徐亞飛

［摘? 要］ 幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣.能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖形分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路.

［關(guān)鍵詞］ 圓周角；幾何直觀；猜想；驗證

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣. 能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖形分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路. 幾何直觀有助于學(xué)習(xí)者把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.

活動一：情境引入，發(fā)現(xiàn)新知

課前播放足球射門的精彩瞬間的視頻.

思考：如圖1，在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點. 從射門角度看，此時甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？

設(shè)計說明? 踢足球是學(xué)生比較喜歡的一項體育運動，從學(xué)生喜愛的足球引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性. 通過欣賞足球射門的視頻，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與自己的生活息息相關(guān)、不可分割，同時也感受到數(shù)學(xué)的魅力無處不在.

活動二：復(fù)習(xí)回顧，引入新知

復(fù)習(xí)回顧圓心角的定義（頂點在圓心的角叫作圓心角）及其性質(zhì)（圓心角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)）.

思考1：改變圓心角的頂點P的位置，這個點P除了在圓心，還可以在哪些位置呢？（圓內(nèi)、圓上、圓外）

思考2：嘗試給這三個角命名. （圓內(nèi)角、圓周角、圓外角）

由此引出今天的課題“圓周角”.

設(shè)計說明? 復(fù)習(xí)回顧圓心角的定義和性質(zhì)，通過改變圓心角頂點P的位置，自然而然地引入了圓內(nèi)角、圓周角以及圓外角，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識前后的連續(xù)性.

活動三：類比學(xué)習(xí)，探究新知

（一）圓周角的概念

思考1：類比圓心角的學(xué)習(xí)，圓周角將從哪些方面來學(xué)習(xí)？（定義、性質(zhì)等）

思考2：對于頂點在圓周上的角，改變角的兩邊與圓的位置關(guān)系（如圖2、圖3），得到另兩類頂點在圓周上的角，判斷這兩類角是否是圓周角.（不是）

思考3：根據(jù)黑板上的圖形以及你對圓周角的理解，嘗試給出圓周角的概念（頂點在圓周上，兩邊與圓相交的角）

判斷：如圖4，∠P是圓周角嗎？（是，角的兩邊是射線）

思考4：回憶圓心角的定義（頂點在圓心的角），為什么圓心角的定義只要滿足一個條件，而圓周角的定義卻要滿足兩個條件？

設(shè)計說明? 根據(jù)圓周角的圖形，讓學(xué)生自行歸納出圓周角的定義，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力和自主學(xué)習(xí)的能力. 區(qū)別圓心角和圓周角定義的不同，加深學(xué)生對概念的理解.

練習(xí)：如圖5，弧CD所對的圓周角是______；

∠ACB所對的弧是______；

弦BD所對的圓周角是______.

設(shè)計意圖? 通過這道題目，讓學(xué)生感受一條弧所對的圓周角不止一個，但一條弧所對的圓心角卻只有一個，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一條弦所對的圓周角也有無數(shù)個，且可以分為兩類.

設(shè)計說明? 通過類比圓心角的學(xué)習(xí)過程來探究圓周角的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力. 圓周角的概念比圓心角的概念多了一個條件“角的兩邊與圓相交”，通過一組題目讓學(xué)生感受為什么要加上這樣一個限制條件，以加深學(xué)生對圓周角概念的理解.

（二）圓周角的性質(zhì)

猜想1：同弧所對的圓周角相等.

實驗驗證1：幾何畫板驗證“同弧所對的圓周角相等”.

通過幾何畫板的演示，我們發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角相等.

思考：同弧所對的圓周角為什么會相等？（相等的圓周角所對的弧是同一條?。?/p>

設(shè)計意圖? 通過畫圖、度量、猜想、幾何畫板驗證，讓學(xué)生初步感知“同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等”，通過改變弧的長度，讓學(xué)生再次感受圓周角的大小與其所對的弧有著密切的聯(lián)系.

猜想2：同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.

實驗驗證2：幾何畫板驗證“同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半”.

設(shè)計意圖? 通過畫圖、度量、猜想、幾何畫板驗證，讓學(xué)生初步感知“同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半”.

