單威威，李曉萌①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

徑向引理在偏微分方程解存在性和正則性、Trudinger-Moser 型不等式極值函數(shù)的存在性［1-6］等問(wèn)題中有重要作用。它體現(xiàn)徑向函數(shù)的正則性和衰減性之間存在相互作用。

1997年，Strauss［7］證明關(guān)于徑向型函數(shù)的最早結(jié)果：

設(shè)H1( Rn)是通常的Sobolev 空間n≥2，f∈H1( Rn)為徑向函數(shù)，若f～f?a.e 成立，且f在x≠0 處連續(xù)，那么存在僅依賴(lài)于n的正常數(shù)C，使得，其中

1982年，Lions［8］將上述結(jié)果擴(kuò)展到W1,p( Rn)空間中。在此之后，結(jié)合Schwarz重排理論［9-10］，通過(guò)文獻(xiàn)［9，11］，對(duì)于徑向遞減函數(shù)有如下結(jié)果：

設(shè)u*∈Lp( Rn)是一個(gè)非負(fù)遞減徑向?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)，?x∈Rn{0 } ，那么，其中wn-1是n維單位球體的表面積。這一結(jié)果常用于無(wú)界區(qū)域上徑向?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)的估計(jì)，解決Trudinger-Moser型不等式極值函數(shù)存在性問(wèn)題。

近來(lái)，隨著Finsler-Laplacian 方程以及Finsler-Liouville 方程研究的深入，各向異性Trudinger-Moser不等式［12］進(jìn)入大家的視野，徑向引理也得到廣泛的應(yīng)用。關(guān)于徑向引理，一個(gè)自然的問(wèn)題是：在Sobolev空間W1,n( Rn)中各向異性范數(shù)下，如何對(duì)徑向函數(shù)做出估計(jì)？文章在實(shí)分析、凸重排理論［13］的基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)不等式推廣各向異性范數(shù)下的徑向引理，對(duì)W1,n( )Rn空間中的徑向函數(shù)做出估計(jì)。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

2 主要內(nèi)容

通過(guò)構(gòu)造出相關(guān)不等式的使用條件，證明徑向引理不等式。

定理1 設(shè)W1,n( Rn)是通常的Sobolev空間，u∈W1,n( Rn)，u關(guān)于Fo(x)的凸對(duì)稱(chēng)記為u#，那么

其中Cn表示僅依賴(lài)于n的常數(shù)。

證明 通過(guò)各向異性Sobolev范數(shù)的定義，有

及

根據(jù)函數(shù)F的性質(zhì)：，那么

故

由于u*∈Ln( Rn)，則存在sk→∞時(shí)，u*(sk)n→0，那么

由式（4）通過(guò)變量變換，令t=κnrn，得

通過(guò)計(jì)算得

將式（3）和式（6）帶入式（5），得

那么

當(dāng)sk→∞時(shí)，u*(sk)→0，故|u*(sk)n|→0，再對(duì)式（7）使用Young不等式，那么

3 結(jié)語(yǔ)

徑向引理是偏微分方程的研究中必不可少的工具之一。用各向異性Sobolev 范數(shù)代替通常Sobolev范數(shù)，給出W1,n( Rn)空間上徑向?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)u的徑向引理表達(dá)式，這一結(jié)果將解決徑向函數(shù)在各向異性范數(shù)下的相關(guān)估計(jì)問(wèn)題。后續(xù)將通過(guò)此徑向引理繼續(xù)研究Trudinger-Moser型不等式極值函數(shù)存在性和極值函數(shù)列緊性問(wèn)題。