張俊杰，孫浩宇，王 威①

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.南通理工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，江蘇 南通 226002）

0 引言

Lebesgue微分定理是實(shí)變函數(shù)論［1-3］中的一個(gè)經(jīng)典結(jié)論，該定理指出：對(duì)于幾乎處處的點(diǎn)x∈Rn，有

其中f為Rn上的Lebesgue 可積函數(shù)，m為Rn上的Lebesgue 測(cè)度。稱滿足上述等式的點(diǎn)為Lebesgue稠密點(diǎn)［4］。該定理表明，對(duì)于幾乎處處的點(diǎn)，局部可積函數(shù)取值等于圍繞該點(diǎn)小球上的平均值在球半徑趨近于0 時(shí)的極限。Lebesgue 稠密定理是Lebesgue 微分定理的一種特殊情況。Lebesgue稠密定理指出，對(duì)Rn中任意具有正Lebesgue測(cè)度可測(cè)集E，對(duì)幾乎所有的點(diǎn)x∈E，有

作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)經(jīng)典分析工具，Lebesgue稠密定理在測(cè)度論、實(shí)分析、動(dòng)力系統(tǒng)和調(diào)和分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域起到關(guān)鍵作用。在過去的幾十年，有學(xué)者［5-10］做關(guān)于Lebesgue 稠密定理的拓展研究。Khan［11］研究發(fā)現(xiàn)，勒貝格稠密定理在算法隨機(jī)性的最新發(fā)展中發(fā)揮至關(guān)重要作用，例如解決ML-covering和ML-cupping問題。隨后，Bingham 等［12］在拓?fù)淙荷涎芯砍砻芡負(fù)湎嚓P(guān)性質(zhì)，研究發(fā)現(xiàn)可以同時(shí)處理（Bair）類別情況和（Lebesgue 或Haar）測(cè)量情況，即在原始拓?fù)浜秃线m加細(xì)（稠密拓?fù)洌┲g切換。Andretta 等［13］在N2空間上研究測(cè)度代數(shù)，總結(jié)在此條件下稠密函數(shù)與Lebesgue稠密定理的基本結(jié)果。糜澤亞［4］證明在固定的收縮集下，離散動(dòng)力系統(tǒng)生成的動(dòng)力系統(tǒng)球族條件下勒貝格稠密定理的準(zhǔn)確性。Bienias 等［14］稠密點(diǎn)概念對(duì)理想收斂的推廣框架，并證明在此定義下關(guān)于稠密點(diǎn)的經(jīng)典性質(zhì)依然成立。此外，還構(gòu)造一族Cantor集合，證明Lebesgue稠密定理不能在此方向上成立。

若用其他收縮集族來代替Lebesgue稠密定理中經(jīng)典的歐幾里得球族，那么與該收縮集族對(duì)應(yīng)的Lebesgue稠密定理是否依然成立？因此，文章主要研究在一般收縮集下，通過動(dòng)力系統(tǒng)迭代而得到的球族，并驗(yàn)證它們對(duì)應(yīng)的Lebesgue稠密定理準(zhǔn)確性。

1 預(yù)備知識(shí)與主要結(jié)論

設(shè)f:Rn→Rn為微分同胚，d為Rn上的歐氏度量，m為Rn上的Lebesgue 測(cè)度。記Bn(x,r)=f-n(B(fn(x),r))，n∈N，稱Bn(x,r)為在x處半徑為r的動(dòng)力系統(tǒng)球。糜澤亞［4］給出固定收縮集下的擴(kuò)張集定義，文章在此基礎(chǔ)上，給出其他一般收縮集族下的擴(kuò)張集定義。

定義2［4］設(shè)x∈Rn，稱一族可測(cè)集{ }Ui是關(guān)于點(diǎn)x是良收縮的，如果點(diǎn)x滿足存在常數(shù)c ＞0，數(shù)列ri→0，使得對(duì)任意i∈N 和Ui?B(x,ri)，都有m(Ui)≥cm(B(x,ri))。本文主要結(jié)論如下。

設(shè)可測(cè)集A為Rn中的n≥1擴(kuò)張集，其中f:Rn→Rn為C2微分同胚。有如下引理和命題。

引理1 對(duì)任意x∈A和n∈N，有Bn(x,r)?B(x,λnr)。

證明 對(duì)任意n∈N，任取點(diǎn)y∈Bn(x,r)，根據(jù)擴(kuò)張集，可得

因此y∈B(x,λnr)，即Bn(x,r)?B(x,λnr)。

下面均假設(shè)存在常數(shù)c ＞0，使得對(duì)任意成立。

引理2 對(duì)任意k,n∈N 和x∈A，存在常數(shù)Tk，有m(B(fn(x),r))≤Tkm(f-kB(fn+k(x),r))。

又因?yàn)閒:Rn→Rn為C2的微分同胚，所以對(duì)任意i∈N，有λni為λn的子序列。因此，存在常數(shù)c0＞0，使得

當(dāng)α=exp(λ2rc0)，引理3即可得證。

命題1 對(duì)任意k,n∈N，x∈A，存在常數(shù)ck ＞0，滿足m(Bn(x,r))≤ckm(Bn+k(x,r))。

2 主要結(jié)果證明

基于上述討論，下面完成定理的證明。

證明 首先對(duì)任意θ∈(0,1)，令

事實(shí)上，只需證明對(duì)任意θ∈(0,1)，有m(Aθ)=0 即可。

對(duì)任意ε ＞0，不妨取開集U，使得Aθ?U，并滿足。定義Aθ的一個(gè)覆蓋

在W中取出一列不相交的集合?？紤]子族Wi1={Bi1(x,r)|Bi1(x,r)∈W,且對(duì)任意Bn(x,r)∈W,i1≤n}。任意

3 結(jié)語

Lebesgue稠密定理在實(shí)變函數(shù)論中扮演著重要角色，其推廣和應(yīng)用成為眾多學(xué)者研究焦點(diǎn)。對(duì)于經(jīng)典的Lebesgue微分定理和Lebesgue稠密定理，都是考察在規(guī)則的歐幾里得球條件下，研究歐幾里得球半徑趨向于0時(shí)的積分或者測(cè)度。本文首先給出擴(kuò)張集和良收縮的定義，然后給出在一般收縮集下，通過動(dòng)力系統(tǒng)迭代球族相關(guān)性質(zhì)，最后驗(yàn)證這些球族所對(duì)應(yīng)的Lebesgue稠密定理仍然成立。這對(duì)Lebesgue稠密定理的拓展研究具有重要的影響。同時(shí)，它也在處理涉及測(cè)度迭代估計(jì)的動(dòng)力學(xué)問題上具有重要理論意義。