǔn)恰當(dāng). 復(fù)習(xí)課教學(xué)可以數(shù)學(xué)模型切入，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象能力，縮短學(xué)生思維的路程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模塊化學(xué)習(xí)的習(xí)慣，同時(shí)對(duì)模型進(jìn)行變式和拓展，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，助力學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)和作用，進(jìn)一步完善解題方法的結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生的思維向深度和廣度發(fā)展.

案例3? “一線三等角”的教學(xué)片段.

（1）導(dǎo)入例題分析

上課伊始，教師要求學(xué)生首先完成學(xué)案練習(xí)例題的定性分析.

思考之后，生1分享了如下思路：

本題要求出兩條線段的長(zhǎng)度比，可以通過(guò)分別求出兩條線段的長(zhǎng)度來(lái)求得比值或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，根據(jù)題意求出兩條線段的長(zhǎng)度難度較大，所以我覺(jué)得用相似三角形進(jìn)行求解比較容易. 經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)△BDM與△CDN相似，由此將AM與AN的比轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比，可以得到答案為7 ∶ 8.

師：生1給出了非常好的解題思路，通過(guò)解決本題你們有什么感想和收獲呢？

生2：通過(guò)剛才的證明，我們可以提煉出“一線三等角”的基本圖形.

（2）變式練習(xí)遷移

學(xué)生掌握了基本圖形之后，進(jìn)行變式練習(xí)：

如圖4，在矩形ABCD中，AD上有一點(diǎn)P，AB和AP的長(zhǎng)度分別為2和1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的直角邊分別與AB和BC的邊相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接EF.

①如圖4，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)B相重合時(shí)，點(diǎn)F也恰好與點(diǎn)C重合，求PC的長(zhǎng)度.

②將三角板從①中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止，請(qǐng)問(wèn)∠PEF的大小會(huì)變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明相應(yīng)的理由.

本環(huán)節(jié)在學(xué)生掌握了基本的“一線三等角”的圖形之后進(jìn)行變式練習(xí)，通過(guò)圖形的重構(gòu)、旋轉(zhuǎn)等方式引導(dǎo)學(xué)生能夠從變化的圖形中抽象出基礎(chǔ)圖形，從而進(jìn)行正確的解答. 變式練習(xí)進(jìn)一步幫助學(xué)生理解了知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維.

案例4? 建構(gòu)圖形的數(shù)學(xué)模型.

（1）展示基本圖形

如圖5，在△ABC中，AB和AC上分別有一點(diǎn)D和點(diǎn)E，DE與BC平行，假設(shè)AD和DB的長(zhǎng)度分別是2和3，求DE與BC和AE與AC的比值.

本題通過(guò)△ADE和△ABC為相似三角形，可以得到DE與BC和AE與AC的比值都等于AD與AB的比值，從而得到結(jié)論. 由此，學(xué)生在這樣的數(shù)學(xué)圖形中初步建立起數(shù)學(xué)模型，得到DE與BC和AE與AC以及AD與AB的比值相等的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖? 本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧相似三角形的基本圖形，從而得到基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，由此切入數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)和探究之中. 通過(guò)基本圖形的切入，大多數(shù)學(xué)生都能主動(dòng)參與到課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中，活躍了課堂氛圍，為接下來(lái)的深度探究奠定基礎(chǔ).

（2）探究基本圖形

如圖6，在△ABC中，AB和AC上分別有一點(diǎn)D和點(diǎn)E，DE與BC平行，DE上有一點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)Q.

思考1? 當(dāng)DP與BQ的比值為0.4時(shí)，求PE與QC的比值是多少？

思考2? 當(dāng)點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出BQ與QC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖? 本環(huán)節(jié)將基礎(chǔ)的圖形進(jìn)行了適度的推廣和變化，通過(guò)基礎(chǔ)圖形的研究方法探究復(fù)雜圖形，從而得出兩個(gè)重要的結(jié)論，第一是DP與BQ的比值與PE和QC的比值相等；第二是當(dāng)點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)時(shí)，則BQ與QC相等. 通過(guò)探究復(fù)雜圖形進(jìn)一步剝離出簡(jiǎn)單圖形的數(shù)學(xué)模型，能夠提高學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力，為進(jìn)行知識(shí)的遷移做好準(zhǔn)備.

