袁靜 李向有 劉文艷

摘 要：利用η-逼近法，定義了η-鞍點和η-Lagrange函數(shù)。研究了一類包含r-不變凸函數(shù)的非線性數(shù)學規(guī)劃問題的鞍點條件，得到了η-近似優(yōu)化問題下的η-鞍點最優(yōu)性準則和原規(guī)劃的最優(yōu)解與η-近似優(yōu)化問題下的η-Lagrange鞍點的等價性，用新的方法推廣了相關鞍點結(jié)論。

關鍵詞：η逼近方法；η-鞍點；r-不變凸函數(shù)；η-Lagrange函數(shù)

中圖分類號：O221.6;O224

文獻標志碼：A

近年來，利用相關的向量優(yōu)化問題設計新的方法來解決原有的多目標數(shù)學規(guī)劃問題及其對偶問題受到了廣泛的關注。ANTCZAK［1，2］提出了一種改進目標函數(shù)的新方法，分別用于求解包含不變凸函數(shù)的可微多目標優(yōu)化問題和非線性標量數(shù)學規(guī)劃問題，通過對任意但固定的可行點x處修改給定數(shù)學規(guī)劃問題的目標函數(shù)和約束函數(shù)，從而構(gòu)造出η-近似優(yōu)化問題。進一步建立了它與原非凸數(shù)學規(guī)劃問題的等價性。在文獻 ［3-6］中基于對不同的目標規(guī)劃問題中通過修改原規(guī)劃問題的目標函數(shù)和約束函數(shù)，構(gòu)造得到相關的η-近似優(yōu)化問題，建立其原規(guī)劃問題和η-近似優(yōu)化問題之間的等價性，得到相關的最優(yōu)性條件、對偶條件和鞍點。

在數(shù)學規(guī)劃問題中拉格朗日乘子及其拉格朗日函數(shù)的鞍點已經(jīng)被廣泛研究（如文獻［7-9］）。這一結(jié)果在最優(yōu)化理論和經(jīng)濟學中具有重要作用。同時，凸性的假設也是十分重要的，但其具有一定的局限性。為了放寬充分最優(yōu)性定理中的凸性假設，HANSON［10］推廣了凸函數(shù)即為不變凸函數(shù)。后來，ANTCZAK［11］引入了一類新的（非凸）可微函數(shù)，并將其稱為關于η的r-不變凸。 BHATIA［12］在多目標規(guī)劃問題中討論了其最優(yōu)性和鞍點準則。HO［13］在多目標分式規(guī)劃問題中討論了r-不變凸函數(shù)的鞍點準則。ANTCZAK［11，14］證明了包含r-不變凸函數(shù)的約束優(yōu)化問題的充分最優(yōu)性條件和Wolfe對偶性條件，給出了關于另一種類型的η-不變性的條件。

本文進一步討論了文獻［2］中的方法，解決一類非線性數(shù)學規(guī)劃問題的r-不變凸函數(shù)關于η相同函數(shù)的問題。通過研究文獻［11］中提出的η-近似方法，在用該方法構(gòu)造的η-近似優(yōu)化問題中，引入了一個所謂η-鞍點的定義和的η-Lagrange函數(shù)的定義。進一步證明了η-近似優(yōu)化問題中η-Lagrange函數(shù)的一個η-鞍點與原數(shù)學規(guī)劃問題的一個最優(yōu)解之間的等價性。

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（責任編輯：于慧梅）

η-saddle Point Condition for Non-differentiable r-invexity Functions

YUAN Jing， LI Xiangyou*， LIU Wenyan

（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，China）

Abstract：

This paper uses the η-approximation method to define the η-saddle point and η-Lagrange functions. The saddle point conditions of a class of nonlinear mathematical programming problems including r-invex functions are studied， and the η-saddle point optimality criterion under the η-approximation optimization problem and the optimal solution of the original program and the equivalence of the η-Lagrange saddle point under the η-approximation optimization problem are obtained， and the relevant saddle point conclusion is generalized by the new method.

Key words：

η-approximation method; η-saddle point; r-invariant convex function; η-Lagrange function