楊興剛

判斷函數(shù)零點個數(shù)和已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍是高考的?？碱}型.試題多數(shù)基于數(shù)學(xué)情境命制，考查學(xué)生靈活運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識解決問題的能力，全面綜合展現(xiàn)極限思想、估算思想的應(yīng)用和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.判斷函數(shù)零點是否存在不僅要借助函數(shù)增長差異的“形”去判斷，而且要借助放縮估算的“數(shù)”去證明.本文以一道模擬試題為例，通過挖掘教材找根源、一題多解悟方法、反思提升育素養(yǎng)三個維度，探索函數(shù)零點問題的尋根之旅.

試題根據(jù)核心素養(yǎng)的三個水平設(shè)計問題，第（1）問通過指數(shù)函數(shù)考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的通性通法，屬于水平一的要求;第（2）問（ⅰ）由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍考查學(xué)生解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，屬于水平二的要求; 第（2）（ⅱ）問以不等式放縮和極值點偏移為背景考查學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力，屬于水平三的要求，具有很好的區(qū)分度.本文重點探索第（2）問（ⅰ）的思維歷程，呈現(xiàn)函數(shù)零點問題的尋根之旅.

1教材探源，深化理解

教材中的內(nèi)容、例題、習(xí)題、旁白等都是高考命題的素材，對教材深度理解與挖掘運用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本.教材探源是回歸基礎(chǔ)、提升能力、發(fā)展素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

1.1直觀感受函數(shù)變化差異

1.2導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化快慢

人教版教材選擇性必修第二冊P88探究和P89例4，借助導(dǎo)數(shù)絕對值的大小，比較了兩個函數(shù)圖象變化的快慢.在教學(xué)過程中，教師要借助導(dǎo)數(shù)精細(xì)研究函數(shù)圖象的“陡峭”與“平緩”程度，為估算函數(shù)值的大小奠定基礎(chǔ).

1.3泰勒展式估算逼近

2解題探索，感悟思想

通過對問題的多角度思考、分析與對比，不僅可以加深對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解，而且可以感受基本思想方法的內(nèi)涵，加深基本經(jīng)驗的積累，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.1極限思想下的解法

2.2估算解法

3反思積累經(jīng)驗

參考文獻(xiàn)

［1］張奠宙.微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006，9（2）：2－4.

［2］馬淑風(fēng)，楊向東.什么才是高階思維？——以“新舊知識關(guān)系建立”為核心的高階思維概念框架［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2022，40（11）：58－68.