（3）運(yùn)用圖形性質(zhì)

如圖7，DE與BC平行，將AQ進(jìn)行延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，將DF，EF連接交BC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，其中QM，BM，NC的長(zhǎng)度分別為1、3和4，則QN的值是多少？

通過(guò)觀察圖形學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)與圖6相似的基礎(chǔ)圖形，根據(jù)數(shù)學(xué)

本環(huán)節(jié)在對(duì)基本圖形探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了抽象的分析和拓展，通過(guò)數(shù)學(xué)模型在具體問(wèn)題中的應(yīng)用，使學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)模型，熟練地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)、活化思維的目標(biāo). 這既是對(duì)學(xué)生解題方法的一次結(jié)構(gòu)完善，也是對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握情況的一次檢查，有利于學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)的理解，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握解題規(guī)律.

3. 拓展延伸，深化知識(shí)應(yīng)用

課堂教學(xué)不應(yīng)局限于教材以及課堂的研討，要將課堂學(xué)習(xí)延續(xù)到課外，將所學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，密切與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系，深化知識(shí)應(yīng)用.

案例5? “一線三等角”的課后延伸拓展

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別與x軸和y軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線的解析式為y=-2x+4，將△OAB沿著直線l1進(jìn)行翻折.

（1）求點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）直線l2過(guò)點(diǎn)P， 并且與直線l1形成的夾角為45°，求直線l1和直線l2交點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）鋪設(shè)熱點(diǎn)問(wèn)題，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

本環(huán)節(jié)是在案例3探究數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣梗霟狳c(diǎn)問(wèn)題調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，促進(jìn)學(xué)生將掌握的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行應(yīng)用，提高實(shí)踐能力，同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

增進(jìn)實(shí)效：復(fù)習(xí)課教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課教學(xué)要以主題進(jìn)行知識(shí)串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在解決核心問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)和方法體系，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律. 復(fù)習(xí)課教學(xué)是基于知識(shí)梳理基礎(chǔ)上進(jìn)行的方法技能、思想感悟的升華和提升，因此，復(fù)習(xí)課教學(xué)可以通過(guò)典型的問(wèn)題和基本的圖形展開(kāi)，深入挖掘問(wèn)題背后的知識(shí)聯(lián)系，掌握解決問(wèn)題的規(guī)律，理解基本圖形的根本作用，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題.

1. 精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，實(shí)現(xiàn)高效課堂. 教師要真正基于學(xué)生的認(rèn)知水平開(kāi)展精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，做到學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的、能夠通過(guò)自學(xué)學(xué)會(huì)的、超過(guò)學(xué)生能力水平的知識(shí)不講，而重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、易混淆點(diǎn)以及重難點(diǎn)知識(shí)，讓學(xué)生真正學(xué)有所獲，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 通過(guò)復(fù)習(xí)課教學(xué)使學(xué)生能夠彌補(bǔ)知識(shí)薄弱點(diǎn)，消除知識(shí)盲點(diǎn)，獲得學(xué)習(xí)能力的提升，從而真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)高效課堂.

2. 問(wèn)題引導(dǎo)，提升解題技能. 在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要啟發(fā)學(xué)生探索解題思路，讓學(xué)生找到解題的方法，感悟解題的規(guī)律和本質(zhì)，增長(zhǎng)學(xué)習(xí)智慧. “不憤不啟，不悱不發(fā)”，教師要通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，激活學(xué)生思維，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，使學(xué)生在復(fù)習(xí)課中真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)、思維提升、模型建立.

3. 落實(shí)主體，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展. 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在復(fù)習(xí)課教學(xué)中教師同樣要以學(xué)生為中心，圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，制定復(fù)習(xí)目標(biāo)，確定復(fù)習(xí)主線，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，深入挖掘知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)做一題，會(huì)一類，學(xué)一法，通一片，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率. 在教學(xué)中教師要尊重學(xué)生的差異性，關(guān)注不同層次的學(xué)生，全方位地傾聽(tīng)每一位學(xué)生的想法和需求，使課堂學(xué)習(xí)與每一位學(xué)生緊密相連，營(yíng)造開(kāi)放和諧、平等民主的課堂氛圍，實(shí)現(xiàn)師生、生生的對(duì)話和交流，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，使課堂學(xué)習(xí)有效、有趣，建設(shè)師生一體的學(xué)習(xí)共同體.

總之，復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)指向?qū)W生學(xué)習(xí)能力的提升，落實(shí)學(xué)生的主體地位，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效果的有效提升，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).