對于這兩個猜想，我們用幾何畫板進(jìn)行了驗證. 當(dāng)然，要說明這兩個猜想是正確的，必須要給出數(shù)學(xué)證明.

我們先來證明第二個猜想：同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.

教師展示如圖6所示的圖形（來源于學(xué)生）：

思考1：大家所畫的圓周角和圓心角的位置關(guān)系和這幅圖一樣嗎？

投影儀展示學(xué)生的不同畫法（如圖7、圖8）.

思考2：三幅圖的不同點在哪里？（圓周角和圓心角的位置不同）.

思考3：大家想先證明哪一幅圖？

我們在研究一類圖形的時候，常常是從特殊到一般. 圖7最為簡單，用外角即可解決. 圖6、圖8均可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為圖7來解決，也就是我們常說的把未知的知識轉(zhuǎn)化成已有的知識來解決，當(dāng)然，我們也可以用已有的知識去探究未知的知識.

設(shè)計說明? 讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、觀察、猜想、實驗、推理等過程，一步步地來探究圓周角的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題、解決問題的能力. 兩個猜想，到底先證明哪一個呢？其實只要證明了“同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半”，就能得到“同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等”. 對于“同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半”的證明，又要分三種情況來討論，這也是本節(jié)課的一個難點：①為什么要分類？②分類依據(jù)是什么？③三種情況又分別如何證明？教師層層引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的思維活力.

活動四：課堂小練，鞏固新知

思考：在同圓或等圓中，同弧所對的圓內(nèi)角、圓周角、圓外角之間的大小關(guān)系如何？（如圖12）

在同圓或等圓中，同弧所對的圓內(nèi)角>圓周角>圓外角.

設(shè)計說明? 通過一組題目的訓(xùn)練，既夯實了本節(jié)課的兩個重要的知識點，又為接下來引出圓周角、圓外角以及圓內(nèi)角之間的大小關(guān)系做好鋪墊，更為接下來解決“情境引入環(huán)節(jié)”遺留的“足球問題”埋下伏筆.

活動五：情境再現(xiàn)，學(xué)以致用

思考：如圖13，在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點. 從射門角度看，此時甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？

設(shè)計說明? 再次回到課前的情境引入，不難發(fā)現(xiàn)之前的難題已經(jīng)迎刃而解. 讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了解決生活中所遇到的一些問題，由此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

活動六：課堂小結(jié)，提升新知

（1）圓周角有何特征？與圓心角有何異同點？（2）在證明圓周角定理時，你積累了哪些重要的方法？（3）你還有哪些疑惑？

設(shè)計說明? 通過一組問題串，進(jìn)行有針對性的課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的知識要點，構(gòu)建本節(jié)課的知識框架，提升本節(jié)課的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

教學(xué)反思

本節(jié)課設(shè)計了三個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是圓周角概念的得出. 從學(xué)生熟悉的足球射門入手，并埋下伏筆，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，同時也讓學(xué)生感受到生活中處處都有數(shù)學(xué). 通過復(fù)習(xí)圓心角的概念和性質(zhì)，幫助學(xué)生回憶圓心角的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圓周角的學(xué)習(xí)可以類比圓心角的學(xué)習(xí)過程來進(jìn)行. 第二個環(huán)節(jié)是探究圓周角定理. 通過學(xué)生的動手操作：先畫再度量，最后猜想并驗證，讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、思考探究、歸納猜想、理論證明等一系列學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力. 在證明“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半”這個定理時，沒有直接給出三種類型，而是讓學(xué)生在自我實踐中發(fā)現(xiàn)：這個圖形有多種可能性，必須分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 第三個環(huán)節(jié)就是學(xué)以致用. 用今天所學(xué)的內(nèi)容來解決與圓周角有關(guān)的問題，從而解決了課前情境引入中的足球射門的問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活！

借助幾何直觀，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)歷程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì). 弗賴登塔爾曾說過：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的. ”運用幾何直觀，學(xué)生的思維便有了一定的載體，不再空洞乏味，由此加深學(xué)生對知識的理解，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，從而邁向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)：讓學(xué)習(xí)者學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.