錢(qián)宗

【摘要】融合基本圖形的性質(zhì)和特征解題是一線(xiàn)教師關(guān)注的焦點(diǎn)，本文以一道中考幾何試題的剖析入手，從剖析基本圖形視角出發(fā)，探討解決幾何難題的重要方法，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中提升數(shù)學(xué)解題能力，提升學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】基本圖形；初中數(shù)學(xué)；解題能力

幾何題是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，綜合幾何題給不少學(xué)生帶來(lái)一定困難，實(shí)踐表明，綜合幾何題中的幾何圖形一般由若干個(gè)基本圖形組合而成，在組合過(guò)程中基本圖形的部分性質(zhì)出現(xiàn)隱蔽的現(xiàn)象；可見(jiàn)，綜合幾何題的剖析過(guò)程離不開(kāi)對(duì)基本圖形性質(zhì)的理解與應(yīng)用.本文以一道中考幾何題為探究載體，重點(diǎn)探討在幾何題中如何從基本圖形入手，層層剖析復(fù)雜幾何圖形，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

1 原題剖析與方法探究

題目 邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中∠B為銳角，如圖1所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，試求cosB的值.

剖析 根據(jù)題設(shè)信息可知，只需求出BE即可求得cosB的值，在現(xiàn)有的圖形中缺少與BE直接聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，此時(shí)需要根據(jù)構(gòu)建基本圖形，挖掘其中隱含的信息，進(jìn)而獲取與BE相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，從而求解.從直角和中線(xiàn)特征出發(fā)構(gòu)造基本圖形，如圖2所示.解法1 基本圖形“中垂線(xiàn)”性質(zhì)的應(yīng)用

延長(zhǎng)線(xiàn)段EM、DA交于點(diǎn)N，連接DE，如圖3所示，

因?yàn)锳D∥BC，

所以∠NAM=∠MBE，

因?yàn)镸為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∠AMN和∠BME是對(duì)頂角，

所以△AMN≌△BME，則AN=BE，MN=ME.

設(shè)BE=AN=x，

因?yàn)镈M⊥EN，

所以DE=DN=x+2，

在Rt△AED中，AE2+AD2=DE2，

即4－x2+22=（x+2）2，即x=－1+3（x>0），

則cosB=BEAB=－1+32.

解法2 基本圖形“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”特征的應(yīng)用

延長(zhǎng)線(xiàn)段EM、DA交于點(diǎn)N，如圖4所示，根據(jù)解法1可知，DN=x+2，MN=1，NE=2.

因?yàn)椤鰽EN∽△MDN，所以，ANNM=NEND，

則x1=2x+2，所以x=－1+3（x>0），

則cosB=－1+32.

2 變式拓展與有效延伸

學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度的拓展與延伸離不開(kāi)數(shù)學(xué)題的一題多解、多解歸一的剖析，一題多變是強(qiáng)化學(xué)生思維深度的重要手段，文章原題中涉及基本圖形性質(zhì)與特征是本題核心所在，作為教師可以對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行改變，達(dá)成一題多變的效果，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，可以有效提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

變式1 （改變M是線(xiàn)段AB中點(diǎn)的條件）已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中∠B為銳角，如圖5所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點(diǎn)M為AB的三等分點(diǎn)，試求cosB的值.

變式2 （改變菱形和M是線(xiàn)段AB中點(diǎn)的條件）在平行四邊形ABCD中∠B為銳角，如圖6所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點(diǎn)M為AB的三等分點(diǎn)，其中AB=2、AD=3，試求cosB的值.

3 教學(xué)啟示

第一，挖掘課本教材資源，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建圖形體系.在課本教材的經(jīng)典例題和習(xí)題中，經(jīng)常涉及由幾個(gè)基本圖形組合而成的復(fù)雜幾何圖形，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生提煉出基本圖形進(jìn)行剖析，引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形視角出發(fā)分解復(fù)雜幾何圖形，形成自己的圖形建構(gòu)體系.同時(shí)，教師可以根據(jù)經(jīng)典試題中的基本圖形素材進(jìn)行命題，讓學(xué)生在實(shí)踐中提升解決問(wèn)題的能力，體驗(yàn)基本圖形的價(jià)值與功效.

第二，洞悉基本圖形生成，提升學(xué)生分析問(wèn)題能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求，學(xué)生具備從復(fù)雜幾何圖形中分解基本圖形的能力；在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形出發(fā)剖析典型案例，讓學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的生成過(guò)程，感悟基本圖形的應(yīng)用意義與價(jià)值.

第三，關(guān)注圖形教學(xué)反思，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.眾所周知，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是快速提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要手段.在幾何解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從“基本圖形的構(gòu)成、分析過(guò)程中的困難、基本圖形性質(zhì)的拓展與應(yīng)用”三個(gè)角度進(jìn)行反思，進(jìn)而不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，從復(fù)雜幾何圖形中分解出基本圖形進(jìn)行剖析是解決幾何試題的重要方法，作為一線(xiàn)的初中數(shù)學(xué)教師，在幾何教學(xué)過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生從典型案例入手，挖掘基本圖形模型，讓學(xué)生在實(shí)踐中提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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